Vizualizare sursă pentru „Ortoplex”

{| class=wikitable width=100 align=right
|+ Ortoplexuri în 2 până la 5 dimensiuni
|-
|style="text-align: center;"|[[Fișier:2-orthoplex.svg|120px]]
|style="text-align: center;"|[[Fișier:Octahedron.png|120px]]
|-
|style="text-align: center;"|2 dimensiuni<br/>[[pătrat]]
|style="text-align: center;"|3 dimensiuni<br/>[[octaedru]]
|-
|style="text-align: center;"|[[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|120px]]
|style="text-align: center;"|[[Fișier:5-cube t4.svg|120px]]
|-
|style="text-align: center;"|4 dimensiuni<br/>[[4-ortoplex]]
|style="text-align: center;"|5 dimensiuni<br/>[[5-ortoplex]]
|}

În [[geometrie]], un '''ortoplex'''<ref>[[John Horton Conway|Conway]] îl numește „''n''-ortoplex” de la ''{{ill-wd|Q2714507}} complex''</ref> (plural '''ortoplexuri'''), '''hiperoctaedru''' sau '''cocub''' este un [[politop regulat]], [[politop convex|convex]] ''n''-[[dimensiune |dimensional]]. Un ortoplex 2-dimensional este un [[pătrat]], un ortoplex 3-dimensional este un [[octaedru]] regulat, iar un ortoplex 4-dimensional este un [[4-ortoplex]] (sau [[16-celule]]). [[Fațetă (geometrie) |Fațetele]] sunt [[simplex]]uri în dimensiunea imediat inferioară, în timp ce [[Figura vârfului|figurile vârfurilor]] sunt alte ortoplexuri, din dimensiunile anterioare.

Vârfurile unui ortoplex pot fi alese ca [[versor]]i orientați de-a lungul fiecărei axe de coordonate, adică toate permutările a (±1,&nbsp;0,&nbsp;0,&nbsp;…,&nbsp;0). Ortoplexul este [[Anvelopă convexă|anvelopa convexă]] a vârfurilor. Ortoplexul ''n''-dimensional poate fi definit de asemenea ca o [[Sferă unitate]] (sau, după unii autori doar frontierele sale) în spații normate în '''R'''<sup>''n''</sup>:
:<math>\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}.</math>

Într-o singură dimensiune ortoplexul este un simplu [[segment (geometrie) |segment]] [&minus;1,&nbsp;+1], în două dimensiuni este un pătrat (sau romb) cu vârfurile {(±1,&nbsp;0),&nbsp;(0,&nbsp;±1)}. În trei dimensiuni este un [[octaedru]]&nbsp;— unul din cele cinci corpuri [[poliedru regulat |poliedre regulate]] convexe. Seria poate fi generalizată în dimensiuni suplimentare printr-un ''n''-ortoplex construit ca o ''n''-piramidă dublă având baza un (''n''−1)-ortoplex.

Ortoplexul este [[Poliedru dual|politopul dual]] al [[hipercub]]ului. 1-[[N-schelet|scheletul]] unui ortoplex ''n''-dimensional este un {{ill-wd|Q720459}} ''T''(2''n'',''n'').

== În 4 dimensiuni ==
Ortoplexul 4-dimensional este numit și ''[[16-celule]]''. Este unul dintre cele șase {{ill-wd|Q27430458||4-politopuri convexe}} [[4-politop regulat|regulate]]. Aceste [[4-politop|4-politopuri]] au fost descrise pentru prima dată de [[Ludwig Schläfli]] la mijlocul secolului al XIX-lea.

== În dimensiuni superioare ==
Familia ortoplexurilor este una din cele trei familii de [[Politop regulat|politopuri regulate]], notate de [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]] cu ''β<sub>n</sub>'', celelalte două fiind [[simplex]]urile, notate de el cu ''α<sub>n,</sub>'' și [[hipercub]]urile, notate de el cu ''γ<sub>n</sub>''. A patra familie, [[Fagure hipercubic|fagurii hipercubici]] a fost notată de el cu ''δ<sub>n</sub>''.{{Sfn|Coxeter|1973|loc=§7.2|pp=120-124}}

Ortoplexul ''n''-dimensional are 2''n'' vârfuri, and 2<sup>''n''</sup> fețe (componente ''n''–1 dimensionale) toate fiind ''n''–1 [[simplex]]uri. [[Figura vârfului|figurile vârfurilor]] sunt toate (''n''−1)- ortoplexuri. [[Simbol Schläfli|Simbolurile Schläfli]] ale ortoplexurilor sunt {3,3,...,3,4}. 

[[Unghi diedru |Unghiurile diedre]] ale unui ortoplex ''n''-dimensional este <math>\delta_n = \arccos\left(\frac{2-n}{n}\right)</math>. Asta dă: &delta;<sub>2</sub> = arccos(0/2) = 90°, &delta;<sub>3</sub> = arccos(-1/3) = 109.47°, &delta;<sub>4</sub> = arccos(-2/4) = 120°, &delta;<sub>5</sub> = arccos(-3/5) = 126.87°, ... &delta;<sub>&infin;</sub> = arccos(-1) = 180°.

Volumul unui ortoplex ''n''-dimensional este
:<math>\frac{2^n}{n!}.</math>

Pentru fiecare pereche de vârfuri care nu sunt opuse există o latură care le unește. Mai general, orice mulțime de vârfuri ''k''+1 ortogonale corespunde unui component distinct ''k''-dimensional care le conține. Numărul componentelor ''k''-dimensionale (vârfuri, laturi, fețe, ..., fațete) dintr-un ortoplex ''n''-dimensional este dat de (v. [[coeficient binomial]]):
:<math>2^{k+1}{n \choose {k+1}}</math>{{sfn|Coxeter|1973|p=121|loc=§7.2.2.}}

Sunt posibile mai multe [[Proiecție ortogonală|proiecții ortogonale]] care prezintă ortoplexurile sub formă de grafuri 2-dimensionale. [[Poligon Petrie|Poligoanele Petrie]] proiectează punctele într-un 2''n''-gon regulat sau în alte poligoane regulate de ordin inferior. O a doua proiecție ia 2(''n''&minus;1)- gonul Petrie de dimensiunea inferioară, a se vedea [[Bipiramidă|bipiramida]], proiectată în direcția axei, cu cele două vârfuri plasate în [[centru (geometrie)|centru]].

{| class="wikitable"
|+ Elementele ortoplexurilor
|- 
! [[politop|n]]
!β<sub>n</sub><br/>k<sub>11</sub>
!Nume<br/>[[Graf]]
!Graf<br/>2''n''-gon
!Simbol Schläfli
!Diagramă Coxeter-Dynkin
! ''0''-fețe<br/>[[Vârf (geometrie)|Vârfuri]]
! ''1''-fețe<br/>[[Latură (geometrie)|Laturi]]
! ''2''-fețe<br/>[[Față (geometrie)|Fețe]]
! ''3''-fețe<br/>[[Celulă (geometrie)|Celule]]
! ''4''-fețe
! ''5''-fețe
! ''6''-fețe
! ''7''-fețe
! ''8''-fețe
! ''9''-fețe
! ''10''-fețe
|- 
| [[0-politop|0]]
!β<sub>0</sub>
|[[Vârf (geometrie)|Punct]]<br/>0-ortoplex
|.
|( )
|{{CDD|node}}<br/>
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|-
| [[1-politop|1]]
!β<sub>1</sub>
|[[Segment (geometrie)|Segment]]<br/>1-ortoplex
|[[Fișier:Cross graph 1.svg|50px]]
|{ }
|{{CDD|node_1}}<br/>{{CDD|node_f1}}
|align=right| 2
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[2-politop|2]]
!β<sub>2</sub><br/> &minus;1<sub>11</sub>
|[[Pătrat]]<br/>2-ortoplex
|[[Fișier:Cross graph 2.png|50px]]
|{4}<br/>2{ } = { }+{ }
|{{CDD|node_1|4|node}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 4
|align=right| 4
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[3-politop|3]]
!β<sub>3</sub><br/>0<sub>11</sub>
| [[octaedru]]<br/>3-ortoplex
|[[Fișier:3-orthoplex.svg|50px]]
|{3,4}<br/>{3<sup>1,1</sup>}<br/>3{ }
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 6
|align=right| 12
|align=right| 8
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[4-politop|4]]
!β<sub>4</sub><br/>1<sub>11</sub>
|[[16-celule]]<br/>4-ortoplex
|[[Fișier:4-orthoplex.svg|50px]]
|{3,3,4}<br/>{3,3<sup>1,1</sup>}<br/>4{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 8
|align=right| 24
|align=right| 32
|align=right| 16
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[5-politop|5]]
!β<sub>5</sub><br/>2<sub>11</sub>
|[[5-ortoplex]]
|[[Fișier:5-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>3</sup>,4}<br/>{3,3,3<sup>1,1</sup>}<br/>5{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 10
|align=right| 40
|align=right| 80
|align=right| 80
|align=right| 32
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[6-politop|6]]
!β<sub>6</sub><br/>3<sub>11</sub>
| [[6-ortoplex]]
|[[Fișier:6-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>4</sup>,4}<br/>{3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>6{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 12
|align=right| 60
|align=right| 160
|align=right| 240
|align=right| 192
|align=right| 64
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[7-politop|7]]
!β<sub>7</sub><br/>4<sub>11</sub>
|[[7-ortoplex]]
|[[Fișier:7-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>5</sup>,4}<br/>{3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>7{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 14
|align=right| 84
|align=right| 280
|align=right| 560
|align=right| 672
|align=right| 448
|align=right| 128
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[8-politop|8]]
!β<sub>8</sub><br/>5<sub>11</sub>
|[[8-ortoplex]]
|[[Fișier:8-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>6</sup>,4}<br/>{3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>8{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 16
|align=right| 112
|align=right| 448
|align=right| 1120
|align=right| 1792
|align=right| 1792
|align=right| 1024
|align=right| 256
|align=right| 1
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[9-politop|9]]
!β<sub>9</sub><br/>6<sub>11</sub>
|[[9-ortoplex]]
|[[Fișier:9-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>7</sup>,4}<br/>{3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>9{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right| 18
|align=right| 144
|align=right| 672
|align=right| 2016
|align=right| 4032
|align=right| 5376
|align=right| 4608
|align=right| 2304
|align=right| 512
|align=right| 1
| &nbsp;
|- 
! [[10-politop|10]]
! β<sub>10</sub><br/>7<sub>11</sub>
|[[10-ortoplex]]
|[[Fișier:10-orthoplex.svg|50px]]
|{3<sup>8</sup>,4}<br/>{3<sup>7</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>10{ }
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|align=right|20
|align=right|180
|align=right|960
|align=right|3360
|align=right|8064
|align=right|13440
|align=right|15360
|align=right|11520
|align=right|5120
|align=right|1024
|align=right|1
|- 
| colspan=17 style="text-align:center" |...
|- 
! '''n'''
! β<sub>n</sub><br/>''k''<sub>11</sub>
|''n''-ortoplex
|
|{3<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2</sup>,4}<br/>{3<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;3</sup>,3<sup>1,1</sup>}<br/>n{}
|{{CDD|node_1|3|node|3|node}}...{{CDD|3|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3}}...{{CDD|node|3|node|split1|nodes}}<br/>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2}}...{{CDD|2|node_f1}}
| colspan=11 style="text-align:center" | 2''n'' '''0-fețe''', ... <math>2^{k+1}{n\choose k+1}</math> '''''k''-fețe''' ..., 2<sup>''n''</sup> '''(n−1)-fețe'''
|}

Vârfurile aliniate pe axa ortoplexlui sunt la distanțe egale de celelalte vârfuri. [[Conjectura Kusner]] afirmă că această mulțime de 2''d'' puncte este cea mai mare posibilă pentru acestă distanță.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Guy | first = Richard K.
 | issue = 3
 | journal = American Mathematical Monthly
 | pages = 196–200
 | title = An olla-podrida of open problems, often oddly posed
 | jstor = 2975549
 | volume = 90
 | year = 1983
 | doi = 10.2307/2975549 }}.</ref>

== Ortoplexuri generalizate ==
{{ill-wd| Q1500531||Politopurile complexe}} regulate, numite și ''ortoplexuri generalizate'', pot fi definite în [[spațiu Hilbert |spațiul Hilbert]] [[număr complex |complex]], &beta;{{subsuper|p=''p''|b=''n''}} = <sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}...<sub>2</sub>{4}<sub>''p''</sub>, sau {{CDD|node_1|3|node|3}}…{{CDD|3|node|4|pnode}}. Există soluții reale pentru ''p''&nbsp;=&nbsp;2, de exemplu &beta;{{subsuper|p=2|b=''n''}}&nbsp;= &beta;<sub>''n''</sub>&nbsp;= <sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}...<sub>2</sub>{4}<sub>2</sub>&nbsp;= {3,3,..,4}. Pentru ''p''&nbsp;>&nbsp;2 ele există în <math>\mathbb{\Complex}^n</math>. Un ''p''-generalizat ''n''-ortoplex are ''pn'' vârfuri. Ortoplexurile generalizate au simplexuri (reale) ca [[fațetă (geometrie)|fațete]].<ref>{{en icon}} Coxeter, ''Regular Complex Polytopes'', p. 108</ref> Ortoplexurile generalizate produc {{ill-wd| Q17142035||grafuri multipartite}}, &beta;{{subsuper|p=''p''|b=2}} produce K<sub>''p'',''p''</sub> pentru un graf bipartit complet, &beta;{{subsuper|p=''p''|b=3}} produce K<sub>''p'',''p'',''p''</sub> pentru grafuri tripartite complete. &beta;{{subsuper|p=''p''|b=''n''}} produce K<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub>. Se poate face o proiecție ortogonală care arată toate vârfurile egal distanțate pe un cerc, cu toate perechile de vârfuri conectate, cu exccepția [[multiplu|multiplilor]] de ''n''. [[Poligon regulat |Poligonul regulat]] de pe perimetrul acestor proiecții ortogonale este numit poligon Petrie.

{| class=wikitable
|+ Ortoplexuri generalizate
! || ''p''=2 || ||''p''=3 ||''p''=4||''p''=5||''p''=6||''p''=7||''p''=8
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^2</math>
|[[Fișier:Complex_bipartite_graph_square.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{4}<sub>2</sub> = [[Pătrat|{4}]] = {{CDD|node_1|4|node}}<br/>K<sub>2,2</sub>
!<math>\mathbb{\Complex}^2</math>
|[[Fișier:Complex polygon 2-4-3-bipartite graph.png|100px]]<br/>[[3-3_duoprismă#Poligon_complex_conectat|<sub>2</sub>{4}<sub>3</sub>]] = {{CDD|node_1|4|3node}}<br/>K<sub>3,3</sub>
|[[Fișier:Complex polygon 2-4-4 bipartite graph.png|100px]]<br/>[[16-celule#Poligon_complex_conectat|<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub>]] = {{CDD|node_1|4|4node}}<br/>K<sub>4,4</sub>
|[[Fișier:Complex_polygon_2-4-5-bipartite_graph.png|100px]]<br/>[[5-5_duoprismă#Poligon_complex_conectat|<sub>2</sub>{4}<sub>5</sub>]] = {{CDD|node_1|4|5node}}<br/>K<sub>5,5</sub>
|[[Fișier:6-generalized-2-orthoplex.svg|100px]]<br/>[[6-6_duoprismă#Poligon_complex_conectat|<sub>2</sub>{4}<sub>6</sub>]] =  {{CDD|node_1|4|6node}}<br/>K<sub>6,6</sub>
|[[Fișier:7-generalized-2-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{4}<sub>7</sub> = {{CDD|node_1|4|7node}}<br/>K<sub>7,7</sub>
|[[Fișier:8-generalized-2-orthoplex.svg|100px]]<br/>[[8-8_duoprismă#Poligon_complex_conectat|<sub>2</sub>{4}<sub>8</sub>]] = {{CDD|node_1|4|8node}}<br/>K<sub>8,8</sub>
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^3</math>
|[[Fișier:Complex tripartite graph octahedron.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>2</sub> = [[octaedru|{3,4}]] = {{CDD|node_1|3|node|4|node}}<br/>K<sub>2,2,2</sub>
!<math>\mathbb{\Complex}^3</math>
|[[Fișier:3-generalized-3-orthoplex-tripartite.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>3</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|3node}}<br/>K<sub>3,3,3</sub>
|[[Fișier:4-generalized-3-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|4node}}<br/>K<sub>4,4,4</sub>
|[[Fișier:5-generalized-3-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>5</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|5node}}<br/>K<sub>5,5,5</sub>
|[[Fișier:6-generalized-3-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>6</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|6node}}<br/>K<sub>6,6,6</sub>
|[[Fișier:7-generalized-3-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>7</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|7node}}<br/>K<sub>7,7,7</sub>
|[[Fișier:8-generalized-3-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>8</sub> = {{CDD|node_1|3|node|4|8node}}<br/>K<sub>8,8,8</sub>
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^4</math>
|[[Fișier:Complex_multipartite_graph_16-cell.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub><br/>[[4-ortoplex|{3,3,4}]] = {{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}<br/>K<sub>2,2,2,2</sub>
!<math>\mathbb{\Complex}^4</math>
|[[Fișier:3-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>3</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|3node}}<br/>K<sub>3,3,3,3</sub>
|[[Fișier:4-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|4node}}<br/>K<sub>4,4,4,4</sub>
|[[Fișier:5-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>5</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|5node}}<br/>K<sub>5,5,5,5</sub>
|[[Fișier:6-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>6</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|6node}}<br/>K<sub>6,6,6,6</sub>
|[[Fișier:7-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>7</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|7node}}<br/>K<sub>7,7,7,7</sub>
|[[Fișier:8-generalized-4-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>8</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|8node}}<br/>K<sub>8,8,8,8</sub>
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^5</math>
|[[Fișier:2-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>2</sub><br/>[[5-ortoplex|{3,3,3,4}]] = {{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>K<sub>2,2,2,2,2</sub>
!<math>\mathbb{\Complex}^5</math>
|[[Fișier:3-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>3</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|3node}}<br/>K<sub>3,3,3,3,3</sub>
|[[Fișier:4-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|4node}}<br/>K<sub>4,4,4,4,4</sub>
|[[Fișier:5-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>5</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|5node}}<br/>K<sub>5,5,5,5,5</sub>
|[[Fișier:6-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>6</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|6node}}<br/>K<sub>6,6,6,6,6</sub>
|[[Fișier:7-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>7</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|7node}}<br/>K<sub>7,7,7,7,7</sub>
|[[Fișier:8-generalized-5-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>8</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|8node}}<br/>K<sub>8,8,8,8,8</sub>
|- align=center
!<math>\mathbb{R}^6</math>
|[[Fișier:2-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>2</sub><br/>[[6-ortoplex|{3,3,3,3,4}]] = {{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>K<sub>2,2,2,2,2,2</sub>
!<math>\mathbb{\Complex}^6</math>
|[[Fișier:3-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>3</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|3node}}<br/>K<sub>3,3,3,3,3,3</sub>
|[[Fișier:4-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|4node}}<br/>K<sub>4,4,4,4,4,4</sub>
|[[Fișier:5-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>5</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|5node}}<br/>K<sub>5,5,5,5,5,5</sub>
|[[Fișier:6-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>6</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|6node}}<br/>K<sub>6,6,6,6,6,6</sub>
|[[Fișier:7-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>7</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|7node}}<br/>K<sub>7,7,7,7,7,7</sub>
|[[Fișier:8-generalized-6-orthoplex.svg|100px]]<br/><sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{3}<sub>2</sub>{4}<sub>8</sub><br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node|4|8node}}<br/>K<sub>8,8,8,8,8,8</sub>
|}

== Familii de politopuri conexe ==
Ortoplexurile se pot combina cu hipercuburile lor duale pentru a forma politopuri compuse:

* În două dimensiuni se obține [[octagramă |octagrama]] &#123;{{frac|8|2}}&#125;,
* În trei dimensiuni se obține [[compus de cub și octaedru |compusul de cub și octaedru]],
* În patru dimensiuni se obține [[compus de tesseract și 16-celule |compusul de tesseract și 16-celule]].

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd}}
** pp.&nbsp;121-122, §7.21. see illustration Fig 7.2<small>B</small>
** p.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{commonscat-inline|Cross-polytopes|Ortoplexuri}}
* [https://mathworld.wolfram.com/CrossPolytope.html Cross Polytope] la ''MathWorld''

{{Politopuri}}
{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}

[[Categorie:Politopuri]]