Vizualizare sursă pentru „Oriciclu”

[[Fișier:Horocycle normals.svg|thumb|Un oriciclu (albastru) în [[modelul discului Poincaré]] și niște normale roșii. Normalele converg asimptotic către [[punct ideal |punctul ideal]] central superior.]]
În [[geometrie hiperbolică |geometria hiperbolică]] un '''oriciclu'''<ref name=BNS>Maria Bica, Maria Neumann, Liubița Stanciu, [http://www.cs.ubbcluj.ro/~studia-m/old_issues/subbmath_1963_08_01.pdf ''Geometria diferențială a lui J. Bolyai''], Cluj: ''Studia Universitatis Babeș-Bolyai'', Fasc. 1/1963</ref><ref name=OC>Octavian Căpățînă, [http://www.itc-cluj.ro/capatana/valori/text.pdf ''Mică enciclopedie de mari valori ridicate dintre români: Janos Bolyai''], itc-cluj.ro, accesat 2022-05-23</ref> (din {{el|όριον + κύκλος}} = frontieră + cerc), plural ''oricicle''<ref name=BNS/><ref name=OC/>, uneori numit chiar '''cerc limită'''<ref name=OC/>, este o curbă ale cărei [[geodezică |geodezice]] [[normală |normale]] sau [[perpendicularitate |perpendiculare]] converg toate asimptotic în aceeași direcție. Este cazul [[bidimensional]] al unei [[orisferă |orisfere]]<ref name=BNS/><ref name=OC/>.

Centrul unui oriciclu este [[punct ideal |punctul ideal]] în care toate geodezicele normale converg asimptotic. Două oricicle care au același centru sunt [[concentrice]]. Deși pare că două oricicle concentrice nu pot avea aceeași lungime sau curbură, de fapt oricare două oricicle sunt [[congruență (geometrie) |congruente]].

Un oriciclu poate fi descris și ca limită a cercurilor care au în comun o tangentă într-un punct dat, deoarece razele lor merg spre [[infinit]]. În [[geometrie euclidiană |geometria euclidiană]] un astfel de ''cerc de rază infinită'' ar fi o [[dreaptă]], dar în geometria hiperbolică este un oriciclu (o curbă).

Din partea convexă oriciclul este aproximat de [[hiperciclu]]ri ale căror distanțe față de axa lor merg spre infinit.

== Proprietăți ==
[[Fișier:Hyperbolic_apeirogon_example.png|right|200px|Apeirogon hiperbolic]]
* ''Prin fiecare pereche de puncte trec 2 oricicle.'' Centrele oriciclelor sunt punctele ideale ale perpendicularei pe mijlocul segmentului dintre ele.
* ''Trei puncte ale unui oriciclu nu pot fi situate pe o dreaptă, un [[cerc]] sau un [[hiperciclu]].''
* O ''dreaptă'', un ''cerc'', un ''hiperciclu'' sau alt oriciclu taie un oriciclu în cel mult două puncte.
* Perpendiculara pe mijlocul unei ''coarde a unui oriciclu'' este o normală a oriciclului și intersectează arcul subîntins de coardă.
* ''Lungimea'' unui arc de oriciclu între două puncte este:
:: mai mare decât lungimea segmentului dintre aceste două puncte,
:: mai mare decât lungimea arcului unui hiperciclu între acele două puncte și
:: mai mică decât lungimea oricărui arc de cerc între aceste două puncte.
* Distanța de la un oriciclu până la centrul său este infinită. În timp ce în unele modele ale geometriei hiperbolice pare că cele două „capete” ale unui oriciclu se apropie din ce în ce mai mult de centrul său, acest lucru nu este adevărat; cele două „capete” ale unui oriciclu se îndepărtează din ce în ce mai mult unul de celălalt.
* În planul hiperbolic un ''[[apeirogon]]'' regulat este circumscris fie de un oriciclu, fie de un hiperciclu.
* Dacă ''C'' este centrul unui oriciclu și ''A'' și ''B'' sunt puncte de pe oriciclu, atunci unghiurile ''CAB'' și ''CBA'' sunt egale.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Sossinsky|first1=A.B.|title=Geometries|date=2012|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=9780821875711|pages=141–2}}</ref>
* Aria unui sector al unui oriciclu (aria dintre două raze și oriciclu) este finită.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Coxeter|first1=H.S.M.|title=Non-Euclidean geometry|url=https://archive.org/details/noneuclideangeom00coxe_738|url-access=limited|date=1998|publisher=Mathematical Assoc. of America|location=Washington, DC|isbn=978-0-88385-522-5|pages=[https://archive.org/details/noneuclideangeom00coxe_738/page/n255 243]–244|edition=6.}}</ref>

=== Pentru curbura gaussiană standard ===
Când planul hiperbolic are {{ill-wd| Q945953||curbura gaussiană}} ''K'' = −1:
* ''Lungimea'' ''s'' a unui arc de oriciclu între două puncte este:
:<math> s = 2 \sinh \left( \frac{1}{2} d \right) = \sqrt{2 (\cosh d -1) } </math>
unde ''d'' este distanța între cele două puncte, iar {{math|sinh}} și {{math|cosh}} sunt [[funcții hiperbolice]].<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Smogorzhevsky|title=Lobachevskian Geometry|date=1976|publisher=Mir|location=Moscow|page=65}}</ref>
* Lungimea unui arc de oriciclu, astfel încât tangenta la o extremitate este paralelă (hiperbolică) cu raza prin cealaltă extremitate este 1.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Sommerville|first1=D.M.Y.|title=The elements of non-Euclidean geometry|date=2005|publisher=Dover Publications|location=Mineola, N.Y.|isbn=0-486-44222-5|page=58|edition=Unabr. and unaltered republ.}}</ref> Aaria cuprinsă între acest oriciclu și rază este 1.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Coxeter|first1=H.S.M.|title=Non-Euclidean geometry|url=https://archive.org/details/noneuclideangeom00coxe_738|url-access=limited|date=1998|publisher=Mathematical Assoc. of America|location=Washington, DC|isbn=978-0-88385-522-5|page=[https://archive.org/details/noneuclideangeom00coxe_738/page/n262 250]|edition=6.}}</ref>
* Raportul lungimilor arcelor dintre două raze ale două oricicle concentrice unde oriciclele sunt la o distanță de 1 este [[e (constantă matematică) |''e'']]&nbsp;:&nbsp;1.<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Sommerville|first1=D.M.Y.|title=The elements of non-Euclidean geometry|date=2005|publisher=Dover Publications|location=Mineola, N.Y.|isbn=0-486-44222-5|page=58|edition=Unabr. and unaltered republ.}}</ref>

== Reprezentări în modele de geometrie hiperbolică ==
[[Fișier:Order-3 apeirogonal tiling one cell horocycle.png|thumb|[[Pavare apeirogonală de ordinul 3 |Pavarea apeirogonală de ordinul 3]], {∞,3}, umple planul hiperbolic cu [[apeirogon |apeirogoane]] ale căror vârfuri se află pe oricicle]]

=== Modelul discului Poincaré ===
În [[modelul discului Poincaré]] al planului hiperbolic, oriciclele sunt reprezentate prin cercuri [[tangentă (geometrie) |tangente]] la cercul frontieră, centrul oriciclului este punctul ideal în care oriciclul atinge cercul frontieră.

[[Construcții geometrice cu rigla și compasul |Construcția cu rigla și compasul]] a celor două oricicle prin două puncte este aceeași cu construcția pentru un cerc și două puncte (CPP) din cazurile particulare ale {{ill-wd| Q619449||problemei lui Apollonius}}, unde ambele puncte sunt în interiorul cercului.

=== Modelul semiplanului Poincaré ===
În {{ill-wd| Q2534886}} oriciclele sunt reprezentate de cercuri tangente la axa O''x'', caz în care centrul lor este punctul ideal în care cercul atinge această axă.

Când centrul oriciclului este punctul ideal de la <math>y = \infty</math>, atunci oriciclul este o dreaptă paralelă cu axa O''x''.

Construcția cu rigla și compasul a primului caz este aceeași cu construcția pentru o dreaptă și două puncte (LPP) din cazurile particulare ale problemei lui Apollonius.

=== Modelul hiperboloidului ===
În {{ill-wd| Q3318095}} oriciclele sunt reprezentate prin intersecții ale hiperboloidului cu plane ale căror normale se află în conul asimptotic.

== Metrică ==
Dacă metrica este normalizată pentru a avea curbura gaussiană&nbsp;−1, atunci oriciclul este o curbă cu [[curbură geodezică |curbura geodezică]]&nbsp;1 în fiecare punct.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [[Coxeter|H.S.M. Coxeter]] (1961) ''Introduction to Geometry'', §16.6: "Circles, horocycles, and equidistant curves", page 300, 1, [[John Wiley & Sons]].
* {{en icon}} [http://lib.org.by/get/M_Mathematics/MD_Geometry%20and%20topology/Stillwell%20J.%20The%20Four%20Pillars%20of%20Geometry(Springer,%202005)(239s)_MD_.pdfThe Four Pillars of Geometry]{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} p.&nbsp;198

[[Categorie:Geometrie hiperbolică]]
[[Categorie:Curbe]]