Vizualizare sursă pentru „Omotetie”

[[Fișier:Pantograph animation.gif|thumb|Un [[Pantograf (desen)|pantograf]].]]
În [[geometrie]], '''omotetia''' exprimă într-o formă algebrică asemănarea a două figuri geometrice.

== Exemple ==
[[Fișier:Steel ruler closeup.jpg|thumb| Pentru a ilustra o omotetie nu este nevoie de 2, 3 sau mai multe dimensiuni]]

Cel mai simplu exemplu este dat de către o riglă.

Vârful '''0''' este centrul de omotetie. 

Punctul '''1''' este transportat, de pildă, în punctul '''4''', printr-o omotetie de centru '''0''' și raport patru ; putem scrie foarte bine :
: '''04''' = '''01''' + '''12''' + '''23''' + '''34''' = '''01''' + '''01''' + '''01''' + '''01''' = patru × '''01'''

sau, pe scurt, 
: '''04''' = patru × '''01''', 

și încă :
: '''4''' = '''0''' + patru × '''01'''

Un mod răspândit de a nota informația de mai sus este : 

: <math> 1 \mapsto 0 + \lambda \overrightarrow{01}, </math>

unde λ = patru. Dificultatea la citire este dată de faptul că semnul + este folosit ca o adunare între două tipuri distincte de obiecte : în stânga puncte iar în dreapta, segmente orientate. Astfel de abuzuri de notație sunt acceptate în matematică, pentru a nu încărca o formulă cu prea feluri de multe semne.

=== Teorema lui Thales ===
[[Fișier:Thales theorem 1.svg |thumb| Segmentul DE este transformat în segmentul BC printr-o omotetie de centru A și raport 3:2]]

Folosind notația de mai sus, o configurație de cinci puncte legate prin [[teorema lui Thales]] poate fi descrisă astfel :
: <math> D \mapsto B = A + \lambda \overrightarrow{AD}, </math>
: <math> E \mapsto C = A + \lambda \overrightarrow{AE} </math>

unde coeficientul (sau [[raport]]ul de omotetie) λ este aproximativ 3/2 (pentru desenul din imagine).

=== Teorema lui Desargues ===
[[Fișier:Desargues Sintetic.png|thumb|O configurație de șapte puncte legate prin teorema lui Desargues]]

Folosind notația de mai sus, o configurație de șapte puncte legate prin [[teorema lui Desargues]] poate fi descrisă astfel:

: <math> A \mapsto D = O + \lambda \overrightarrow{OA}, </math>
: <math> B \mapsto E = O + \lambda \overrightarrow{OB}, </math>
: <math> C \mapsto F = O + \lambda \overrightarrow{OC} </math>

Echivalent, se poate scrie la fel de bine:

: <math> OD = \lambda \overrightarrow{OA}, </math>
: <math> OE = \lambda \overrightarrow{OB}, </math>
: <math> OF = \lambda \overrightarrow{OC} </math>

== Avantaje ==
Noțiunea de omotetie aduce în plus, în geometrie, coeficientul <math>\lambda</math>. 

În geometria riglei și a compasului, numerele care pot lua locul lui <math>\lambda</math> nu ajung pentru a putea trisecta un unghi, dubla un cub sau pentru a face [[cuadratura cercului]].

Însă dacă asemănarea a două obiecte a fost descrisă folosind relațiile de omotetie, geometria riglei și a compasului poate fi riguros generalizată la alte geometrii care corespund corpului de ”coeficienți”, oricât de sărac sau de bogat în numere ar fi acesta.

Astfel, <math>\lambda</math> poate fi un [[număr algebric]], un [[număr real]], un [[număr complex]] sau alt număr dintr-un corp oarecare. În plus, noțiunea de asemănare transcrisă astfel poate fi (și este) implementată în programele de calculator.

== Bibilografie ==
*''Dicționar Tehnic Poliglot'', română, rusă, engleză, germană, franceză, spaniolă, ediția a doua, [[Editura Tehnică]], București 1967
* Michèle Audin, ''Géométrie'', EDP Sciences, 2006

[[Categorie:Geometrie]]