Vizualizare sursă pentru „Număr triunghiular pătratic”

{{Pentru|numerele triunghiulare care sunt și pătratice|număr triunghiular și pătratic}}
{{Infocaseta Șiruri de numere întregi
| image = Nicomachus_theorem_3D.svg
| image_size = 240px
| alt = 
| caption = Un [[pătrat]] a cărui [[latură (geometrie)|latură]] este un [[număr triunghiular]] poate fi divizat în pătrate și jumătăți de pătrate care pot fi lipite de [[cub]]uri ({{harvtxt|Gulley|2010}})
| number = [[Infinit]]
| parentsequence = [[Număr politopic|Numere politopice]]
| formula = <math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3</math>
| first_terms = [[0 (cifră)|0]], [[1 (cifră)|1]], [[9 (cifră)|9]], [[36 (număr)|36]], [[100 (număr)|100]], [[225 (număr)|225]], 441
| OEIS = A000537
| OEIS_name = Triangular number squared
}}
În [[teoria numerelor]] suma primelor {{mvar|n}} [[Cub (algebră)|cuburi]] este [[pătrat (algebră) |pătratul]] celui de al {{mvar|n}}-lea [[număr triunghiular]], adică
:<math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>
Aceeași ecuație poate fi scrisă mai compact folosind notația matematică pentru [[sumă|însumare]]:
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>

Această [[Identitate (matematică)|identitate]] este uneori numită  '''teorema Nicomah''', după [[Nicomah|Nicomah din Gerasa]] (c. 60 – c. 120).

== Istoric ==
Nicomah, la sfârșitul capitolului 20 din ''Introducere în aritmetică'', a subliniat că dacă se scrie o listă a numerelor impare, primul este cubul lui 1, suma următoarelor două este cubul lui 2, suma următoarelor trei este cubul lui 3 etc. El nu merge mai departe de atât, dar din aceasta rezultă că suma primelor {{mvar|n}} cuburi este egală cu suma primelor <math>n(n+1)/2</math> numere impare, adică numerele impare de la 1 la <math>n(n+1)-1</math>. Media acestor numere este în mod evident <math>n(n+1)/2</math> și numărul lor este tot <math>n(n+1)/2</math>, deci suma lor este <math>\bigl(n(n+1)/2\bigr)^2.</math>

Mulți matematicieni au studiat și au demonstrat teorema Nicomah. {{harvtxt|Stroeker|1995}} susține că „fiecare student al teoriei numerelor cu siguranță trebuie să se fi minunat de acest fapt miraculos”. {{harvtxt|Pengelley|2002}} găsește referințe privind identitatea nu numai în lucrările lui Nicomah din [[Iordania]] al primului secol e.n., ci și în cele din [[Aryabhata]] în [[India]] în secolul al V-lea, și în cele din [[Al-Karadji]] din anul c. 1000 în [[Persia]]. {{harvtxt | Bressoud | 2004}} menționează mai multe lucrări matematice timpurii suplimentare despre această formulă: [[Al-Qabisi]] (Arabia din secolul al X-lea), [[Gersonide]] (c. 1300, [[Franța]]) și [[Nilakantha Somayaji]] (circa 1500, India) și reproduce [[demonstrație matematică |demonstrația]] vizuală a lui Nilakantha.

== Valori numerice și interpretări geometrice și probabilistice ==
Șirul numerelor triunghiulare pătratice este:<ref name=OEIS>{{OEIS|A000537}}</ref>
:[[0 (cifră)|0]], [[1 (cifră)|1]], [[9 (cifră)|9]], [[36 (număr)|36]], [[100 (număr)|100]], [[225 (număr)|225]], 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081

Aceste numere pot fi privite ca [[număr figurativ |numere figurative]], o generalizare hiperpiramidală [[cvadridimensional]]ă a [[număr triunghiular |numerelor triunghiulare]] și [[număr pătrat piramidal|numerelor pătrate piramidale]].

După cum observă {{harvtxt|Stein|1971}}, aceste numere indică și numărul de dreptunghiuri cu [[latură (geometrie)|laturile]] orizontale și verticale formate într-o grilă pătrată {{math|''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}}. De exemplu, punctele unei grile {{math|4&nbsp;&times;&nbsp;4}} (sau un pătrat format din trei pătrate mai mici pe o parte) poate forma 36 de dreptunghiuri diferite. Numărul de pătrate dintr-o [[rețea pătrată]] este numărat în mod similar cu numerele pătrate piramidale.

Identitatea admite și următoarea interpretare probabilistică naturală. Fie {{math|''X'', ''Y'', ''Z'', ''W''}} patru numere întregi alese la întâmplare independent și uniform între {{math|1}} și {{mvar|n}}. Atunci, probabilitatea ca {{mvar|W}} să fie cel mai mare dintre cele patru numere este egală cu probabilitatea ca {{mvar|Y}} să fie cel puțin la fel de mare ca {{mvar|X}} și că {{mvar|W }} este cel puțin la fel de mare ca {{mvar|Z}}. Adică <math>P[\max(X,Y,Z)\le W]=P[X\le Y\wedge Z\le W]</math>. Pentru orice [[valoare (matematică) |valoare]] particulară a lui {{mvar|W}}, combinațiile dintre {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} și {{mvar|Z}} care fac ca {{mvar|W}} să fie cel mai mare formează un cub {{math|1 ≤ ''X'', ''Y'', ''Z'' ≤ ''n''}} deci (adăugând dimensiunea acestui cub la toate alegerile lui {{mvar|W}}) numărul de combinații de {{math|''X'', ''Y'', ''Z'', ''W''}} pentru care {{mvar|W}} este cel mai mare este o sumă de cuburi, partea stângă a identității Nicomah. Seturile de perechi {{math|(''X'', ''Y'')}} cu {{math|''X'' ≤ ''Y''}} și de perechi {{math|(''Z'', ''W'')}} cu {{math|''Z'' ≤ ''W''}} formează triunghiuri dreptunghiulare isoscele, iar setul din partea dreaptă a ecuației probabilităților este [[produs cartezian |produsul cartezian]] al acestor două triunghiuri, deci dimensiunea sa este pătratul unui număr triunghiular din partea dreaptă a identității Nicomah. Probabilitățile în sine sunt laturile stânga respectiv dreapta ale identității Nicomah, fiind normalizate pentru a forma probabilități prin împărțirea ambelor părți cu&nbsp;{{math|''n''<sup>4</sup>}}.

Demonstrația matematică se găsește pe [[:en:Squared triangular number |versiunea în limba engleză a articolului]], dar există și demonstrații vizuale<ref>{{en icon}} [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem], eastlink.ca, ([https://web.archive.org/web/20191019215037/http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm arhiva]: ''Adding cubes'', accesat 2021-06-11)</ref>.

== Generalizări ==
Un rezultat similar teoremei Nicomah este valabil pentru toate [[formula Faulhaber |sumele de puteri]], și anume, că sumele de puteri impare sunt un polinom format din numere triunghiulare.
Acestea se numesc ''polinoame Faulhaber'', dintre care suma cuburilor este cel mai simplu și elegant exemplu. Totuși, în niciun alt caz o sumă de puteri nu este un pătrat al alteia.{{sfnp|Edmonds|1957}}

{{harvtxt|Stroeker|1995}} a studiat condiții mai generale în care suma unei succesiuni consecutive de cuburi formează un pătrat. {{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} și {{harvtxt|Warnaar|2004}} au studiat analogii polinomiali ai formulei numărului triunghiular pătrat, în care seria de polinoame se adaugă pătratului unui alt polinom.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{citation
 | last1 = Benjamin | first1 = Arthur T. | last2 = Orrison | first2 = M. E.
 | title = Two quick combinatorial proofs of <math>\textstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2</math>
 | journal = College Mathematics Journal
 | year = 2002
 | volume = 33
 | issue = 5
 | pages = 406–408
 | url = http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf| doi = 10.2307/1559017 | jstor = 1559017 }}
*{{en icon}} {{citation
 | doi = 10.2307/27646391
 | last1 = Benjamin | first1 = Arthur T. | last2 = Quinn | first2 = Jennifer J. | last3 = Wurtz | first3 = Calyssa
 | title = Summing cubes by counting rectangles
 | journal = College Mathematics Journal
 | year = 2006
 | volume = 37
 | issue = 5
 | pages = 387–389
 | url = http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf
 | jstor = 27646391}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Bressoud | first = David
| title = Calculus before Newton and Leibniz, Part III
 | url = http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN3.pdf
 | publisher = AP Central
 | year = 2004}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Edmonds | first = Sheila M.
 | doi = 10.2307/3609189
 | journal = The Mathematical Gazette
 | jstor = 3609189
 | mr = 96615
 | pages = 187–188
 | title = Sums of powers of the natural numbers
 | volume = 41
 | year = 1957}}
*{{en icon}} {{citation
 | last1 = Garrett | first1 = Kristina C. | last2 = Hummel | first2 = Kristen
 | title = A combinatorial proof of the sum of {{mvar|q}}-cubes
 | journal = Electronic Journal of Combinatorics
 | volume = 11
 | year = 2004
 | issue = 1
 | at = Research Paper 9
 | mr = 2034423
|doi=10.37236/1762
|doi-access=free
 | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r9.html}}
*{{en icon}} {{citation
 | last1 = Gulley | first1 = Ned
 | editor-last = Shure | editor-first =  Loren
 | title = Nicomachus's Theorem
 | url = http://blogs.mathworks.com/loren/2010/03/04/nichomachuss-theorem/
 | date = March 4, 2010
 | publisher = Matlab Central}}
*{{en icon}} {{citation
 | doi = 10.2307/3219288
 | last = Kanim | first = Katherine
 | title = Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares
 | jstor = 3219288
 | journal = Mathematics Magazine
 | volume = 77
 | issue = 4
 | year = 2004
 | pages = 298–299}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Nelsen | first = Roger B.
 | title = Proofs without Words
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 1993
 | isbn = 978-0-88385-700-7}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Pengelley | first = David
 | contribution = The bridge between continuous and discrete via original sources
 | url = http://www.math.nmsu.edu/~davidp/bridge.pdf
 | title = Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference
 | year = 2002
 | publisher = National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden}}
*{{en icon}} {{citation|first=T. Sundara|last=Row|title= Geometric Exercises in Paper Folding|year=1893|location=Madras|publisher=Addison|at=[https://archive.org/details/geometricexerci00raogoog/page/n61/mode/2up pp. 47–48]}}
*{{en icon}} {{citation
 | doi = 10.2307/2688231
 | last = Stein | first = Robert G.
 | title = A combinatorial proof that <math>\textstyle \sum k^3 = (\sum k)^2</math>
 | journal = Mathematics Magazine
 | volume = 44
 | issue = 3
 | pages = 161–162
 | year = 1971
 | jstor = 2688231}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Stroeker | first = R. J.
 | title = On the sum of consecutive cubes being a perfect square
 | journal = Compositio Mathematica
 | volume = 97
 | year = 1995
 | issue = 1–2
 | pages = 295–307
 | mr = 1355130
 | url = http://www.numdam.org/item?id=CM_1995__97_1-2_295_0}}
*{{en icon}} {{citation
 | title = The Calculus, a Genetic Approach
 | last = Toeplitz | first = Otto
 | publisher = University of Chicago Press
 | year = 1963
 | isbn = 978-0-226-80667-9}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Warnaar | first = S. Ole
 | title = On the {{mvar|q}}-analogue of the sum of cubes
 | journal = Electronic Journal of Combinatorics
 | volume = 11
 | year = 2004
 | issue = 1
 | at = Note 13
|doi=10.37236/1854
|doi-access=free
 | mr = 2114194
 | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1n13.html}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Wheatstone | first = C.
 | title = On the formation of powers from arithmetical progressions
 | journal = Proceedings of the Royal Society of London
 | volume = 7
 | pages = 145–151
 | year = 1854
 | doi = 10.1098/rspl.1854.0036| url = https://zenodo.org/record/1432033/files/article.pdf
 | doi-access = free
 }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
*{{en icon}} {{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's theorem|mode=cs2}}

{{Numere figurative}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Numere figurative]]
[[Categorie:matematică elementară]]
[[Categorie:Teoria numerelor]]