Vizualizare sursă pentru „Număr prim”

{{Infocaseta Șiruri de numere întregi
| image                 = Primes-vs-composites.svg 
| image_size            = 
| alt                   = 
| caption               = 
| named_after           =
| publication_year      = 1550 î.Hr.
| author                =''[[Papirusul Rhind]]''
| terms_number          =[[Teorema lui Euclid|infinit]]
| con_number            =
| number                =
| parentsequence        =
| formula               =
| first_terms           =2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.
| largest_known_term    =[[Cel mai mare număr prim cunoscut|{{nowrap|2<sup>82.589.933</sup> − 1}}]]<ref name="GIMPS-2018">{{cite web |title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>82,589,933</sup>-1 |url=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html |date=21 December 2018 |work=Mersenne Research, Inc. |access-date=21 December 2018 }}</ref><!-- :en:Largest known prime number-->
| OEIS                  = A000040
| OEIS_name             = The prime numbers.
}}
Un '''număr prim''' este un [[număr natural]], mai mare decât 1, care are exact doi [[divizor]]i pozitivi: numărul 1 și numărul în sine. Acești divizori sunt improprii. Un număr prim este deci [[factorizare|nefactorizabil]].

Opusul noțiunii de număr prim este cel de ''[[număr compus]]''.

Cel mai mic număr prim este 2; în afară de 2 toate numerele prime sunt [[număr impar|numere impare]]. Există o infinitate de numere prime, fapt demonstrat de [[Euclid]] în [[Antichitate]] prin intermediul reducerii la absurd.

== Definiție ==
* Un [[număr natural]] ''p > 1'' se numește '''prim'''{{ref|APP}} dacă :'' p | ab '' atunci ''p | a '' sau ''p | b'', unde a, b sunt numere naturale. De exemplu 15 | 3 <sup>.</sup> 5, dar 15 <math> \nmid</math> 3, 15 <math> \nmid</math> 5, adică 15 nu este număr ''prim''. Aceasta este o proprietate esențială a numerelor ''prime'', iar cele două definiții sunt echivalente pentru ''inelul'' <math>({\mathbb{Z}},+,\cdot)</math>, dar nu sunt echivalente în orice [[inel integru]].
* Mulțimea numerelor prime poate fi notată ''MP={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... infinit}'' și se poate indexa cu indecși naturali consecutivi astfel: ''MP={P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17, P(8)=19, P(9)=23,....P(n), P(n+1), ...P(infinit)}'', cu ''P(n)'' fiind al n-lea număr prim din șirul/mulțimea numerelor prime ''MP'' (care este o mulțime cu o infinitate de elemente).
* Există de asemenea și o infinitate de subtipuri posibile de numere prime. Un subtip special de numere prime îl constituie ''numerele prime cu indecși la rândul lor primi'' (alias "[[:en:Super-prime|prime-index primes]]" sau "[[:en:Super-prime|super-primes]]"). De exemplu, se poate forma o submulțime (infinită) ''MP1'' din ''MP'' extrăgând toate acele elemente din ''MP'' care au indecși primi la rândul lor: ''MP1={P(2)=3, P(3)=5, P(5)=11, P(7)=17, ... P(al n-lea numar prim), P(al [n+1]-lea numar prim)...P(infinit)}''. ''MP1'' se mai numește și "[[:en:Super-prime|mulțimea (șirul) super-primelor de ordinul 1]]; și se poate scrie și astfel: ''MP1={P(P(1))=P(2)=3, P(P(2))=P(3)=5, P(P(3))=P(5)=11, P(P(4))=P(7)=17, ...P(P(n))=P(al n-lea număr prim), P(P(n+1))=P(al [n+1]-lea număr prim),  ...P(P(infinit))}.'' 
* Analog, se poate defini și ''MP2={P(P(P(1)))=P(P(2))=P(3)=5, P(P(P(2)))=P(P(3))=P(5)=11, ...P(P(P(n)))=P(P(al n-lea numar prim)), P(P(P(n+1)))=P(P(al [n+1]-lea numar prim)),  ...P(P(P((infinit)))}.'' Iterativ, se poate defini și un număr super-prim de ordin x ca P(P(P...P(n)) (cu x funcții P incluse una în alta) și ''MPx'' conținînd toate aceste numere pentru x aparținând mulțimii naturale ''N*={1, 2, 3, ...infinit}''. ([http://borve.org/primeness/FOP.html Neil Fernandez 1999], [http://borve.org/primeness/intro.html URL2], [https://www.reddit.com/r/math/comments/20sjul/nested_series_within_the_primes/ URL3])

== Proprietăți ==
* În anul [[300 î.Hr.]] [[Euclid]] a demonstrat că există o infinitate de numere ''prime''. Iată demonstrația: [[reducere la absurd|presupunând prin absurd]] că p ar fi cel mai mare număr prim, construim [[prim factorial|numărul unu plus produsul numerelor prime de la 1 la p]] <math>n=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots p+1</math>. Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5, ....., p, așadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
* Nu se știe dacă există o infinitate de [[numere prime gemene]] ([[impar]]e consecutive ca: [3, 5]; [41, 43]; [59, 61]; [101, 103] etc.).
* Șirul numerelor ''prime'' începe cu 2, 3, 5, 7, {{num|11}}, {{num|13}}, {{num|17}}, {{num|19}}, {{num|23}}, {{num|29}}, {{num|31}}, {{num|37}}, {{num|41}}, {{num|43}}, {{num|47}}, {{num|53}}, {{num|59}}, {{num|61}}, {{num|67}}, {{num|71}}, {{num|73}}, {{num|79}}, {{num|83}}, {{num|89}}, {{num|97}}, {{num|101}}, {{num|103}}, {{num|107}}, {{num|109}}, {{num|113}}, {{num|127}}, {{num|131}}, {{num|137}}, {{num|139}}, {{num|149}}, {{num|151}}, {{num|157}}, {{num|163}}, {{num|167}}, {{num|173}}, {{num|179}}, {{num|181}}, {{num|191}}, {{num|193}}, {{num|197}}, {{num|199}}, {{num|211}}, {{num|223}}, {{num|227}}, {{num|229}}, {{num|233}}, 
{{num|239}}, {{num|241}}, {{num|251}}, {{num|257}}, {{num|263}}, {{num|269}}, {{num|271}}, {{num|277}}, {{num|281}}, {{num|283}}, {{num|293}} <ref>{{OEIS|A000040}}</ref>
* [[Descompunerea în factori primi]]: orice număr natural ''n'', ''n > 1 '' poate fi descompus în mod unic ([[până la]] o [[permutare]] a factorilor) ca produs finit de numere ''prime'', și putem scrie <math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math> ''descompunerea în factori primi '' distincți ai lui ''n'' unde <math> p_j , j=\overline{1,r}</math> sunt numere prime distincte.{{ref|APP}} 
** Exemplu : <math> \ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5</math>.
** Pentru [[număr întreg|numerele întregi]] avem  <math>n =\eta \cdot p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math> , unde <math>\eta \in { \lbrace{-1 , 1} \rbrace}</math>. 
* '''Teorema lui Dirichlet''': În [[Progresie (matematică)|progresia aritmetică]]  a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq, .., cu a>0, q>0 numere naturale [[divizor|prime între ele]], există o infinitate de numere ''prime''. [[demonstrație elementară|Demonstrații elementare]] există pentru progresiile 4n+1 și 4n+3, iar cazul general are o demonstrație elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.{{ref|ITN}} 
* '''[[Postulatul lui Bertrand]]''': Dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim ''p'' cuprins între n și 2n, adică n < p < 2n.
* '''Conjectura lui Andrica''': Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1.<ref>Enunțată de Dorin Andrica, profesor la [[Universitatea Babeș-Bolyai]]. [http://mathworld.wolfram.com/AndricasConjecture.html Andrica's conjecture], Wolfram MathWorld.
</ref>
* Există intervale foarte mari în care nu există numere prime, de exemplu între 370261 și 370373.<ref>Mihăileanu, vol II (1981), p. 524</ref>

== Mărimea numerelor prime cunoscute în prezent ==
* Cel mai mare număr prim găsit până în prezent este 2<sup>74.207.281</sup>- 1 și are peste 22 milioane de cifre.<ref>[http://www.hotnews.ro/stiri-esential-20740285-fost-descoperit-inca-mare-numar-prim-are-cinci-milioane-cifre-mai-mult-decat-numarul-anterior.htm hotnews.ro], 20 ianuarie 2016</ref>
* În decembrie 2018, a fost descoperit un nou [[Prim Mersenne|număr prim Mersenne]]:  2<sup>82.589.933</sup>- 1 și are 24.862.048 de cifre.<ref>{{Cite web|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1|language=en|access-date=2019-01-01}}</ref>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
# {{Note|APP}} I.D. Ion ș.a., ''Algebra pentru perfecționarea profesorilor'',  E.D.P. București,1983, p.&nbsp;77 , 152.
# {{Note|APP}} I.D. Ion ș.a. ''Algebra pentru perfecționarea profesorilor'',  E.D.P. București,1983, p.&nbsp;77 , 152.
# {{Note|ITN}} I. Creangă ș.a., ''Introducere în teoria numerelor'', E.D.P. București,1965.

==Lectură suplimentară==
* [[Nicolae N. Mihăileanu]], ''Istoria matematicii'', vol. 1-2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1974, 1981

== Vezi și ==
* [[Listă de numere prime]] - primele 1000 de numere prime și diferite clase de prime
* [[Teorema numerelor prime]]
* [[Numere prime între ele]]
* [[Teorema lui Wilson]]
* [[Semiprim]]
* [[Primorial]]
* [[Prim factorial]]
* [[Prim permutabil]]
* [[Prim trunchiabil]]

== Legături externe ==
* [http://www.easycalculation.com/prime-number.php Prime number calculator]  - Check prime number, find next largest and next smallest prime numbers of a number 
* Pagina numerelor prime — http://primes.utm.edu/
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Prime_numbers.html MacTutor history of prime numbers]
* [http://publicliterature.org/tools/prime_number_generator Prime Number Generator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090814005741/http://publicliterature.org/tools/prime_number_generator/ |date=2009-08-14 }} - Generate a given number of primes above a given start number.
* [http://primes.utm.edu/lists/small/millions/ Primele 15, 000, 000 numere prime] 
* [http://www.primepuzzles.net/ The prime puzzles]
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/primes.en Primes] de la WIMS  ''online''  generator de numere prime
* [http://www.numberspiral.com/index.html Number Spiral with prime patterns]
* [http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/vardi.html An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060925090553/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/vardi.html |date=2006-09-25 }}
* [http://www.hermetic.ch/factors/factors.htm Factorizer] Windows software to find prime numbers and pairs of prime numbers less than 2,147,483,646.
* [http://www.bigprimes.net/archive/prime/ Huge database of prime numbers]
* [https://web.archive.org/web/20040604053354/http://www.eff.org/awards/coop.php EFF Cooperative Computing Awards]
* [http://primes.utm.edu/largest.html Cel mai mare număr prim  cunoscut !]
* [http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html Numere prime - mathworld]
* [http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm Math.com calculator]
{{Portal|Matematică}}

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Numere prime| ]]