Vizualizare sursă pentru „Număr extrem compus superior”

[[Fișier:Divisor.svg|thumb|{{ill-wd| Q915474}} ''d''(''n'') până la ''n''&nbsp;=&nbsp;250]]
[[Fișier:Prime powers in SHCN, CAN.svg|thumb|Puterile factorilor primi ai numerelor extrem compuse superioare și ai numerelor colosal abundente]]
În [[matematică]], un '''număr extrem compus superior''' este un [[număr natural]] care are mai mulți [[divizor]]i pentru o putere pozitivă a lui însuși decât orice alt număr.<ref name=C33>Coman, ''Enciclopedia…'', p.&nbsp;33</ref><ref name=OEIS>{{OEIS|A002201}}</ref> Este o [[restricție (matematică) |restricție]] mai puternică decât cea a unui [[număr extrem compus]], care este definit ca având mai mulți divizori decât orice număr întreg pozitiv mai mic.

Tabelul următor cuprinde primele 10 numere extrem compuse superioare<ref name=OEIS/> și factorizarea lor.
{| class="wikitable" 
|-
! Nr. factori<br/>primi
! ''n''
! factorizarea
! exponenții<br/>numerelor prime
! colspan=2|nr. divizorilor<br/>d(''n'')
! factorizarea<br/>[[primorial]]ă
|-
| 1
| [[2 (cifră)|2]]
| {{math| 2 }}
| 1
| 2
| 2
| {{math| 2 }}
|-
| 2
| [[6 (cifră)|6]]
| {{math| 2 ⋅ 3 }}
|1,1
| 2<sup>2</sup>
| 4
| {{math| 6 }}
|-
| 3
| [[12 (număr)|12]]
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 3 }}
|2,1
| 3×2
| 6
| {{math| 2 ⋅ 6 }}
|-
| 4
| [[60 (număr)|60]]
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 3 ⋅ 5 }}
|2,1,1
| 3×2<sup>2</sup>
| 12
| {{math| 2 ⋅ 30 }}
|-
| 5
| [[120 (număr)|120]]
| {{math| 2<sup>3</sup> ⋅ 3 ⋅ 5 }}
|3,1,1
| 4×2<sup>2</sup>
| 16
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 30 }}
|-
| 6
| [[360 (număr)|360]]
| {{math| 2<sup>3</sup> ⋅ 3<sup>2</sup> ⋅ 5 }}
|3,2,1
| 4×3×2
| 24
| {{math| 2 ⋅ 6 ⋅ 30 }}
|-
| 7
| 2520
| {{math | 2<sup>3</sup> ⋅ 3<sup>2</sup> ⋅ 5 ⋅ 7 }}
|3,2,1,1
| 4×3×2<sup>2</sup>
| 48
| {{math| 2 ⋅ 6 ⋅ 210 }}
|-
| 8
| 5040
| {{math| 2<sup>4</sup> ⋅ 3<sup>2</sup> ⋅ 5 ⋅ 7 }}
|4,2,1,1
| 5×3×2<sup>2</sup>
| 60
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 6 ⋅ 210 }}
|-
| 9
| 55440
| {{math| 2<sup>4</sup> ⋅ 3<sup>2</sup> ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 }}
|4,2,1,1,1
| 5×3×2<sup>3</sup>
| 120
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 6 ⋅ 2310 }}
|-
| 10
| 720720
| {{math| 2<sup>4</sup> ⋅ 3<sup>2</sup> ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 }}
|4,2,1,1,1,1
| 5×3×2<sup>4</sup>
| 240
| {{math| 2<sup>2</sup> ⋅ 6 ⋅ 30030 }}
|}

== Proprietăți == 
[[Fișier:Highly_composite_numbers.svg|thumb|300px|Graficul numărului divizorilor întregilor dintre 1 și 1000. Numerele extrem compuse sunt marcate aldine iar cele extrem compuse superioare și cu stea. În [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Highly_composite_numbers.svg the SVG fișier], plasați mouse-ul pe o bară pentru a vedea factorizarea.]]
{{Diagrama Euler a numerelor cu mai mulți divizori}}
Pentru un număr extrem compus superior ''n'' există un număr real pozitiv ''ε'' astfel încât pentru toate numerele naturale ''k'' mai mici decât ''n'' avem
:<math>\frac{d(n)}{n^\varepsilon}\geq\frac{d(k)}{k^\varepsilon}</math>
iar pentru toate numerele naturale ''k'' mai mari decât ''n'' avem
:<math>\frac{d(n)}{n^\varepsilon}>\frac{d(k)}{k^\varepsilon}</math>
unde ''d(n)'', {{ill-wd| Q915474}}, indică numărul de divizori ai lui ''n''. Termenul a fost inventat de [[Srinivasa Ramanujan |Ramanujan]] (1915).<ref>{{en icon}} {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Superior Highly Composite Number|url=https://mathworld.wolfram.com/SuperiorHighlyCompositeNumber.html|access-date=2021-03-05|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

Primele 15 numere extrem compuse superioare, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 și 6983776800 <ref name=OEIS/> sunt și primele 15 [[număr colosal abundent |numere colosal abundente]],<ref>Coman, ''Enciclopedia…'', p.&nbsp;21</ref> care îndeplinesc o condiție similară bazată pe funcția sumei divizorilor în loc de numărul divizorilor. Însă niciunul dintre aceste șiruri nu este un subșir al celuilalt.

Toate numerele compuse superioare sunt [[număr extrem compus |numere extrem compuse]].<ref>Coman, ''Enciclopedia…'', p.&nbsp;32</ref>

Un mod eficient de generare a mulțimii tuturor numerelor extrem compuse superioare este dat de următoarea relație monotonă dintre numerele reale pozitive.<ref>{{en icon}} Ramanujan (1915); see also URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi</ref> Fie
:<math>e_p(x) = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt[x]{p} - 1} \right\rfloor</math>
pentru orice număr prim ''p'' și real pozitiv ''x''. Atunci
:<math>s(x) = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{e_p(x)}</math>
este un număr extrem compus superior.

De reținut că produsul nu trebuie să fie calculat la nesfârșit, deoarece dacă <math>p > 2^x</math> atunci <math>e_p(x) = 0</math>, deci calculul produsului <math>s(x)</math> poate fi încheiat odată ce <math>p \ge 2^x</math>.

De asemenea, este de reținut că în definiția lui <math>e_p(x)</math>, <math>1/x</math> este analog cu <math>\varepsilon</math> din definiția implicită a unui număr extrem compus superior.

Mai mult, pentru orice număr extrem compus superior <math>s^\prime</math> există un interval semideschis <math>I \subset \R^+</math> astfel încât <math>\forall x \in I: s(x) = s^\prime</math>.

Această reprezentare implică faptul că există o succesiune infinită de <math>\pi_1, \pi_2, \ldots \in \mathbb{P}</math> astfel încât pentru al ''n''-lea număr extrem compus superior <math>s_n</math> este valabilă relația
:<math>s_n = \prod_{i=1}^n\pi_i</math>

Primele <math>\pi_i</math> sunt 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... <ref>{{OEIS|A000705}}</ref>. Cu alte cuvinte, câtul a două numere extrem compuse superioare este un număr prim.

== Sisteme de numerație bazate pe numere extrem compuse superioare ==
Adesea primele câteva numere extrem compuse superioare au fost folosite ca [[bază de numerație |baze de numerație]], datorită [[multiplu|multiplilor]] divizori ai lor. De exemplu:
* [[Sistem binar|Sistemul binar]] (baza 2)
* [[Sistem senar|Sistemul senar]] (baza 6)
* [[Sistem duodecimal|Sistemul duodecimal]] (baza 12)
* [[Sistem sexagesimal|Sistemul sexagesimal]] (baza 60)

Numere extrem compuse superioare apar în diferite aplicații, de exemplu [[360 (număr)|360]] apare ca numărul [[grad sexagesimal|gradelor]] dintr-un [[cerc]].

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* Marius Coman, ''Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi'', Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, {{ISBN|978-1-59973-237-4}}
* {{en icon}} {{cite journal | last1=Ramanujan | first1=S. | author1-link=Srinivasa Ramanujan | title=Highly composite numbers | jfm=45.1248.01 | doi=10.1112/plms/s2_14.1.347 | journal=Proc. London Math. Soc. |series=Series 2 | volume=14 | pages=347–409 | year=1915 | url=https://zenodo.org/record/1433496/files/article.pdf }}  Reprinted in ''Collected Papers'' (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp.&nbsp;78–129, 1962
* {{en icon}} {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=45–46}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld |urlname=SuperiorHighlyCompositeNumber |title=Superior highly composite number}}

[[Categorie:Șiruri de numere întregi]]