Vizualizare sursă pentru „Număr complex”

[[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|Un număr complex poate fi reprezentat vizual ca pereche de numere {{math|(''a'', ''b'')}} formând un vector de poziție al unui punct în [[diagrama Argand]], reprezentând [[planul complex]]. ''Re'' e axa reală, ''Im'' e axa imaginară, {{mvar|i}} e [[unitatea imaginară]] care îndeplinește {{math|1=''i''{{sup|2}} = −1}}.]]

În [[matematică]], '''numerele complexe''' sunt numere introduse ca soluții ale [[ecuație|ecuațiilor]] de forma <math>x^2 + p = 0,</math> cu {{mvar|p}} [[număr real]] strict pozitiv.

Formal, [[corp (matematică)|corpul]] numerelor complexe, notat cu <math>\mathbb{C}</math>, este [[mulțime]]a tuturor [[pereche ordonată|perechilor ordonate]] de numere reale {{math|(''a'', ''b'')}}, înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

:<math>(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) \,,</math>

:<math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, bc + ad) \,.</math>

[[Element neutru|Elementul neutru]] al operației de adunare este <math>(0, 0)</math> iar elementul neutru al operației de înmulțire este <math>(1, 0).</math>

Deoarece <math>(a,0) + (c,0) = (a + c, 0)</math> și <math>(a,0)(c,0) = (ac, 0)</math>, mulțimea numerelor reale poate fi privită ca [[corp (matematică)#subcorp|subcorp]] a lui <math>\mathbb{C}</math>, identificând numărul real <math>a</math> cu <math>(a, 0).</math>

Spre deosebire de numerele reale, între numerele complexe nu există [[relație de ordine]]<ref>W Kercs, ''Complemente de matematici cu aplicații în tehnică'', p. 13</ref>.

Numărul complex <math>i = (0, 1)</math> are proprietatea <math>(0,1) \cdot (0,1) = (-1, 0),</math> adică <math>i^2 = -1.</math> Fiindcă niciun număr real nu are această proprietate, numărul {{mvar|i}} a fost denumit „[[unitatea imaginară]]” de [[René Descartes]], iar de aici vine notația {{mvar|i}}. În prezent, „[[numere imaginare|numerele imaginare]]” se referă la numere complexe de forma <math>(0, x),</math> adică {{mvar|''xi''}} cu {{mvar|x}} număr real.

Există o similaritate ([[izomorfism]]) între operația de adunare a numerelor complexe și adunarea vectorilor. Numerele complexe permit obținerea unor valori pentru funcțiile [[sinus]], [[cosinus]] prin rezolvarea prin 2 procedee (algebric și trigonometric) a unei ecuații [[binom]]e implicând [[rădăcină a unității|rădăcini ale unității]].
 
== Istoric ==

Așa cum [[număr irațional|numerele iraționale]] apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma <math>\ x^2 - q = 0,</math> unde {{mvar|q}} nu este un [[pătrat perfect]], numerele complexe au fost introduse ca soluții ale ecuațiilor de forma <math>x^2 + p = 0,</math> cu {{mvar|p}} [[număr real]] strict pozitiv.

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e [[Heron din Alexandria]] la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchiul de [[con]].

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e [[Girolamo Cardano]] in 1545. Tratatul din 1572 al lui [[Rafael Bombelli]] face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de [[René Descartes]] și [[John Wallis]], ulterior de [[Abraham de Moivre]] și [[Roger Cotes]] care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și [[trigonometrie]]. Cotes in 1715 ajunge la a deduce [[formula lui Euler]] sub formă logaritmică. Logaritmii numerelor negative ca numere complexe sunt analizați de Leonhard Euler.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu [[Caspar Wessel]], [[Jean Robert Argand]] și [[Carl Friedrich Gauss]] (în memoriul său din 1932).

== Forma algebrică ==
Ținând cont de cele de mai sus, orice număr complex {{mvar|z}} corespunde la o singură pereche ordonată <math>(a,b),</math> unde {{mvar|a}} și {{mvar|b}} sunt numere reale, și poate fi scris
:<math>z = (a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a + bi.</math>
Această scriere <math>z = a + bi </math> este numită '''forma algebrică''' a numărului {{mvar|z}}. Spre exemplu:
* <math>(0,0)= 0</math> și <math>\ (1,0)= 1.</math>
* <math>(0,1) = i</math> este numit [[unitatea imaginară]] sau, mai simplu, „numărul i”. Are proprietatea <math>i^2 = -1.</math> 

Pentru un număr complex <math>z = a + bi,</math> <math>a</math> se numește '''partea reală''' a lui <math>z</math> și se notează <math>a = \mathrm{Re}(z),</math> iar <math>b</math> se numește '''partea imaginară''' a lui <math>z</math> și se notează <math>b = \mathrm{Im}(z).</math> Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma <math>z = bi </math>) se mai numește „număr imaginar”.

== Reprezentarea geometrică a numerelor complexe ==
[[File:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|Argumentul {{mvar|φ}} și modulul {{mvar|r}} localizează un punct în planul complex]]

[[Fișier:Euler's formula.svg|thumb|right|Reprezentarea grafică a numerelor complexe de modul unitar pe [[cercul unitate]]]]

Așa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă ([[axa numerelor]]), tot astfel, unui număr complex îi se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit [[planul complex]]. Numărului complex <math>z = a + bi</math> i se asociază punctul {{math|''M''(''a'', ''b'')}} situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul {{mvar|r}} numărului complex. Această asociere stă la baza [[Diagrama Argand|diagramelor Argand]]. Raza unui cerc dusă din originea sistemului de coordonate până la punctul {{mvar|M}} este un [[vector euclidian]] al poziției punctului respectiv. Acestei reprezentări îi corespunde forma exponențială a unui număr complex, prin [[formula lui Euler]].

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu [[John Wallis]].

=== Planul complex cartezian ===
Reprezentarea numerelor complexe în planul complex se poate face prin [[coordonate carteziene|coordonatele carteziene]] constituite de axa reală orizontală (abscisa) {{mvar|Ox}} și axa imaginară verticală (ordonata) {{mvar|Oy}}.

=== Planul complex în coordonate polare ===

Folosirea unui sistem de raportare prin [[coordonate polare]] în plan permite situarea punctului din plan asociat unui număr complex pe un cerc de rază egală cu modulul numărului complex, modul egal cu lungimea (modulul) [[vector euclidian|vectorului]] poziție al punctului reprezentat de numărul complex.

Cercul asociat unui număr complex constituie un [[loc geometric]] al numerelor complexe cu același modul.

=== Folosirea în probleme de geometrie ===
Numerele complexe pot fi folosite în probleme geometrice similar cu folosirea vectorilor euclidieni. Ele permit formularea unei geometrii analitice în coordonata complexă '''z''' similare geometriei analitice bazate pe coordonate carteziene și polare<ref>Ianuș, Țena, Nicolae, p. 83</ref>.

Diferența a două numere complexe în forma algebrică este echivalentă cu un vector orientat de la punctul asociat celui de al doilea număr complex (care este al doilea termen al scăderii) către punctul asociat primului număr complex (care este primul termen al scăderii).

Pot fi folosite în demonstrarea unor teoreme geometrice, de exemplu [[teorema bisectoarei#Folosind numere complexe sau vectori reprezentați în coordonate carteziene|teorema bisectoarei]].

== Relații și operații cu numere complexe ==

* '''[[Egalitate (matematică)|Egalitatea]]''' a două numere complexe ''z = (a,b) = a + bi'' și ''w = (c,d) = c + di'' are loc dacă ''a = c'' și ''b = d''.

[[File:Vector Addition.svg|right|thumb|Adunarea a două numbere complexe poate fi făcută geometric prin construirea unui [[paralelogram]]]]

* '''[[Sumă|Suma]]''' a două numere complexe ''z = (a,b) = a + bi'' și ''w = (c,d) = c + di'' este ''z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d)''. Pentru diferență componentele numărului complex care se scade sunt luate cu semnul minus, adică se adună [[element opus|opusul]] numărului complex care se scade.

* '''[[Înmulțire (matematică)|Produsul]]''' a două numere complexe ''z = (a,b)= a + bi'' și ''w = (c,d) = c + di'' este ''zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad)''.
* Exemple: pentru ''z = (2,3) = 2 + 3i'' și ''w = (1,4) = 1 + 4i'' avem suma ''z + w'' = (3,7) = 3 + 7i și produsul ''zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Numerele complexe permit factorizarea unei sume de [[pătrat (algebră)|pătrate]] similar procedeului de la [[diferență a două pătrate]] în produsul sumei prin diferență.

:<math> a^2 + b^2 = (a + i b)(a - i b)</math>

=== Împărțire ===
Numărul complex <math>\bar z=x-iy</math> se numește [[Conjugată complexă|conjugatul complex]] al numărului complex <math>z=x+iy</math> (vezi [[#Conjugatul unui număr complex|mai jos]]).

Pentru fiecare număr complex <math>a+bi,</math> în afară de zero, se poate găsi un număr complex <math>\frac{1}{a+bi}.</math> ''invers lui''{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=2|name=AH2}} Pentru aceasta înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu numărul complex <math>a-bi,</math> conjugat numitorului: <math>\frac{1}{a+bi}=  \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=  \frac{a-bi}{a^2+b^2}= \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.</math>

Se definește rezultatul împărțirii numărului complex <math>a+bi</math> cu un număr diferit de zero <math>c+di\colon</math>
: <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.</math>
Ca și în cazul numerelor reale, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțirea deîmpărțitului cu [[element invers|inversul]] [[divizor]]ului.

== Forma trigonometrică ==
Orice număr complex a cărui formă algebrică este <math>z=a+bi</math> poate fi scris și sub ''formă trigonometrică'', adică sub forma <math>z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,</math>, unde <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> este ''modulul'' numărului complex z, iar <math>\varphi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> este ''[[argumentul unei funcții|argumentul]]'' acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

[[File:Complex multi.svg|right|thumb|înmulțirea lui {{math|2 + ''i''}} (triunghiul albastru) și {{math|3 + ''i''}} (triunghiul roșu). Triunghiul roșu e rotit până pe latura celui albastru (adunarea celor două unghiuri în termenii lui ''φ''<sub>1</sub>+''φ''<sub>2</sub> în egalitate) și întins cu lungimea ipotenuzei triunghiului albastru (produsul celor două raze, prin termenul ''r''<sub>1</sub>''r''<sub>2</sub> in the equation).]]

* <math>z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(\cos(t_1+t_2)+i \sin(t_1+t_2))</math>

* <math>{z_1 \over z_2}=</math> <math>{r_1 \over r_2}(\cos(t_1-t_2)+i \sin(t_1-t_2))</math>

* <math>\ z^n = r^n(\cos(nt)+i \sin(nt))</math>

* <math>\sqrt[n\,]{z} = \sqrt[n\,]{r}(\cos</math><math>{{ t+2k\pi} \over {n}}+i \sin{{ t+2k\pi} \over {n}})</math>, k={0,1,2,... n-1}

== Forma exponențială ==
Numărul complex a cărui formă trigonometrică este <math>z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,</math> poate fi scris sub ''forma exponențială'' <math> z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,</math>. Această posibilitate reiese din [[formula lui Euler]].

== Forma matricială ==

Mulțimea matricilor de dimensiuni <math>2\times2</math> de forma: <math>Z = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = a \cdot E + b \cdot I</math> cu <math>a,b\in\R</math>
reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde <math>E</math> reprezintă [[Matrice unitate|matricea unitate]] și matricea <math>I</math> reprezintă unitatea imaginară. Avem:
: <math>\mathrm{Re}(Z) = a</math>
: <math>\mathrm{Im}(Z) = b</math>
: <math>I^2 = -E</math> (analog cu <math>\mathrm i^2 = -1</math>)
: <math>\operatorname{abs}(Z) = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\det Z}</math>
Această mulțime reprezintă un subspațiu din [[spațiul vectorial]] al matricilor de dimensiuni <math>2\times2</math>.

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma 
: <math>\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}.</math>

== Conjugatul unui număr complex ==
{{articol principal|Conjugată complexă}}
* '''Conjugatul complex''' al unui numar <math>\ z = a + bi </math> este numărul complex <math>\bar{z} = a - bi</math> .
* Proprietățile '''conjugatului''' complex :
** <math>\overline{ \overline {z} }= z</math>
** <math>{\bar {z}}{ \bar w} = \overline {zw}</math>
** <math>{\bar {z}} + { \bar w} = \overline {z + w}</math>
** <math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}</math> <math> \Leftrightarrow </math> <math>\overline{\left({z \over w}\right)} = {{\bar{z}} \over {\bar{w}}}</math>

== Modulul unui număr complex ==
* '''Modulul''' numărului complex <math>\ z = a + bi</math> este numărul real <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>. Este [[lungime]]a (modulul) vectorului poziție al afixului numărului complex.

* '''Proprietățile''' modulului:
** <math>|z| \ge 0, \forall z \in \mathbb{C}</math>
** <math>|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0</math>
** <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|</math>
** <math>|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|</math> (inegalitatea triunghiului)
** <math>|z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n|= |z_1| \cdot |z_2| \cdot ... \cdot |z_n|</math>
** <math>|z_1^n|= {| z_1|}^n </math>
** <math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= {{| z_1|} \over {|z_2|}}</math>
** Are loc identitatea <math>|z|^2= z\bar{z}</math> și deci <math> {1 \over z}={{\bar{z}} \over {|z|^2}}</math> , dacă <math>\ z\ne 0</math>
** <math>|\pm i| = 1</math>.

== Puterile și radicalii numerelor complexe ==
=== Puterile lui {{math|i}} ===

<math>\ i^2 = -1 </math><math>\ => </math><math>\ i^3 = </math><math>\ i^2  \cdot i=i \cdot (-1)=-i</math>

<math>\ i^3 = -i </math><math>\ => </math><math>\ i^4 = </math><math>\ i^3  \cdot i=i \cdot (-i)=1</math>

Generalizare:

* <math>\ i^n = 1 </math> cu <math>\ n </math> de forma <math>\ 4k </math>

* <math>\ i^n = i </math> cu <math>\ n </math> de forma <math>\ 4k+1 </math>

* <math>\ i^n = -1 </math> cu <math>\ n </math> de forma <math>\ 4k+2 </math>

* <math>\ i^n = -i </math> cu <math>\ n </math> de forma <math>\ 4k+3 </math>

=== Puterile naturale ale numerelor complexe ===

Pentru puteri naturale <math> n </math> ale numerelor complexe scrise sub forma polară <math> z=r\cdot e^{i\cdot \varphi} </math>
există formula de calcul:
*<math> z^n=r^n\cdot e^{i\cdot n \cdot\varphi} </math>
sau, folosind forma algebrică a numerelor complexe <math> z=a+ i \cdot b </math>, se obține prin [[binomul lui Newton]]

*<math> z^n = \sum_{k=0, k\,par}^n {n \choose k}\cdot (-1)^{\frac{k}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^k + i \sum_{k=1, k\,impar}^n {n \choose k}\cdot (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cdot a^{n-k}\cdot b^k </math>,
unde <math>{n \choose k} = C_n^k </math> reprezintă [[coeficient binomial |coeficientul binomial]] (numărul de combinări de <math>n</math> elemente luate câte <math>k</math>).

=== Puterile complexe ale numerelor complexe ===

Dacă baza <math> z </math> și exponentul <math> \omega </math> al puterii sunt ambele numere complexe, atunci
*<math> z^{\omega} := e^{\omega\cdot \ln z }</math>
=== Radicalii numerelor complexe ===
În privința calculului cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regula semnelor de la numere reale nenegative pentru produse și câturi sub radical. Indiferent care din cele două valori se folosesc, {{math|''i''}} sau <math>-i = - \sqrt{-1}</math> se obține:

::<math> 1 = \sqrt 1 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1</math>

Pentru calculul [[radical (matematică)|radicalului de ordinul n]] al unui număr complex <math>z = re^{\mathrm i\phi}</math> se folosește formula

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\, e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n}</math>,
unde {{mvar|k}} ia valorile <math> 0, 1, \ldots, n-1 </math>. Un număr complex are deci {{math|''n''}} rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

== Logaritmul unui număr complex ==

Numărul complex <math>w</math> este un logaritm natural al numărului complex <math>z \neq 0</math> dacă
:<math>e^w = z</math>.
Urmărește că dacă <math>w</math> este un logaritm natural a lui {{mvar|z}}, atunci fiecare dintre numerele <math> w + 2k \pi \mathrm \, i </math>, cu <math>k \in \mathbb{Z}</math>, este și el un logaritm natural a lui {{mvar|z}}. Cu alte cuvinte, logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat, iar logaritmii naturali ai lui {{mvar|z}} sunt numerele
:<math> \ln(z) = \ln |z| + \mathrm i\, \mathrm{arg}(z),</math>
unde <math>\ln |z|</math> este logaritmul natural (unic) al numărului real <math>z</math>, și <math>\mathrm{arg}(z)</math> este un argument (neunic) a lui <math>z</math>.

Pentru a obține o valoare unică a logaritmului, se poate folosi în formula precedentă [[valoarea principală]] a argumentului — adică unicul argument <math>\phi</math> al lui <math>z</math> astfel încât <math>\phi \in ]-\pi, \pi].</math> Prin convenție, valoare principală a argumentului se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din altele argumente:
:<math>\mathrm{Arg}(z) \in ]-\pi, \pi]\quad</math> și <math>\quad\mathrm{Arg}(z) = \mathrm{arg}(z) + 2k \pi \mathrm,\; k \in \mathbb{Z}.</math>
Se numește valoarea principală a logaritmului natural numărul complex
:<math>\mathrm{Ln}(z) = \ln |z| + \mathrm i\, \mathrm{Arg}(z).</math>
Ca pentru valoarea principală a argumentului, valoarea principală a logaritmului natural se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din alți logaritmi.

Formulat altfel, dacă <math>z = re^{\mathrm i \phi}</math>, unde <math>r > 0</math> și <math>- \pi <\phi \leq \pi </math>, atunci valoarea principală a logaritmului lui <math>z</math> este
:<math>\mathrm{Ln}(z) = \ln r + \mathrm i \phi</math>.

== [[Formula lui Euler]] și identitatea lui Euler ==
Pornind de la reprezentarea funcțiilor sinus și cosinus pe cercul trigonometric se poate ajunge la formula lui Euler care exprimă un număr complex de modul unitate ([[rădăcină a unității]]) prin intermediul funcției exponențiale:

:<math> \mathrm{e}^{i \varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \, </math>

În cazul particular în care {{math|φ {{=}} π}} se obține identitatea lui Euler.<ref>{{en icon}} [http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Proof_Euler_s_Identity.html Proof of Euler's identity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051104094457/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Proof_Euler_s_Identity.html |date=2005-11-04 }}</ref>
:<math> \mathrm{e}^{i \pi} = -1</math>

== Note ==
<references/>
== Bibliografie ==
* Nicolae Mihăileanu, ''Istoria matematicii'', volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208
* {{en icon}} {{Citat carte |autor=[[Lars Ahlfors]] |ref=CITEREFAhlfors_Lars_V.1979|isbn=0-07-000657-1 |titlu=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable |ediție=Third edition |an=1979 |pagini=317 |loc=Harvard University |editură=McGraw-Hill Book Company}}
* [http://manualul.info/Alg_IX_1988/ ***, Manual de Algebră pentru clasa a IX-a, 1988]

== Vezi și ==

* [[Cuaternion]]
* [[Formula lui Euler]]
* [[Formula lui Moivre]]
* [[Transformare geometrică]]

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://mathforum.org/johnandbetty/ John and Betty's Journey Through Complex Numbers]
* {{en icon}} [http://www.sosmath.com/complex/complex.html SOS Math - Complex Variables]
* {{en icon}} [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbers.shtml Algebraic Structure of Complex Numbers] de la situl ''cut-the-knot''
* {{en icon}} [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ComplexNumberOrigin.html A history of complex numbers].
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=ComplexNumber |title=Complex Number}}
{{Portal|Matematică}}
{{Mulțimi de numere}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Numere complexe| ]]