Vizualizare sursă pentru „Număr Pell”

{{Infocaseta Șiruri de numere întregi
| image                 = Silver spiral approximation.svg
| image_size            = 300px
| alt                   = 
| caption               = Laturile pătratelor utilizate pentru a construi o [[Spirala de argint|spirală de argint]] sunt numerele Pell
| named_after           =[[John Pell]]
| publication_year      =
| author                =[[Leonhard Euler]]
| terms_number          =
| con_number            =
| number                = infinit
| parentsequence        = 
| formula               = <math>P_n=\begin{cases}0&\mbox{dacă }n=0;\\1&\mbox{dacă }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{în alt caz.}\end{cases}</math>
| first_terms           =1, 2, {{num|5}}, {{num|12}}, {{num|29}}, {{num|70}}, {{num|169}}, 408, 985
| largest_known_term    =
| OEIS                  = A000129
| OEIS_name             = Pell numbers
}}
:''A nu se confunda cu [[Număr Bell]].''
În [[matematică]], '''numerele Pell''' sunt o succesiune infinită de [[Număr întreg|numere întregi]], cunoscute din cele mai vechi timpuri, care sunt egale cu numitorii care aproximează din ce în ce mai fidel [[Rădăcină pătrată|rădăcina pătrată a lui 2]]. Acest [[Șir (matematică)|șir]] de aproximări începe cu {{sfrac|1|1}}, {{sfrac|3|2}}, {{sfrac|7|5}}, {{sfrac|17|12}} și {{sfrac|41|29}}, așadar șirul numerelor Pell începe cu 1, 2, 5, 12, și 29 <!-- și 70-->.<ref>{{OEIS|A000129}}</ref> [[Numărător]]ii aceluiași șir de aproximări înmulțiți cu 2 se numesc '''numere Pell–Lucas'''; aceste numere formează un al doilea șir [[infinit]] de numere întregi care începe cu 2, 6, 14, 34, 82 și 198.<ref>{{OEIS|A002203}}</ref>

Numele acestor numere provine de la matematicianul englez [[John Pell]], căruia Euler i-ar fi atribuit din greșeală studiul acestor numere în detrimentul altui matematician englez contemporan cu Pell, [[William Brouncker]]. 

Numerele Pell sunt definite asemenea [[număr Fibonacci|numerelor Fibonacci]] sau a [[număr Lucas|numerelor Lucas]], prin recurență, fiecare termen al seriei infinite fiind definit în funcție de cei doi termeni anteriori ai săi.<ref>[[Marius Coman (matematician)|Marius Coman]], [http://fs.unm.edu/EnciclopediaNumerelor.pdf ''Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi'']</ref>

Astfel, numerele Pell sunt numerele de forma:
:<math>P_n=\begin{cases}0&\mbox{dacă }n=0;\\1&\mbox{dacă }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{în alt caz.}\end{cases}</math>

În cuvinte, secvența numerelor Pell începe cu 0 și 1, iar apoi fiecare număr Pell următor este suma de dublul numărului Pell anterior și a numărului Pell dinaintea acestuia. Primii termeni ai secvenței sunt:

:0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,…  

2 = 1 x 2 + 0

5 = 2 x 2 + 1

12 = 5 x 2 + 2

29 = 12 x 2 + 5 ș.a.m.d.

Pe lângă faptul că sunt utilizate pentru a aproxima rădăcina pătrată a lui 2, numerele Pell pot fi folosite pentru a găsi numere pătrate triunghiulare, pentru a construi aproximări întregi ale triunghiului dreptunghic isoscel  și pentru a rezolva anumite probleme de [[Combinatorică|combinatorică enumerativă]]. 

==Prime Pell==
Un număr Pell care este și [[număr prim]] se numește '''prim Pell'''. Pentru ca numărul Pell P<sub>n</sub> să fie prim trebuie ca indicele ''n'' să fie prim. 

Primele numere prime Pell sunt:
: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087... <ref>{{OEIS|id=A096650}}</ref>

==Note==
<references />

==Vezi și==
* [[Listă de numere]]

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Teoria numerelor]]
[[Categorie:Șiruri de numere întregi|Pell]]