Vizualizare sursă pentru „Nucleu (algebră liniară)”

În [[matematică]], și mai precis în [[Algebră liniară|algebra liniară]] și {{Ill-wd|Q190549|3=analiza funcțională}}, '''nucleul '''(de asemenea, cunoscut sub numele de '''kernel''' sau '''ker''', după notația practicată) al unei [[Transformare liniară|aplicații liniare]] {{Nowrap|''L'' : ''V'' → ''W''}} între două [[Spațiu vectorial|spații vectoriale]] ''V'' și ''W'', este mulțimea tuturor elementelor '''v''' din ''V'' pentru care {{Nowrap|1=''L''('''v''') = '''0'''}}, unde '''0''' indică ''vectorul zero'' din ''W''. Adică, în {{Ill-wd|Q3352804|3=notația de construcție a mulțimilor}},
:<math>\ker(L) = \left\{ \mathbf{v}\in V \mid L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \right\}\text{.} </math>

== Proprietăți ale nucleului ==
[[Fișier:KerIm_2015Joz_L2.png|miniatura|Nucleul și imaginea unei aplicații ''L''.]]
Nucleul lui ''L'' este un {{Ill-wd|Q728435|3=subspațiu vectorial}} al [[Domeniu de definiție|domeniului]] ''V''.<ref name="textbooks">Algebra liniară, așa cum este discutată în acest articol, este o disciplină matematică foarte bine stabilită, pentru care există multe surse. Aproape tot materialul din acest articol poate fi găsit în {{harvnb|Lay|2005}}, {{harvnb|Meyer|2001}}, și cursul lui Strang.</ref>
În aplicația liniară {{Nowrap|''L'' : ''V'' → ''W''}}, două elemente din ''V'' au aceeași [[Imaginea unei funcții|imagine]] în ''W'' [[dacă și numai dacă]] diferența lor aparține nucleului lui ''L'':
:<math>L(\mathbf{v}_1) = L(\mathbf{v}_2)\;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\;L(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)=\mathbf{0}\text{.}</math>
Rezultă că imaginea ''L'' este [[Izomorfism|izomorfă]] cu {{Ill-wd|Q1393796|3=factorul}} lui ''V'' în raport cu nucleul:
:<math>\mathop{\mathrm{im}}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}</math>
Acest lucru implică {{Ill-wd|Q303402|3=teorema rangului}}:
:<math>\dim(\ker L) + \dim(\mathop{\mathrm{im}} L) = \dim(V)\text{.}\,</math>
Dimensiunea imaginii lui ''L'' se numește „rang”, iar cea a nucleului se numește „defect”.

Când ''V'' este un [[Spațiu prehilbertian|spațiu cu produs scalar]], factorul {{Nowrap|''V'' / ker(''L'')}} poate fi identificat cu [[Subspațiu ortogonal|complementul ortogonal]] în ''V'' al  lui ker(''L''). Aceasta este o generalizare a aplicațiilor liniare a spațiului rândurilor unei matrice.

== Aplicații în domeniul modulelor ==
Noțiunea de nucleu se aplică [[Homomorfism|omomorfismelor]] de module, acestea din urmă fiind o generalizare a spațiilor vectoriale (care sunt definite peste un [[Corp (matematică)|corp]]) peste un [[Inel (matematică)|inel]].
Domeniul aplicațiilor este un modul, și nucleul constituie un „{{Ill-wd|Q18848|3=submodul}}”. Aici, nu se mai aplică neapărat noțiunile de rang și defect.

== Nucleul în analiza funcțională ==
Dacă ''V'' și ''W'' sunt {{Ill-wd|Q1455249|3=spații vectoriale topologice}} (și ''W'' este finit-dimensional), atunci aplicația liniară ''L'':&#x20;''V''&#x20;→&#x20;''W'' este {{Ill-wd|Q1091024|3=continuă}} dacă și numai dacă nucleul lui ''L'' este un subspațiu [[Mulțime închisă|închis]] al lui ''V''.

== Reprezentarea ca înmulțire de matrice ==
Fie o aplicație liniară reprezentată ca o matrice ''m'' × ''n'' ''A'' cu coeficienți într-un [[Corp (matematică)|corp]] ''K'' (de obicei, corpul [[Număr real|numerelor reale]] sau al [[Număr complex|numerelor complexe]]) și care funcționează ca vectori coloană ''x'' cu ''n'' componente peste ''K''.
Nucleul acestei aplicații liniare este mulțimea soluțiilor ecuației ''A'''''x''' = '''0'''{{Nowrap|1=''A'' '''x''' = '''0'''}}, unde '''0''' se înțelege ca [[Element zero|vector zero]]. [[Dimensiune|Dimensiunea]] nucleului lui ''A'' se numește '''defectul''' lui ''A''. În {{Ill-wd|Q3352804|3=notația de construcție a mulțimilor}},
:<math>\operatorname{N}(A)=\operatorname{Null}(A)=\operatorname{ker}(A) = \left\{ \mathbf{x}\in K^n | A\mathbf{x} = \mathbf{0} \right\}.</math>
Ecuația matriceală este echivalentă cu un [[sistem de ecuații liniare]] omogen:
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{0} \;\;\Leftrightarrow\;\;
\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0      \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0      \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0\text{.}      \\
\end{alignat}</math>
Astfel, nucleul lui ''A'' este același ca și mulțimea soluțiilor ecuațiilor omogene de mai sus.

=== Proprietățile subspațiului ===
Nucleul unei matrice {{Nowrap|''m'' × ''n''}} ''A'' peste un corp ''K'' este un {{Ill-wd|Q728435|3=subspatiu vectorial}} al lui '''K'''<sup>''n''</sup>. Cu alte cuvinte, nucleul lui ''A'', mulțimea ker(''A''), are următoarele trei proprietăți:
# Ker(''A'') conține întotdeauna [[Element zero|vectorul zero]], deoarece {{Nowrap|1=''A'''''0''' = '''0'''}}.
# Dacă {{Nowrap|'''x''' ∈ Zero(''A'')}} și {{Nowrap|'''y''' ∈ Zero(''A'')}}, atunci {{Nowrap|'''x''' + '''y''' ∈ Zero(''A'')}}. Acest lucru rezultă din [[distributivitate]]a [[Înmulțirea matricilor |înmulțirii matricilor]] în raport cu [[adunarea matricilor |adunarea]].
# Dacă {{Nowrap|'''x''' ∈ Zero(''A'')}} și ''c'' este un [[Scalar (matematică)|scalar]] {{Nowrap|''c'' ∈ ''K''}}, atunci {{Nowrap|''c'''''x''' ∈ Zero(''A'')}}, deoarece {{Nowrap|1=''A''(''c'''''x''') = ''c''(''A'''''x''') = ''c'''''0''' = '''0'''}}.

=== Spațiul rândurilor unei matrice ===
Produsul ''A'''''x''' poate fi scris în termeni de [[Produs scalar|produs scalar]] al vectorilor după cum urmează:
:<math>A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}.</math>
Aici, cu '''a'''<sub>1</sub>, ... , '''a'''<sub>''m''</sub> se notează transpusele rândurilor matricei'' A''. Rezultă că '''x''' este în nucleul lui'' A'' dacă și numai dacă '''x''' este [[Ortogonalitate|ortogonal]] pe fiecare vector-rând al lui ''A'' (pentru că atunci când produsul scalar a doi vectori este egal cu zero, ei sunt, prin definiție, ortogonali).

{{Ill-wd|Q2088159|3=Spațiul rândurilor}} unei matrice ''A'' este {{Ill-wd|Q209812|3=spațiul generat}} de vectoriu rând din ''A''. Prin raționamentul de mai sus, nucleul lui'' A'' este [[Subspațiu ortogonal|complement ortogonal]] al spațiului rândurilor. Cu alte cuvinte, un vector '''x''' se află în nucleul lui'' A'' dacă și numai dacă este ortogonal pe orice vector din spațiul rândurilor lui ''A''.

Dimensiunea spațiului rândurilor lui ''A'' se numește [[Rang (algebră liniară)|rang]] al lui ''A'', și dimensiunea nucleului lui ''A'' se numește '''defectul''' lui ''A''. Aceste cantități sunt legate de {{Ill-wd|Q303402|3=teorema rangului}}
:<math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n.</math>

=== {{Ill-wd|Q2156511|3=Nucleul la stânga}} ===
'''Nucleul la stânga''', sau conucleul unei matrice ''A'' este format din toți vectorii '''x''' , astfel încât '''x'''<sup>T</sup>''A''&#x20;=&#x20;'''0'''<sup>T</sup>, unde cu T la exponent se notează [[Matrice transpusă|transpusa]] unui vector coloană. Nucleul la stânga al lui ''A'' este nucleul lui ''A''<sup>T</sup>. Nucleul la stânga al lui ''A'' este complementul ortogonal al {{Ill-wd|Q2088159|3=spațiului coloanelor}} lui ''A'', și este dual cu {{Ill-wd|Q2156511|3=conucleul}} asociată aplicației liniare. Nucleul, spațiul rândurilor, spațiul coloanelor, și nucleul la stânga ale lui ''A'' sunt cele {{Ill-wd|Q5508975|3=patru subspații fundamentale}} asociate matricei ''A''.

=== Sisteme de ecuatii liniare neomogene ===
Nucleul joacă un rol și în soluțiile unui sistem de ecuații liniare  neomogene:
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;\;\;\;\;\;\text{or}\;\;\;\;\;\;\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1      \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2      \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m      \\
\end{alignat}</math>
Dacă '''u''' și '''v''' sunt două posibile soluții pentru ecuația de mai sus, atunci
:<math>A(\mathbf{u}-\mathbf{v}) = A\mathbf{u} - A\mathbf{v} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\,</math>
Astfel, diferența dintre oricare două soluții pentru ecuația ''A'''''x'''&#x20;=&#x20;'''b''' se află în nucleul lui ''A''.

Rezultă că orice soluție a ecuației ''A'''''x'''&#x20;=&#x20;'''b''' poate fi exprimată ca sumă între o soluție fixă '''v''' și un element arbitrar din nucleu. Cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor ecuației ''A'''x'''&#x20;=&#x20;'''b''' ''este
:<math>\left\{ \mathbf{v}+\mathbf{x} | A \mathbf{v}=\mathbf{b} \land \mathbf{x}\in\operatorname{Null}(A) \right\},</math>
Din punct de vedere geometric, aceasta spune că soluția pentru ''A'''''x'''&#x20;=&#x20;'''b''' este o [[Translație (geometrie)|translație]] a nucleului lui ''A'' prin vectorul '''v'''. 

== Ilustrare ==
Vom da aici un exemplu simplu de calcul al nucleului unei matrice (a se vedea secțiunea [[Nucleu (algebră liniară)|Baze]] de mai jos pentru metode mai potrivite pentru calcule mai complexe). Exemplul atinge și noțiunea de spațiu al rândurilor și relația acesteia cu nucleul.

Fie matricea
: <math>A = \begin{bmatrix}2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}.</math>
Nucleul acestei matrice este format din toți vectorii (''x'', ''y'', ''z'')&#x20;∈&#x20;'''R'''<sup>3</sup> pentru care
: <math>\begin{bmatrix}2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},</math>
ceea ce se poate exprima ca un [[sistem de ecuații liniare]] omogen în ''x'', ''y'', și ''z'':
: <math>\begin{align}
 2x + 3y + 5z &= 0, \\
-4x + 2y + 3z &= 0.
\end{align}</math>

Aceleași ecuații liniare pot fi scrise în formă de matrice ca:
: <math>
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    2 & 3 & 5 & 0 \\
    -4 & 2 & 3 & 0
  \end{array}\right].
</math>
Prin eliminare Gauss–Jordan, se reduce la:
: <math>
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 0 & 1/16 & 0 \\
    0 & 1 & 13/8 & 0
  \end{array}\right].
</math>
Rescriind matricea sub formă de ecuații, rezultă:
: <math>\begin{align}
x &= -\frac{1}{16}z \\
y &= -\frac{13}{8}z.
\end{align}</math>
Elementele nucleului pot fi mai departe exprimate sub formă parametrică după cum urmează:
: <math>\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} -1/16 \\ -13/8 \\ 1\end{bmatrix}\quad (\text{where }c \in \mathbb{R})</math>
pentru un ''c'' [[Scalar (matematică)|scalar]].

Deoarece ''c'' este o {{Ill-wd|Q935944|3=variabilă liberă}}, acest lucru poate fi exprimat la fel de bine ca:
: <math>
	\begin{bmatrix}
		x\\
		y\\
		z
	\end{bmatrix} = 
        c \begin{bmatrix}
		 -1\\
		-26\\
		 16
	\end{bmatrix}.
</math>
Nucleul lui ''A'' este soluția acestor ecuații (în acest caz, o [[dreaptă]] prin originea lui '''R'''<sup>3</sup>); vectorul (-1,-26,16)<sup>T</sup> constituie o [[Bază (algebră liniară)|bază]] a nucleului lui ''A''.
Astfel, defectul lui'' A'' este 1.

Se observă  și că următoarele produse scalare sunt zero:
: <math>
 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
		 -1\\
		-26\\
		 16
 \end{bmatrix}
= 0
\quad\mathrm{and}\quad
 \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
		 -1\\
		-26\\
		 16
 \end{bmatrix}
= 0\mathrm{,}
</math>
ceea ce ilustrează faptul că vectorii din nucleul lui A sunt ortogonali pe fiecare vector-rând al lui A.

Acești doi vectori-rând (liniar independenți) generează spațiul rândurilor lui ''A'', un plan ortogonal pe vectorul (-1,-26,16)<sup>T</sup>.

Cum rangul lui ''A ''este 2, defectul lui ''A ''este 1, și dimensiunea lui ''A'' 3, avem o ilustrare a teoremei rangului.

== Exemple ==
* Dacă ''L'':&#x20;'''R'''<sup>''m''</sup>&#x20;→&#x20;'''R'''<sup>''n''</sup>, atunci nucleul lui ''L'' este mulțimea soluțiilor unui [[sistem de ecuații liniare]] omogen. La fel ca în ilustrația de mai sus, dacă ''L'' este aplicația:
:: <math>L(x_1,x_2,x_3) = (2x_1 + 3x_2 + 5x_3,\; -4x_1 + 2x_2 + 3x_3)</math>
: atunci nucleul lui ''L'' este mulțimea soluțiilor ecuațiilor
:: <math>\begin{alignat}{7}
    2x_1 &\;+\;& 3x_2 &\;+\;& 5x_3 &\;=\;& 0 \\
   -4x_1 &\;+\;& 2x_2 &\;+\;& 3x_3 &\;=\;& 0
\end{alignat}</math>
* Fie ''C''[0,1] [[Spațiu vectorial|spațiul vectorial]] al tuturor funcțiilor continue cu valori reale definite pe intervalul [0,1], fie ''L'':&#x20;''C''[0,1]&#x20;→&#x20;'''R''' definit prin regula:
:: <math>L(f) = f(0.3)\text{.}</math>
: Atunci nucleul lui ''L'' constă din toate funcțiile ''f''&#x20;∈&#x20;''C''[0,1] pentru care ''f''(0.3)&#x20;=&#x20;0.
* Fie ''C''<sup>∞</sup>('''R''') spațiul vectorial al tuturor [[funcție derivabilă|funcțiilor indefinit derivabile]]: '''R'''&#x20;→&#x20;'''R''', și fie ''D'':&#x20;''C''<sup>∞</sup>('''R''')&#x20;→&#x20;''C''<sup>∞</sup>('''R''') {{Ill-wd|Q1058681|3=operatorul de diferențiere}}:
:: <math>D(f) = \frac{df}{dx}\text{.}</math>
: Atunci, nucleul lui ''D'' este format din toate funcțiile din ''C''<sup>∞</sup>('''R'''), care au derivata zero, adică mulțimea tuturor [[Funcție constantă|funcțiilor constante]].
* Fie '''R'''<sup>∞</sup> {{Ill-wd|Q1778193|3=produsul direct}} al unui număr [[infinit]] de copii ale lui '''R''', și fie ''s'':&#x20;'''R'''<sup>∞</sup>&#x20;→&#x20;'''R'''<sup>∞</sup> {{Ill-wd|Q2278680|3=operatorul deplasare}}
:: <math>s(x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots) = (x_2,x_3,x_4,\ldots)\text{.}</math>
: Atunci nucleul lui ''s'' este [[spațiu unidimensional|subspațiu unidimensional]] format din toți vectorii (''x''<sub>1</sub>,&#x20;0,&#x20;0,&#x20;...).
* Dacă ''V'' este un [[Spațiu prehilbertian|produs scalar]] și ''W'' este un subspațiu, nucleul {{Ill-wd|Q519967|3=proiecției ortogonale}} ''V''&#x20;→&#x20;''W'' este [[Subspațiu ortogonal|complementul ortogonal]] al lui ''W'' în ''V''.

== Calcul prin eliminare Gauss ==
O [[Bază (algebră liniară)|bază]] a nucleului unei matrice poate fi calculată prin {{Ill-wd|Q2658|3=eliminarea gaussiană}}.

În acest scop, dată fiind o matrice ''m'' × ''n'' ''A'', se construiește mai întâi matricea <math> \begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix},</math> unde ''I''{{Math|''I''}} este [[Matrice unitate|matricea unitate]] n × n.

Calculând {{Ill-wd|Q2091296|3=matricea eșalon pe coloane}} prin eliminare Gauss (sau orice altă metodă adecvată), se obține o matrice <math> \begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}.</math> O bază a nucleului lui ''A'' constă în coloanele nenule ale lui ''C'' astfel încât coloana corespunzătoare din ''B'' este o [[Matrice nulă|coloană nulă]].

În fapt, calculul poate fi oprit de îndată ce partea superioară este matricea în forma eșalon pe coloană: restul calculului constă în schimbarea bazei spațiului vectorial generat de coloanele a căror parte superioară este zero.

De exemplu, să presupunem că
: <math>A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & 0 &  2 & -8 \\
0 & 1 &  5 & 0 & -1 & 4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 7 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. </math>
Atunci
: <math> \begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & 0 &  2 & -8 \\
0 & 1 &  5 & 0 & -1 & 4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 7 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}. </math>
Aducând partea de sus în forma eșalon pe coloane prin operațiuni cu coloanele pe întreaga matrice rezultă
: <math> \begin{bmatrix}B \\ \hline C\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 1 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 0 &  1 & 0 &  0 & 0 \\
0 & 0 &  0 & 0 &  0 & 0 \\
\hline
1 & 0 &  0 & 3 & -2 & 8 \\
0 & 1 &  0 & -5 & 1 & -4 \\
0 & 0 &  0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &  1 & 0 & -7 & 9 \\
0 & 0 &  0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &  0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}. </math>
Ultimele trei coloane din ''B'' sunt coloane nule. Prin urmare, în ultimii trei vectori de ''C'',
: <math>\left[\!\! \begin{array}{r} 3 \\ -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] ,\;
\left[\!\! \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right],\;
\left[\!\! \begin{array}{r} 8 \\ -4 \\ 0 \\ 9 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] </math>
sunt o bază a nucleului lui ''A''.

Întrucât operațiile pe coloane corespund unei înmulțiri prealabile cu matrici inversabile, faptul că <math> \left[\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}\right]</math> se reduce la <math> \left[\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}\right]</math> ne spune că <math> AC=B </math>. Cu alte cuvinte, acțiunea lui <math> A </math> via (coloanele lui) <math> C </math> corespunde cu acțiunea lui <math> B </math>. Întrucât <math> B </math> este în formă eșalon pe coloane, ea acționează trivial doar asupra elementelor bazei elementare ce corespund coloanelor nule din <math> B </math>. Întrucât acțiunea lui <math> B </math> corespunde acțiunii lui <math> A </math> prin coloanele lui <math> C </math>, coloanele corespunzătoare din <math> C </math> trebuie să fie coloane nule pentru <math> A </math>, și trebuie să formeze baza nucleului lui <math> A </math> conform teoremei rangului.

== Calcul numeric ==
Problema de calcul pe calculator al nucleului depinde de natura coeficienților.

=== Coeficienții exacți ===
Dacă coeficienții matricei sunt numere date, {{Ill-wd|Q2091296|3=forma eșalon pe coloane}} a matricei poate fi calculată prin {{Ill-wd|Q4860404|3=algoritmul Bareiss}} mai eficient decât prin eliminare gaussiană. Este chiar mai eficient să se utilizeze {{Ill-wd|Q319400|3=aritmetica modulară}}, care reduce problema la una similară peste un [[corp finit]].{{Necesită citare}}

Pentru coeficienți într-un corp finit, eliminarea gaussiană funcționează bine, dar pentru matrice mari ca cele care apar in [[criptografie]] se cunosc algoritmi mai buni, care au aproximativ aceeași {{Ill-wd|Q333464|3=complexitate}}, dar sunt mai rapide și se comportă mai bine pe [[hardware]] modern.{{Necesită citare}}

=== Calculul în virgulă mobilă ===
Pentru matrice ale căror elemente sunt [[Virgulă mobilă|numere în virgulă mobilă]], problema calculării nucleului are sens numai pentru matrice al căror număr de rânduri este egal cu rangul: din cauza {{Ill-wd|Q2145211|3=erorilor de rotunjire}}, o matrice cu elemente în virgulă mobilă are aproape întotdeauna [[Rang (algebră liniară)|rang complet]], chiar și atunci când este o aproximare a unei matrice cu rang mult mai mic. Chiar și pentru o matrice cu rang complet, se poate calcula nucleul numai dacă este {{Ill-wd|Q1455898|3=bine condiționată}}, adică are un număr de condiționare mic.<ref>{{Citat web |url=https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/lecture11.pdf |accessdate=2016-09-06 |titlu=copie arhivă |archive-date=2017-08-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170829031912/http://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/lecture11.pdf |dead-url=yes }}</ref>

Chiar și pentru o matrice cu rang complet bine condiționată, eliminarea gaussiană nu se comportă corect: introduce erori de rotunjire care sunt prea mari pentru a obține un rezultat semnificativ. Întrucât calculul nucleului unei matrice este un caz particular de rezolvare a unui sistem omogen de ecuații liniare, nucleul poate fi calculat de către oricare dintre diverșii algoritmi concepuți pentru a rezolva sisteme omogene. Un software de ultimă generație pentru acest scop este biblioteca {{Ill-wd|Q642141|3=Lapack}}.{{Necesită citare}}

== Note ==
<references responsive/>

== Referințe ==
* {{Citation|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=1997|title=Linear Algebra Done Right|publisher=Springer-Verlag|edition=2nd|isbn=0-387-98259-0|ISBN=0-387-98259-0|postscript=.}}
* {{Citation|last=Lay|first=David C.|year=2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Addison Wesley|edition=3rd|isbn=978-0-321-28713-7|ISBN=978-0-321-28713-7|postscript=.}}
* {{Citation|last=Meyer|first=Carl D.|year=2001|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|isbn=978-0-89871-454-8|ISBN=978-0-89871-454-8|url=http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|postscript=.|access-date=2016-09-06|archive-date=2009-10-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|dead-url=yes}}
* {{Citation|last=Poole|first=David|year=2006|title=Linear Algebra: A Modern Introduction|publisher=Brooks/Cole|edition=2nd|isbn=0-534-99845-3|ISBN=0-534-99845-3|postscript=.}}
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th|postscript=.}}
* {{Citation|last=Leon|first=Steven J.|year=2006|title=Linear Algebra With Applications|publisher=Pearson Prentice Hall|edition=7th|postscript=.}}
* {{Citat carte|ref=harv|prenume=Serge|nume=Lang|legătură-autor=Serge Lang|titlu=Linear Algebra|editură=Springer|an=1987|isbn=9780387964126}}
* {{Citation|first1=Lloyd N.|last1=Trefethen|first2=David III|last2=Bau|title=Numerical Linear Algebra|publisher=SIAM|year=1997|isbn=978-0-89871-361-9|ISBN=978-0-89871-361-9|url=http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/text.html|postscript=.}}

== Legături externe ==
{{Portal|matematică}}
* {{en icon}} {{Springer|title=Kernel of a matrix|id=p/k110090}}
* {{en icon}} Gilbert Strang, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm Cursul de algebră liniară de la MIT despre cele patru subspații fundamentale] la Google Video, de la MIT OpenCourseWare
* {{en icon}} Academia Khan, [http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-the-null-space-of-a-matrix Introducere în Spațiul Nul al unei Matrice]

[[Categorie:Analiză funcțională]]
[[Categorie:Algebră liniară]]
[[Categorie:Matrice]]
[[Categorie:Algebră liniară numerică]]