Vizualizare sursă pentru „Notația Coxeter”

{{Note de subsol2}}
{| class="wikitable" align=right width=360 style="text-align:center;"
|+ [[Domeniu fundamental |Domeniile fundamentale]] ale grupurilor punctuale de reflexie tridimensională
|-
!{{CDD|node}}, [ ]=[1]<br>C<sub>1v</sub>
!{{CDD|node|2|node}}, [2]<br>C<sub>2v</sub>
!{{CDD|node|3|node}}, [3]<br>C<sub>3v</sub>
!{{CDD|node|4|node}}, [4]<br>C<sub>4v</sub>
!{{CDD|node|5|node}}, [5]<br>C<sub>5v</sub>
!{{CDD|node|6|node}}, [6]<br>C<sub>6v</sub>
|-
|[[Fișier:Spherical digonal hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 2
|[[Fișier:Spherical square hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 4
|[[Fișier:Spherical hexagonal hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 6
|[[Fișier:Spherical octagonal hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 8
|[[Fișier:Spherical decagonal hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 10
|[[Fișier:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|60px]]<br>Ordin 12
|-
!{{CDD|node|2|node}}<br>[2]=[2,1]<br>D<sub>1h</sub>
!{{CDD|node|2|node|2|node}}<br>[2,2]<br>D<sub>2h</sub>
!{{CDD|node|2|node|3|node}}<br>[2,3]<br>D<sub>3h</sub>
!{{CDD|node|2|node|4|node}}<br>[2,4]<br>D<sub>4h</sub>
!{{CDD|node|2|node|5|node}}<br>[2,5]<br>D<sub>5h</sub>
!{{CDD|node|2|node|6|node}}<br>[2,6]<br>D<sub>6h</sub>
|-
|[[Fișier:Spherical digonal bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 4
|[[Fișier:Spherical square bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 8
|[[Fișier:Spherical hexagonal bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 12
|[[Fișier:Spherical octagonal bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 16
|[[Fișier:Spherical decagonal bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 20
|[[Fișier:Spherical dodecagonal bipyramid.svg|60px]]<br>Ordin 24
|- 
!colspan=2|{{CDD|node|3|node|3|node}}, [3,3], [[Simetrie tetraedrică |T<sub>d</sub>]]
!colspan=2|{{CDD|node|4|node|3|node}}, [4,3], [[Simetrie octaedrică |O<sub>h</sub>]]
!colspan=2|{{CDD|node|5|node|3|node}}, [5,3], [[Simetrie icosaedrică |I<sub>h</sub>]]
|-
|colspan=2|[[Fișier:Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png|120px]]<br>Ordin 24
|colspan=2|[[Fișier:Spherical_disdyakis_dodecahedron-3and1-color.png|120px]]<br>Ordin 48
|colspan=2|[[Fișier:Spherical compound of five octahedra.png|120px]]<br>Ordin 120
|-
|colspan=6 style="text-align:left"|Notația Coxeter prezintă [[grup Coxeter |grupurile Coxeter]] ca o listă ordonată de ramuri ale unei [[diagramă Coxeter |diagrame Coxeter]], cum ar fi [[grup poliedric |grupurile poliedrice]], {{CDD|node|p|node|q|node}} = [p,q]. [[Simetrie diedrală în spațiul tridimensional |Grupurile diedrale]], {{CDD|node|2|node|n|node}}, pot fi exprimate printr-un produs [ ]×[n] sau printr-un singur simbol cu o ramură explicită de ordinul 2, [2,n].
|}
În [[geometrie]] '''notația Coxeter''' (sau '''simbol Coxeter''') este un sistem de clasificare al [[grup de simetrie |grupurilor de simetrie]], care descrie [[unghi]]urile dintre [[reflexie (matematică) |reflexiile]] fundamentale ale unui [[grup Coxeter]] într-o notație între paranteze care exprimă structura unei [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrame Coxeter–Dynkin]], cu modificatori pentru a indica anumite subgrupuri. Notația este numită după [[Coxeter |H.S.M. Coxeter]] și a fost definită mai cuprinzător de [[Norman Johnson]].

== Grupuri de reflexie ==
La grupurile Coxeter, definite prin reflexii pure, există o corespondență directă între notația cu paranteze și diagrama Coxeter–Dynkin. Numerele din notația cu paranteze drepte reprezintă ordinea reflexiilor în oglindă în ramurile diagramei Coxeter. Folosește aceeași simplificare, suprimând 2s între planele de oglindire ortogonale.

Notația Coxeter este simplificată prin exponenți care reprezentă numărul de ramuri într-un rând pentru diagrama liniară.Grupul ''A''<sub>''n''</sub> este reprezentat de [3<sup>''n''−1</sup>], pentru a descrie ''n'' noduri conectate prin ''n−1'' ramuri de ordinul 3. Exemplul ''A''<sub>2</sub> = [3,3] = [3<sup>2</sup>], respectiv [3<sup>1,1</sup>] reprezintă diagramele {{CDD|node|3|node|3|node}}, respectiv {{CDD|node|split1|nodes}}.

Inițial Coxeter a reprezentat diagramele bifurcate prin poziționarea verticală a numerelor, dar ulterior notația a fost abreviată la una cu exponenți, cum ar fi [...,3<sup>p,q</sup>] sau [3<sup>p,q,r</sup>], începând cu [3<sup>1,1,1</sup>] sau [3,3<sup>1,1</sup>] = {{CDD|node|splitsplit1|branch3|node}} sau {{CDD|node|split1|nodes}} pentru D<sub>4</sub>. Coxeter admite zerourile drept cazuri particulare pentru a se potrivi cu familia ''A''<sub>''n''</sub>, de exemplu ''A''<sub>3</sub> = [3,3,3,3] = [3<sup>4,0,0</sup>] = [3<sup>4,0</sup>] = [3<sup>3,1</sup>] = [3<sup>2,2</sup>], drept {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}} = {{CDD|node|split1|nodes|3a|nodea|3a|nodea}} = {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}.

Grupurile Coxeter formate din diagrame ciclice sunt reprezentate prin paranteze rotunde între parantezele drepte, cum ar fi [(p,q,r)] = {{CDD|pqr}} pentru {{ill-wd| Q652123||grupul triunghiului}} (p q r). Dacă ordinele ramurilor sunt egale, ele pot fi grupate printr-un exponent între paranteze drepte, care indică lungimea ciclului, de exemplu [(3,3,3,3)] = [3<sup>[4]</sup>], reprezentând diagramele Coxeter {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}} sau {{CDD|branch|3ab|branch}}. {{CDD|node|3|node|split1|branch}} poate fi reprezentată prin [3,(3,3,3)] sau [3,3<sup>[3]</sup>].

Diagramele în buclă mai complicate pot fi și ele exprimate, dar cu grijă. Grupul Coxeter paracompact {{CDD|node|split1|branch|split2|node}} poate fi reprezentat prin notația Coxeter [(3,3,(3),3,3)], cu paranteze imbricate, având două bucle [(3,3,3)] adiacente și care poate fi reprezentat mai compact prin [3<sup>[&nbsp;]×[&nbsp;]</sup>], reprezentând [[romb|simetria rombică]] a diagramei Coxeter. Graful complet al diagramei paracompacte {{CDD|tet}} sau {{CDD|branch|splitcross|branch}} este reprezentat ca [3<sup>[3,3]</sup>] cu exponentul [3,3] pentru simetria diagramei sale Coxeter a [[tetraedru]]lui regulat.

De obicei în diagrama Coxeter ramurile de ordinul 2 nu sunt trasate, dar notația cu paranteze are un '''2''' explicit pentru a conecta subgrafurile. Deci diagrama Coxeter {{CDD|node|3|node|2|node|3|node}} = ''A''<sub>2</sub>×''A''<sub>2</sub > = 2''A''<sub>2</sub> poate fi reprezentat prin [3]×[3] = [3]<sup>2</sup> = [3,2,3]. Uneori ramurile explicite de ordinul 2 pot fi descrise fie cu o etichetă 2, fie cu o linie cu un interval: {{CDD|node|3|node|2x|node|3|node}} sau {{CDD|node|3|node|3|2c|3|node|3|node}}, ca o prezentare identică cu [3,2,3].
{|
|- valign=top
|
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grpuri finite
|-
! Rang||Simbolul<br/>grupului
! Notația&nbsp;cu<br/>paranteze
! [[Diagramă Coxeter–Dynkin |&nbsp;Diagramă&nbsp;<br/>Coxeter]]
|-
| 2 || ''A''<sub>2</sub> 
|| [3] || {{CDD|node|3|node}}
|-
| 2 || ''B''<sub>2</sub>
|| [4] || {{CDD|node|4|node}}
|-
| 2|| ''H''<sub>2</sub> 
|| [5] || {{CDD|node|5|node}}
|-
| 2 || ''G''<sub>2</sub>
|| [6] || {{CDD|node|6|node}}
|-
| 2 || ''I''<sub>2</sub>(''p'') 
|| [p] || {{CDD|node|p|node}}
|-
| 3 || [[Simetrie icosaedrică |I<sub>h</sub>]], ''H''<sub>3</sub> 
|| [5,3] || {{CDD|node|5|node|3|node}}
|-
| 3 || [[Simetrie tetraedrică |T<sub>d</sub>]], ''A''<sub>3</sub> 
|| [3,3] || {{CDD|node|3|node|3|node}}
|-
| 3 || [[Simetrie octaedrică |O<sub>h</sub>]], ''B''<sub>3</sub>
|| [4,3]|| {{CDD|node|4|node|3|node}}
|-
| 4 || ''A''<sub>4</sub> 
|| [3,3,3] || {{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
| 4 || ''B''<sub>4</sub>
|| [4,3,3] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
| 4 || ''D''<sub>4</sub> 
|| [3<sup>1,1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|3|node}}
|-
| 4 || ''F''<sub>4</sub>
|| [3,4,3] ||{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|-
| 4 || ''H''<sub>4</sub> 
|| [5,3,3] || {{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''A''<sub>''n''</sub> 
|| [3<sup>''n''−1</sup>] || {{CDD|node|3|node|3}}..{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''B''<sub>''n''</sub>
|| [4,3<sup>''n''−2</sup>] || {{CDD|node|4|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| ''n'' || ''D''<sub>''n''</sub> 
|| [3<sup>n−3,1,1</sup>] ||  {{CDD|nodes|split2|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}
|-
| 6 || ''E''<sub>6</sub>
|| [3<sup>2,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| 7 || ''E''<sub>7</sub>
|| [3<sup>3,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| 8 || ''E''<sub>8</sub>
|| [3<sup>4,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grupuri afine
|-
! Simbolul<br/>grupului
! Notația cu<br/>paranteze
! [[Diagramă Coxeter |&nbsp;&nbsp;&nbsp;Diagramă&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br/>Coxeter]]
|-
| <math>{\tilde{I}}_1, {\tilde{A}}_1</math>
|| [∞] || {{CDD|node|infin|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_2</math> 
|| [3<sup>[3]</sup>] || {{CDD|node|split1|branch}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_2</math> 
|| [4,4] || {{CDD|node|4|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{G}}_2</math> 
|| [6,3] || {{CDD|node|6|node|3|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_3</math> 
|| [3<sup>[4]</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_3</math> 
|| [4,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_3</math> 
|| [4,3,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_4</math> 
|| [3<sup>[5]</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|3ab|branch}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_4</math> 
|| [4,3,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_4</math> 
|| [4,3,3,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{D}}_4</math> 
|| [ 3<sup>1,1,1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{F}}_4</math> 
|| [3,4,3,3] || {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
| <math>{\tilde{A}}_n</math> 
|| [3<sup>[n+1]</sup>] || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{{CDD|node|split1|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}<br>sau {{CDD|branch|3ab|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}
|-
| <math>{\tilde{B}}_n</math> 
|| [4,3<sup>n−3</sup>,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{C}}_n</math> 
|| [4,3<sup>n−2</sup>,4] || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|4|node}}
|-
| <math>{\tilde{D}}_n</math> 
|| {{nowrap|[ 3<sup>1,1</sup>,3<sup>n−4</sup>,3<sup>1,1</sup>]}} || {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_6</math> 
|| [3<sup>2,2,2</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branchbranch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_7</math> 
|| [3<sup>3,3,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
| <math>{\tilde{E}}_8=E_9</math> 
|| [3<sup>5,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grupuri hiperbolice
|-
! Simbolul<br/>grupului
! Notația cu<br/>paranteze
! [[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
|-
| || [p,q] &nbsp; cu<br>{{nowrap|2(p + q) < pq}} || {{CDD|node|p|node|q|node}}
|-
| || [(p,q,r)] &nbsp; cu<br><math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} < 1</math> || {{CDD|pqr}}
|-
| <math>{\overline{BH}}_3</math>||[4,3,5] || {{CDD|node|4|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{K}}_3</math>||[5,3,5] || {{CDD|node|5|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{J}}_3, \tilde{H}_3</math>||[3,5,3] || {{CDD|node|3|node|5|node|3|node}}
|-
| <math>{\overline{DH}}_3</math>||[5,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|5|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\widehat{AB}}_3</math> || [(3,3,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch}}&nbsp;
|-
| <math>{\widehat{AH}}_3</math> || [(3,3,3,5)] || {{CDD|label5|branch|3ab|branch}}&nbsp;
|-
| <math>{\widehat{BB}}_3</math> || [(3,4,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label4}}
|-
| <math>{\widehat{BH}}_3</math> || [(3,4,3,5)] || {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}}
|-
| <math>{\widehat{HH}}_3</math> ||[(3,5,3,5)] || {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
| <math>{\overline{H}}_4, \tilde{H}_4, H_5</math> || [3,3,3,5] || {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{BH}}_4</math> || [4,3,3,5] || {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{K}}_4</math> || [5,3,3,5] || {{CDD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
| <math>{\overline{DH}}_4</math> || [5,3,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
|-
| <math>{\widehat{AF}}_4</math> || [(3,3,3,3,4)] || {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}
|}

Pentru grupurile afine și hiperbolice, indicele este cu unul mai mic decât numărul de noduri în fiecare caz, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la diagrama unui grup finit.

Există numeroase extensii ale notației Coxeter, folosite pentru subgrupuri.
<!--
== Note ==
<references responsive />
-->
== Bibliografie ==
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]:
:* {{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
::* (Paper 22) {{Citation| first1=H.S.M.| last1=Coxeter| title=Regular and Semi Regular Polytopes I| journal=Math. Z.| volume=46| year=1940| pages=380–407|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN266833020_0046%7Clog55| doi=10.1007/bf01181449| s2cid=186237114}}
::* (Paper 23) {{Citation| first1=H.S.M.|last1= Coxeter|title=Regular and Semi-Regular Polytopes II|journal=Math. Z.|volume= 188|issue= 4|year=1985|pages= 559–591|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0188%7Clog55|doi=10.1007/bf01161657|s2cid= 120429557}}
::* (Paper 24) {{Citation|first1=H.S.M. |last1= Coxeter |title=Regular and Semi-Regular Polytopes III|journal=Math. Z.|volume= 200|year=1988|pages =3–45|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0200%7Clog9|doi=10.1007/bf01161745|s2cid= 186237142 }}
* {{en icon}} {{cite book |last1=Coxeter |first1=H.S.M. |last2=Moser |first2=W.O.J. | title=Generators and Relations for Discrete Groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 | isbn=0-387-09212-9}}
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} Norman Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
:* {{en icon}} Norman Johnson and Asia Ivic Weiss [https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf Quadratic Integers and Coxeter Groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230326121528/http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=2023-03-26 }} [[PDF]] Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp.&nbsp;1307–1336
:* {{en icon}} Norman Johnson: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'' [http://www.cambridge.org/jp/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/geometries-and-transformations]
* {{en icon}} {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html | mr=1865535  | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie | issn=0138-4821 | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}
* {{en icon}} John H. Conway and Derek A. Smith, ''On Quaternions and Octonions'', 2003, {{ISBN|978-1-56881-134-5}}
* {{en icon}} John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), ''The Symmetries of Things'', {{ISBN|978-1-56881-220-5}} Ch.22 ''35 prime space groups'', ch.25 ''184 composite space groups'', ch.26 ''Higher still'', 4D point groups
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Notații matematice]]
[[Categorie:Simetrie]]
[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Politopuri]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]