Vizualizare sursă pentru „Notația Conway a poliedrelor”

[[Fișier:Conway relational chart.png|400px|thumb|Diagrama arată cum 11 forme noi pot fi derivate din cub folosind 3 operații. Noile poliedre sunt prezentate ca aplicații pe suprafața cubului, astfel încât modificările topologice sunt mai evidente. Vârfurile sunt marcate explicit în toate formele.<br/>Echivalentul termenilor (păstrând inițiala) este: „Sămânță”, dual, /<br/>zip, kis, ambo, jonc[țiune], nid, trun[chiat], / orto, expand[at], meta, bont]]
În [[geometrie]], '''notația Conway a poliedrelor''', inventată de [[John Horton Conway]] și promovată de [[George W. Hart]], este utilizată pentru a descrie [[poliedru |poliedrele]] pe baza notației unui poliedru inițial („sămânța”) completată cu diverse prefixe ale [[operație (matematică) |operațiilor]].<ref name="SoT">{{cite book|author1=John Horton Conway|author2=Heidi Burgiel|author3=Chaim Goodman-Strauss| title=The Symmetries of Things|year=2008|isbn=978-1-56881-220-5|chapter= Chapter 21: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and Tilings}}</ref><ref>{{mathworld|id=ConwayPolyhedronNotation|title=Conway Polyhedron Notation}}</ref>

Conway și Hart au extins ideea utilizării [[operator (matematică)|operatorilor]], așa cum [[Trunchiere (geometrie) |trunchierea]] a fost definită de [[Kepler]], pentru a construi poliedre înrudite cu aceeași [[simetrie (geometrie)|simetrie]]. De exemplu, ''tC'' reprezintă un [[cub trunchiat]], iar ''taC'', înțeles ca {{tmath|t(aC)}}, este ([[topologie |topologic]]) un [[cuboctaedru trunchiat]]. Cel mai simplu operator, [[Poliedru dual |dualul]], interschimbă elementele vârfuri cu fețe; de exemplu, un cub dual este un [[octaedru]]: ''dC''&nbsp;=&nbsp;''O''. Aplicați consecutiv, acești operatori permit generarea multor poliedre de ordin superior. Conway a definit operatorii ''abdegjkmost'', în timp ce Hart a adăugat ''r'' și ''p''.<ref name="Hart">{{en icon}} {{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html|author=George W. Hart|title=Conway Notation for Polyhedra|website=Virtual Polyhedra|date=1998}}</ref> Implementările ulterioare au introdus și alți operatori, uneori denumiți operatori „extinși”.<ref name="Antiprism">{{en icon}} {{cite web|url=http://www.antiprism.com/programs/conway.html|author=Adrian Rossiter|title=conway - Conway Notation transformations|website=Antiprism Polyhedron Modelling Software}}</ref><ref name="Levskaya">{{en icon}} {{cite web|url=https://levskaya.github.io/polyhedronisme/|author=Anselm Levskaya|title=polyHédronisme}}</ref> Operatorii Conway de bază sunt suficienți pentru a genera [[poliedru arhimedic |poliedrele arhimedice]] și [[poliedru Catalan |cele Catalan]] din poliedrele platonice. Unele operații de bază pot fi realizate prin compunerea altora: de exemplu, ambo aplicat de două ori este operația de extindere: ''aa''&nbsp;=&nbsp;''e'', în timp ce o trunchiere după ambo produce [[bont]]: ''ta''&nbsp;=''b''.

Poliedrele pot fi studiate topologic cu privire la modul în care vârfurile, muchiile și fețele lor se conectează între ele, sau geometric cu privire la plasarea acestor elemente în spațiu. Implementări diferite ale acestor operatori pot crea poliedre care sunt geometric diferite, dar topologic echivalente. Aceste poliedre echivalente din punct de vedere topologic pot fi considerate ca fiind unul dintre multele [[graf încorporat |încorporări]] ale unui [[graf poliedric]] pe sferă. Dacă nu se specifică altfel, în acest articol (și în literatura despre operatorii Conway în general) topologia este principala preocupare. Pentru a evita ambiguitatea, poliedrele de [[Gen (matematică) |gen]] 0 (adică echivalente topologic cu sfera) sunt adesea puse în [[Poliedru canonic |formă canonică]].

== Operatori ==
În notația Conway, operațiile pe poliedre sunt efectuate ca funcții, de la dreapta la stânga. De exemplu, un [[cuboctaedru]] este un ''cub ambo'',<ref name="hart">{{en icon}} {{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html |title=Conway Notation for Polyhedra| website=Virtual Polyhedra| date=1998| first=George| last=Hart}} (See fourth row in table, "a = ambo".)</ref> adică {{tmath|1=a(C) = aC}}, iar un cuboctaedru trunchiat este {{tmath|1=t(a(C)) = t(aC) = taC}}. Aplicarea repetată a unui operator poate fi notată cu un exponent: ''j<sup>2</sup>'' = ''o''. În general, operatorii Conway nu sunt [[comutativitate |comutativi]].

Operatorii individuali pot fi vizualizați în termeni de [[domeniu fundamental |domenii fundamentale]] (sau camere), ca mai jos. Orice triunghi dreptunghic este un domeniu fundamental. Orice cameră albă este o versiune rotită a celorlalte, la fel și celelalte camere colorate. Pentru operatorii [[achiralitate |achirali]], camerele colorate sunt reflexii ale camerelor albe și toate sunt [[relație tranzitivă |tranzitive]]. În termeni de grup, operatorii achirali corespund [[grup diedral |grupurilor diedrale]] {{math|D{{sub|''n''}}}} unde ''n'' este numărul laturilor unei fețe, în timp ce operatorii [[chiralitate (matematică)|chirali]] corespund [[grup ciclic |grupurilor ciclice]] {{math|C{{sub|''n''}}}} lipsite de simetria reflexivă a grupurilor diedrale. Operatorii achirali și [[chiralitate (matematică) |chirali]] sunt numiți și operații ''locale de conservare a simetriei'' ({{en|local symmetry-preserving}}&nbsp;– LSP), respectiv operații ''locale care conservă simetriile de conservare a orientării'' ({{en|local operations that preserve orientation-preserving symmetries}}&nbsp;– LOPSP).<ref name=Brinkmann>{{en icon}} {{Cite journal|year=2017|title=Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=473|issue=2206|pages=20170267|arxiv=1705.02848|last1=Brinkmann|first1=G.|last2=Goetschalckx|first2=P.|last3=Schein|first3=S.|doi=10.1098/rspa.2017.0267|bibcode=2017RSPSA.47370267B|s2cid=119171258}}</ref><ref name=lsp>{{en icon}} {{cite arxiv|last1=Goetschalckx|first1=Pieter|last2=Coolsaet|first2=Kris|last3=Van Cleemput|first3=Nico|date=2020-04-12|title=Generation of Local Symmetry-Preserving Operations|class=math.CO|eprint=1908.11622}}</ref><ref name=lopsp>{{en icon}} {{cite arxiv|last1=Goetschalckx|first1=Pieter|last2=Coolsaet|first2=Kris|last3=Van Cleemput|first3=Nico|date=2020-04-11|title=Local Orientation-Preserving Symmetry Preserving Operations on Polyhedra|class=math.CO|eprint=2004.05501}}</ref> LSP-urile ar trebui înțelese ca operații locale care conservă simetria, nu ca operații care conservă simetria locală. Din nou, acestea sunt simetrii într-un sens topologic, nu în sens geometric: unghiurile exacte și lungimile muchiilor pot diferi.
{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto; border:none; text-align:center"
|+ Domenii fundamentale ale fețelor cu <math>n</math> laturi
!3 (Triunghi)
!4 (Pătrat)
!5 (Pentagon)
!6 (Hexagon)
|-
|[[Fișier:Triangle chambers.svg|180px]]
|[[Fișier:Quadrilateral chambers.svg|180px]]
|[[Fișier:Pentagon chambers.svg|180px]]
|[[Fișier:Hexagon chambers.svg|180px]]
|-
| colspan="4" |Domeniile fundamentale pentru grupurile poliedrelor. Grupurile sunt <math>D_3,D_4,D_5,D_6</math> pentru poliedre achirale și <math>C_3,C_4,C_5,C_6</math> pentru poliedre chirale.
|}

Hart a introdus operatorul de reflexie ''r'', care generează [[imagine în oglindă|imaginea în oglindă]] a poliedrului.<ref name="hart" /> Acesta nu este strict un LOPSP, deoarece nu conservă [[orientare (geometrie)|orientarea]]: o inversează, interschimbând camerele albe și roșii. ''r'' nu are niciun efect asupra poliedrelor achirale, în afară de orientare, iar ''rr&nbsp;=&nbsp;S'' revine la sămânță (poliedrul inițial). Pentru a indica cealaltă formă chirală a unui operator se folosește o linie de suprabarare: {{overline|''s''}}&nbsp;= ''rsr''.

O operațiune este ireductibilă dacă nu poate fi exprimată printr-o compunere de operatori, în afară de ''d'' și ''r''. Majoritatea operatorilor originali ai Conway sunt ireductibili: excepțiile sunt ''e'', '' b'', '' o'' și ''m''.

=== Reprezentarea matricială  ===
{| class="wikitable floatright"
|-
! x 
| <math>\begin{bmatrix}
  a & b & c \\
  0 & d & 0 \\
  a' & b' & c'
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_x</math> 
|-
! xd
| <math>\begin{bmatrix}
  c & b & a \\
  0 & d & 0 \\
  c' & b' & a'
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_x\mathbf{M}_d</math> 
|-
!dx
| <math>\begin{bmatrix}
  a' & b' & c' \\
  0 & d & 0 \\
  a & b & c
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_d\mathbf{M}_x</math> 
|-
!dxd
| <math>\begin{bmatrix}
  c' & b' & a' \\
  0 & d & 0 \\
  c & b & a
  \end{bmatrix} = \mathbf{M}_d\mathbf{M}_x\mathbf{M}_d</math> 
|}

Relația dintre numărul de vârfuri, muchii și fețe ale poliedrului inițial și a celui creat prin operațiile enumerate în acest articol poate fi exprimată ca o matrice <math>\mathbf{M}_x</math>. Când ''x'' este operatorul, <math>v,e,f</math> sunt vârfurile, muchiile și fețele poliedrului inițial iar <math>v',e',f'</math> sunt vârfurile, muchiile și fețele poliedrului rezultat, atunci
:<math>\mathbf{M}_x \begin{bmatrix} v \\ e \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v' \\ e' \\ f' \end{bmatrix}</math>.

Matricea pentru compunerea a doi operatori este chiar produsul matricilor celor doi operatori. Operatori diferiți pot avea aceeași matrice, de exemplu, ''p'' și ''l''. Numărul de muchii al rezultatului este un [[multiplu |multiplu întreg]] ''d'' al celui inițial: aceasta se numește rata de inflație sau coeficientul muchiilor.<ref name="Brinkmann" />

Cei mai simpli operatori, [[funcția identitate]] ''S'' și [[Poliedru dual |operatorul dual]] ''d'', au forme simple ale matricilor:
:<math>\mathbf{M}_S = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix} = \mathbf{I}_3</math>, <math>\mathbf{M}_d = \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0
  \end{bmatrix}</math>
Doi operatori duali se anulează reciproc: ''dd''&nbsp;=&nbsp;''S'', iar pătratul <math> \mathbf{M}_d \,</math> este [[matrice unitate |matricea unitate]]. Atunci când este aplicat altor operatori, operatorul dual corespunde reflexiilor orizontale și verticale ale matricei. Operatorii pot fi grupați în grupuri de patru (sau mai puțini dacă unele forme sunt aceleași) prin identificarea operatorilor ''x'', ''xd'' (x dual), ''dx'' (dualul lui x), și ''dxd'' (conjugatul lui x). În acest articol, este dată doar matricea pentru ''x'', deoarece celelalte sunt simple reflexii.

=== Numărul operatorilor ===
Numărul de LSP-uri pentru fiecare rată a inflației este <math>2, 2, 4, 6, 6, 20, 28, 58, 82, \cdots</math> începând cu rata inflației 1. Totuși, nu toate LSP-urile produc neapărat un poliedru, ale cărui muchii și vârfuri formează un graf 3-conectat și, ca o consecință a [[teoremei Steinitz]], nu produc neapărat un poliedru convex dintr-o sămânță convexă. Numărul de LSP-uri 3-conectate pentru fiecare rată a inflației este <math>2, 2, 4, 6, 4, 20, 20, 54, 64, \cdots</math>.<ref name=lsp />

== Operații originale ==
Strict, termenii „sămânță” ({{en|Seed}}&nbsp;– ''S''), nid ({{en|needle}}&nbsp;– ''n'') și zip (''z'') nu au fost introduși de Conway, dar sunt legați de operațiile Conway originale prin dualitate, așa că sunt tratați aici.

De aici înainte, operațiunile sunt vizualizate pe cubul sămânță, desenate pe suprafața acestui cub. Fețele albastre traversează marginile seminței, iar fețele roz se află deasupra vârfurilor seminței. Există o oarecare flexibilitate în plasarea exactă a vârfurilor, în special în cazul operatorilor chirali.
{| class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operatorii Conway originali
|-
!Coeficientul muchiei!!Matrice <math>\mathbf{M}_x</math>!! x !! xd !! dx !! dxd !! Note
|-
| 1 
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}</math>
| [[Fișier:Conway C.png|100px]]<br/>'''Sămânță''': ''S''
|colspan="2"| [[Fișier:Conway dC.png|100px]]<br/>'''Dual''': ''d''
| [[Fișier:Conway C.png|100px]]<br/>'''Sămânță''': ''dd'' = ''S''
| Dualul înlocuiește fiecare față cu un vârf și fiecare vârf cu o față.
|-
| 2 
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 1 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"| [[Fișier:Conway jC.png|100px]]<br/>'''Jonc''': ''j''
|colspan="2"| [[Fișier:Conway aC.png|100px]]<br/>'''Ambo''': ''a''
| Joncțiunea creează fețe patrulatere. Ambo creează vârfuri de gradul 4 și se mai numește [[rectificare (geometrie) |rectificare]].<ref>{{en icon}} {{mathworld|id=Rectification|title=Rectification}}</ref> 
|-
| 3 
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
| [[Fișier:Conway kC.png|100px]]<br/>'''Kis''': ''k''
| [[Fișier:Conway kdC.png|100px]]<br/>'''Nid''': ''n''
| [[Fișier:Conway dkC.png|100px]]<br/>'''Zip''': ''z''
| [[Fișier:Conway tC.png|100px]]<br/>'''Trunchiat''': ''t''
| Kis ridică o piramidă pe fiecare față.<ref>{{en icon}} {{mathworld|id=Cumulation|title=Cumulation}}</ref> [[Trunchire (geometrie)|Trunchierea]] taie poliedrul la vârfurile sale, dar lasă o porțiune a muchiilor originale.<ref>{{en icon}} {{mathworld|id=Truncation|title=Truncation}}</ref> Zip este numit și [[bitrunchiere]].
|-
| 4 
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan=2| [[Fișier:Conway oC.png|100px]]<br/> '''Orto''': ''o'' = ''jj''
|colspan=2| [[Fișier:Conway eC.png|100px]]<br/> '''Expandat''': ''e'' = ''aa''
|
|-
| 5
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 5 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
| [[Fișier:Conway gC.png|100px]]<br/>'''Giro''': ''g''
| ''gd'' = ''rgr''
| ''sd'' = ''rsr''
| [[Fișier:Conway sC.png|100px]]<br/>'''Snub''': ''s''
| Operatori chirali. Contrar lui Hart,<ref name="Hart" /> ''gd'' nu este același cu ''g'': este perechea sa chirală.<ref>{{en icon}} {{cite web|title=Antiprism - Chirality issue in conway|url=https://groups.google.com/forum/#!topic/antiprism/6NcYnKP4mTc}}</ref>
|-
| 6
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"| [[Fișier:Conway mC.png|100px]]<br/> '''Meta''': ''m'' = ''kj''
|colspan="2"| [[Fișier:Conway bC.png|100px]]<br/> '''Bont''': ''b'' = ''ta''
|
|}

== Semințe ==
Orice poliedru poate servi ca sămânță, atâta timp cât operațiile pot fi executate pe acesta. Semințelor cunoscute li s-a atribuit o literă. Poliedrele platonice sunt notate cu prima literă a denumirii lor: ([[Tetraedru|'''T'''etraedru]], [[Octaedru|'''O'''ctaedru]], [[Cub|'''C'''ub]], [[Icosaedru|'''I'''cosaedru]], [[Dodecaedru|'''D'''odecaedru]]). Celorlalte li s-au atribuit următoarele litere: [[prismă (geometrie)|'''p'''risme]] ('''P'''<sub>''n''</sub>) pentru formele ''n''-gonale; [[antiprismă |'''a'''ntiprisme]] ('''A'''<sub>''n''</sub>); [[Cupolă (geometrie)|c'''u'''pole]] ('''U'''<sub>''n''</sub>); [[anticupolă | antic'''v'''pole]] ('''V'''<sub>''n''</sub>); [[piramidă (geometrie)|p'''y'''ramide]] ('''Y'''<sub>''n''</sub>). Orice [[Poliedru Johnson |poliedru '''J'''ohnson]] poate fi notat cu '''J'''<sub>''n''</sub>, pentru ''n''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;...&nbsp;92.

Toate cele cinci poliedre regulate pot fi generate de la generatoare prismatice cu zero până la doi operatori:<ref>{{en icon}} {{cite journal|url=http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro2008/__generation_of_icosahedron_by_5tetrahedra.htm|title=Generation of an icosahedron by the intersection of five tetrahedra: geometrical and crystallographic features of the intermediate polyhedra|author=Livio Zefiro|journal=Vismath|year=2008}}</ref>
* ''[[Piramidă triunghiulară]]'': ''Y''<sub>3</sub> (Tetraedrul este o piramidă particulară)
** [[Tetraedru|T]] = ''Y''<sub>3</sub>   
** [[Octaedru|O]] = ''aT'' (tetraedru ambo)
** [[Cube|C]] = ''jT'' (tetraedru jonc)
** [[Icosaedru regulat|I]] = ''sT'' (tetraedru [[snub]])
** [[Dodecaedru regulat|D]] = ''gT'' (tetraedru giro)
* ''[[Antiprismă|Antiprismă triunghiulară]]'': ''A''<sub>3</sub> (Octaedrul este o antiprismă particulară)
** ''O'' = ''A''<sub>3</sub>
** ''C'' = ''dA''<sub>3</sub>
* ''[[Prismă pătrată]]'': ''P''<sub>4</sub> (Cubul este o prismă particulară)
** ''C'' = ''P''<sub>4</sub>
* ''[[Antiprismă pentagonală]]'': ''A''<sub>5</sub>
** ''I'' = ''k''<sub>5</sub>''A''<sub>5</sub>  (Caz particular de [[bipiramidă giroalungită]])
** ''D'' = ''t''<sub>5</sub>''dA''<sub>5</sub> (Caz particular de [[trapezoedru trunchiat]])

[[Pavare |Pavările]] euclidiene regulate pot fi și ele folosite ca semințe:
* Q = Q-dală = [[Pavare pătrată]]
* H = H-dală  = [[Pavare hexagonală]] = dΔ
* Δ = D-dală = [[Pavare triunghiulară]] = dH

== Operații extinse ==
Acestea sunt operații create după apariția setului original al lui Conway. Există mult mai multe operații decât au fost denumite; doar pentru că o operație nu este aici nu înseamnă că nu există (sau nu este o LSP sau LOPSP).<!-- necesită prea multă CO pentru traducerea secțiunii -->

=== Meta/Bont ===
Meta adaugă vârfuri în centrul fețelor și de-a lungul muchiilor, în timp ce bont (teșirea) adaugă fețe în centrul fețelor și de-a lungul muchiilor semințelor. Indicele este numărul de vârfuri sau fețe adăugate de-a lungul marginilor. Meta (în forma sa neindexată) se mai numește [[cantitrunchiere]] sau [[omnitrunchiere]]. Indicele „0” înseamnă că se adaugă zero vârfuri (sau fețe) de-a lungul marginilor.<ref name="Antiprism" />
{| class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+ Operatorii Meta/Bont
|-
! n !!Coeficientul muchiei!! Matrice <math>\mathbf{M}_x</math> !! x !! xd !! dx !! dxd
|-
| 0
| 3
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[Fișier:Conway kC.png|100px]]<br/>''k'' = ''m''<sub>0</sub>
| [[Fișier:Conway kdC.png|100px]]<br/>''n''
|[[Fișier:Conway dkC.png|100px]]<br/>''z'' = ''b''<sub>0</sub>
| [[Fișier:Conway tC.png|100px]]<br/>''t''
|-
| 1
| 6
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"| [[Fișier:Conway mC.png|100px]]<br/> ''m'' = ''m''<sub>1</sub> = ''kj''
|colspan="2"| [[Fișier:Conway bC.png|100px]]<br/> ''b'' = ''b''<sub>1</sub> = ''ta''
|-
| 2 
|9
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 9 & 0 \\
  0 & 6 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[Fișier:Conway m3C.png|100px]]<br/>''m''<sub>2</sub>
|[[Fișier:Conway m3dC.png|100px]]<br/>''m''<sub>2</sub>''d''
|[[Fișier:Conway b3C.png|100px]]<br/>''b''<sub>2</sub>
|[[Fișier:Conway dm3dC.png|100px]]<br/>''b''<sub>2</sub>''d''
|-
| 3
|12
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & 3 & 1 \\
  0 & 12 & 0 \\
  0 & 8 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[Fișier:Conway m4C.png|100px]]<br/>''m''<sub>3</sub>
|''m''<sub>3</sub>''d''
|''b''<sub>3</sub>
|''b''<sub>3</sub>''d''
|-
| ''n''
| 3''n''+3
| <math>\begin{bmatrix}
  1 & n & 1 \\
  0 & 3n+3 & 0 \\
  0 & 2n+2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|''m<sub>n</sub>''
|''m<sub>n</sub>d''
|''b<sub>n</sub>''
|''b<sub>n</sub>d''
|}
<!-- necesită prea multă CO pentru traducerea secțiunilor
===Medial===
===Goldberg-Coxeter===
-->
== Exemple ==
=== Poliedre arhimedice și Catalan ===
Setul original de operatori Conway poate crea toate poliedrele arhimedice și Catalan, pornind de la poliedrele platonice ca semințe. (Operatorul ''r'' nu este necesar pentru a crea [[Politop chiral|ambele forme chirale]].)
<gallery caption="Poliedre arhimedice">
truncated tetrahedron.png| [[Tetraedru trunchiat]]<br/>tT
cuboctahedron.png| [[Cuboctaedru]]<br/>aC = aaT
truncated hexahedron.png| [[Cub trunchiat]]<br/>tC
truncated octahedron.png| [[Octaedru trunchiat]]<br/>tO = bT
small rhombicuboctahedron.png| [[Rombicuboctaedru]]<br/>eC = a<sup>3</sup>T
Great rhombicuboctahedron.png| [[Cuboctaedru trunchiat]]<br/> bC
snub hexahedron.png| [[Cub snub]]<br/>sC
icosidodecahedron.png| [[Icosidodecaedru]]<br/>aD
truncated dodecahedron.png| [[Dodecaedru trunchiat]]<br/>tD
truncated icosahedron.png| [[Icosaedru trunchiat]]<br/>tI
small rhombicosidodecahedron.png| [[rombicosidodecaedru|Rombicosi&shy;dodecaedru]]<br/>eD
Great rhombicosidodecahedron.png| [[Icosidodecaedru trunchiat]]<br/>bD
snub dodecahedron ccw.png| [[Dodecaedru snub]]<br/>sD & sI
</gallery>
<gallery caption="Poliedre Catalan">
triakistetrahedron.jpg| [[Tetraedru triakis]]<br/>kT
rhombicdodecahedron.jpg| [[Dodecaedru rombic]]<br/>jC
triakisoctahedron.jpg| [[Octaedru triakis]]<br/>kO
tetrakishexahedron.jpg| [[Hexaedru tetrakis]]<br/>kC
deltoidalicositetrahedron.jpg| [[Icositetraedru romboidal]]<br/>oC
disdyakisdodecahedron.jpg| [[Dodecaedru disdyakis]]<br/>mC
pentagonalicositetrahedronccw.jpg| [[Icositetraedru pentagonal]]<br/>gC
rhombictriacontahedron.jpg| [[Triacontaedru rombic]]<br/>jD
triakisicosahedron.jpg| [[Icosaedru triakis]]<br/>kI
Pentakisdodecahedron.jpg| [[Dodecaedru pentakis]]<br/>kD
Deltoidalhexecontahedron.jpg| [[Hexacontaedru romboidal]]<br/>oD
Disdyakistriacontahedron.jpg| [[Triacontaedru disdyakis]]<br/>mD
Pentagonalhexecontahedronccw.jpg| [[Hexacontaedru pentagonal]]<br/>gD & gI
</gallery>

=== Operatori compuși ===
Icosaedrul trunchiat, ''tI = zD'', poate fi folosit ca sămânță pentru a crea niște poliedre plăcute vizual, deși acestea nu sunt tranzitive nici pe vârfuri nici pe fețe.
<gallery>
Uniform polyhedron-53-t12.svg|tI=zD
Rectified truncated icosahedron.png|atI
truncated truncated icosahedron.png|ttI
Conway polyhedron Dk6k5tI.png|ztI
Expanded truncated icosahedron.png|etI
Truncated rectified truncated icosahedron.png|btI
Snub rectified truncated icosahedron.png|stI
</gallery>
<gallery caption="Dualele celor de mai sus">
Pentakisdodecahedron.jpg|nI=kD
Joined truncated icosahedron.png|jtI
kissed kissed dodecahedron.png|ntI
Conway polyhedron K6k5tI.png|ktI
ortho truncated icosahedron.png|otI
Meta_truncated_icosahedron.png|mtI
Gyro_truncated_icosahedron.png|gtI
</gallery>

=== În plan ===
Fiecare dintre [[pavare uniformă |pavările uniforme]] convexe poate fi creată prin aplicarea operatorilor Conway la pavările regulate Q, H și Δ.
<gallery>
1-uniform_n5.svg|[[Pavare pătrată]]<br/>Q=dQ
1-uniform_n2.svg|[[Pavare pătrată trunchiată]]<br/>tQ
1-uniform_2_dual.svg|[[Pavare pătrată tetrakis]]<br/>kQ
1-uniform_n9.svg|[[Pavare pătrată snub]]<br/>sQ
1-uniform_9_dual.svg|[[Pavare pentagonală Cairo]]<br/>gQ
</gallery>
<gallery>
1-uniform_n1.svg|[[Pavare hexagonală]]<br/>H = dΔ
1-uniform_n7.svg|[[Pavare trihexagonală]]<br/>aH = aΔ
1-uniform_n4.svg|[[Pavare hexagonală trunchiată]]<br/>tH
1-uniform_n6.svg|[[Pavare rombitrihexagonală]]<br/>eH = eΔ
1-uniform_n3.svg|[[Pavare trihexagonală trunchiată]]<br/>bH = bΔ
1-uniform_n10.svg|[[Pavare trihexagonală snub]]<br/>sH = sΔ

</gallery>
<gallery>
1-uniform_1_dual.svg|[[Pavare triunghiulară]]<br/>Δ = dH
1-uniform_7_dual.svg|[[Pavare rombică]]<br/>jΔ = jH
1-uniform_4_dual.svg|[[Pavare triunghiulară triakis]]<br/>kΔ
1-uniform_6_dual.svg|[[Pavare trihexagonală romboidală]]<br/>oΔ = oH
1-uniform_3_dual.svg|[[Pavare kisrombică]]<br/>mΔ = mH
1-uniform_10_dual.svg|[[Pavare pentagonală floare]]<br/>gΔ = gH
</gallery>

=== Pe tor ===
Operatorii Conway pot fi aplicați și la [[poliedru toroidal |poliedre toroidale]] și poliedre cu găuri multiple.
<gallery>
Toroidal monohedron.png|1x1 tor pătrat regulat, {4,4}<sub>1,0</sub>
Torus map 4x4.png|4x4 tor pătrat regulat, {4,4}<sub>4,0</sub>
First truncated square tiling on torus24x12.png|Pavare tQ24×12 pe tor
Truncated square tiling on torus24x12.png|Pavare taQ24×12 pe tor
Conway_torus_ActQ24x8.png|Pavare actQ24×8 pe tor
Truncated hexagonal tiling torus24x12.png|Pavare tH24×12 pe tor
Truncated trihexagonal tiling on torus24x8.png|Pavare taH24×8 pe tor
Conway torus kH24-12.png|Pavare kH24×12 pe tor
</gallery>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Vezi și ==
* [[Simbol Schläfli]]
* [[Simbol Wythoff]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commonscat-inline|Conway polyhedra}}
* {{en icon}} [https://levskaya.github.com/polyhedronisme/ polyHédronisme] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120425234840/http://levskaya.github.com/polyhedronisme/ |date=2012-04-25 }}: generează poliedre în cadrul HTML5 pornind de la notația Conway.

[[Categorie:Geometrie elementară]]
[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Notații matematice]]
[[Categorie:John Horton Conway]]