Vizualizare sursă pentru „Nabla”

În [[Calcul vectorial|calculul vectorial]], '''nabla''' este un [[operator (matematică)|operator]] [[derivată|diferențial]] vectorial ce operează asupra vectorilor și [[scalar]]ilor, operator reprezentat prin simbolul nabla: <math>\nabla</math>.

Nabla este o [[noțiune]] [[matematică]] ce folosește în primul rând ca o convenție de notație evidențiată de [[Josiah Willard Gibbs]]; face multe [[Ecuație|ecuații]] mai ușor de înțeles, scris, și reținut. În funcție de cum este aplicat operatorul, el poate descrie [[gradient]]ul (panta), [[divergența]] sau [[rotor]]ul.

Matematic, nabla poate fi privit ca un ansamblu de [[derivată|derivate]] [[derivată parțială|parțiale]] în spațiul multidimensional. Când este folosit într-o singură dimensiune, el ia forma [[Derivată|derivatei]] din [[analiza matematică]]. Ca [[operator]], el operează pe [[Câmp vectorial|câmpuri vectoriale]] și [[Câmp scalar|câmpuri scalare]] care suportă operații similare înmulțirii. Ca toți operatorii, acești operatori similari înmulțirii nu trebuie să fie confundați cu înmulțirea uzuală; în particular, nabla nu [[comutativitate|comută]].

== Definiție ==
În [[coordonate carteziene]] tridimensionale, '''R'''<sup>3</sup> cu coordonatele (''x'', ''y'', ''z''), nabla se definește ca un [[vector euclidian]] cu componentele 
:<math>\nabla = \mathbf{i}{\partial \over \partial x} + \mathbf{j}{\partial \over \partial y} + \mathbf{k}{\partial \over \partial z}</math>

unde ('''i''', '''j''', '''k''') este [[versor|baza standard]] în '''R'''<sup>3</sup>. 

Această definiție poate fi generalizată într-un [[spațiu euclidian]], de dimensiune ''n'' '''R'''<sup>n</sup>. În sistemul de [[coordonate carteziene]] cu coordonatele (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>), nabla este:
:<math> \nabla = \sum_{i=1}^n  \mathbf{e_i} {\partial \over \partial x_i}</math>

unde <math>\{ \mathbf{e_i}: 1\leq i\leq n\}</math> este baza standard în acest spațiu.

Mai pe scurt, folosind [[notația Einstein]], nabla se scrie ca
:<math> \nabla = \mathbf{e_i} \partial_i</math>

Nabla poate fi exprimat și în alte sisteme de coordonate, de exemplu în coordonate cilindrice sau sferice.

== Aplicații ale operatorului nabla ==
Acest operator se poate aplica asupra [[câmp (fizică)|câmpurilor]] [[câmp scalar|scalare]] (Φ) sau [[câmp vectorial|vectoriale]] '''F''', dând: 
<blockquote>
{|
|• [[Gradient]]ul:   || <math>\nabla \phi</math>
|-
|• [[Divergență|Divergența]]: || <math>\nabla \cdot \vec{F}</math>
|-
|• [[Rotor]]ul:       || <math>\nabla \times \vec{F}</math>
|-
|• [[Laplacian]]ul:  
| <math>\nabla^2 \phi = \Delta \phi  </math>
|}
</blockquote>

== Algebra operatorului ∇ ==
Fiind vorba de un operator diferențial, rezultatul aplicării lui asupra unui produs are reguli similare cu cele de [[derivarea unui produs |derivare a produsului]] de funcții. Dependent de natura câmpurilor asupra cărora operează, rezultatul poate fi o expresie mai mult sau mai puțin complicată. 

Formulele cele mai importante sunt:
:<math>\nabla(\phi\psi) = (\nabla\phi)\psi + \phi(\nabla\psi)</math>
:<math>\nabla\cdot(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\cdot \vec A + \phi(\nabla\cdot \vec A)</math>
:<math>\nabla\times(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\times \vec A + \phi(\nabla\times \vec A)</math>
:<math>\nabla(\vec A\cdot \vec B) = \vec B\times(\nabla\times\vec A) + \vec A\times(\nabla\times\vec B) + (\vec B\cdot\nabla)\vec A + (\vec A\cdot\nabla)\vec B</math>
:<math>\nabla\cdot(\vec A\times \vec B) = (\nabla\times\vec A)\cdot\vec B - (\nabla\times \vec B)\cdot\vec A</math>
:<math>\nabla\times(\vec A\times \vec B) = (\nabla\cdot\vec B)\vec A + (\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\nabla\cdot\vec A)\vec B - (\vec A\cdot\nabla)\vec B</math>

== Notația cu nabla ==
Nabla este folosit drept formă prescurtată de scriere pentru simplificarea multor expresii matematice lungi. Cel mai adesea, este folosit pentru a simplifica expresiile pentru [[gradient]], [[divergență]], [[rotor]], [[derivată direcțională]] și [[Laplacian]] în ecuațiile fizicii matematice pentru [[câmp electric|câmpurile electric]] și magnetic, câmpul de viteze și [[vorticitate]]a în dinamica fluidelor și fenomene de transfer termic și al substanței.

== Vezi și ==
* [[Coordonate eliptice]]
* [[Ecuație cu derivate parțiale]]
* [[Identitățile calculului vectorial]]

== Bibliografie ==
* E. Scheiber, M. Lupu ''Matematici speciale'' Editura Tehnică București 1998
* Vasile Tutovan, ''Electricitate și magnetism'', vol I, Editura Tehnică, 1984
* [[Șerban Țițeica]]: ''Termodinamica'', Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1982.
* F. Sears, M. Zemansky, H. Young, ''Fizică (University Physics 5th Edition)'', EDP, București, 1983

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Calcul vectorial]]
[[Categorie:Operatori matematici]]