Vizualizare sursă pentru „N-sferă”

{{DISPLAYTITLE:''n''-sferă}}
[[Fișier:Sphere wireframe.svg|thumb|O 2-sferă văzută ca un {{ill-wd|Q583169}} într-o [[proiecție ortogonală]]]]
[[Fișier:Hypersphere coord.PNG|thumb|Așa cum o [[proiecție stereografică |proiecția stereografică]] poate proiecta suprafața unei sfere pe un plan, ea poate proiecta și o 3-sferă în 3-spațiu. În imagine sunt prezentate trei direcții de coordonate proiectate în 3-spațiu: [[paralelă |paralele]] (roșu), [[meridian]]e (albastru) și hipermeridiane (verde).<br/>
Deoarece proiecția stereografică este o [[transformare conformă]], curbele se intersectează ortogonal (în punctele galbene) ca în [[spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]].
Toate curbele sunt [[cerc]]uri: curbele care se intersectează &#12296;0,0,0,1&#12297; au o rază infinită (sunt [[dreaptă |drepte]]).]]
În [[matematică]]  o '''{{math|''n''}}-sferă''' este un [[spațiu topologic]] care este [[homeomorfism|homeomorf]] cu {{math|''n''}}-''sfera "standard"'', care este [[mulțime]]a punctelor din [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] {{math|(''n''+1)}}-[[Dimensiune (matematică)|dimensional]] care sunt situate la o distanță constantă {{math|''r''}} de un punct fix, numit ''[[centru (geometrie)|centru]]''. Este generalizarea unei [[sferă |sfere]] obișnuite din [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]] obișnuit. ''Raza'' unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită '''{{math|''n''}}-[[sferă unitate]]''', sau, pe scurt, '''{{math|''n''}}-sferă'''. În ceea ce privește norma standard, {{math|''n''}}-sfera este definită drept
:<math> S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| x \right\| = 1 \right\} ,</math>
iar {{math|''n''}}-sfera de rază {{mvar|r}} este definită drept
:<math> S^n(r) = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| x \right\| = r \right\} .</math>

Dimensiunea unei {{math|''n''}}-sfere este {{mvar|n}}, care nu trebuie confundată cu dimensiunea {{math|(''n''+1)}} a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O {{math|''n''}}-sferă este suprafața care [[frontieră (topologie) |mărginește]] o [[bilă (matematică) |bilă]] {{math|(''n''+1)}}-dimensională.

În particular:
* perechea de [[punct (geometrie) |puncte]] de la capetele unui [[segment (geometrie) |segment]] ([[spațiu unidimensional|unidimensional]]) este o 0-sferă,
* un [[cerc]], care este [[circumferință |circumferința]] unidimensională a unui [[disc]] [[bidimensional]], este o 1-sferă,
* [[suprafață |suprafața]] bidimensională a unei [[bilă (matematică) |bile]] [[tridimensional]]e este o 2-sferă, numită uzual [[sferă]],
* [[frontieră (topologie) |frontiera]] tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă,
* frontiera {{math|''n''–1}}-dimensională a unei {{mvar|n}}-bile ({{mvar|n}}-dimensională) este o {{math|(''n''–1)}}-sferă.

Pentru {{math|''n'' ≥ 2}} {{math|''n''}}-sferele, care sunt {{ill-wd| Q3552958||varietăți diferențiabile}}, pot fi caracterizate (până la un [[difeomorfism]]) ca fiind varietăți {{math|''n''}}-dimensionale [[spațiu simplu conex|simplu conexe]], cu [[curbură constantă]] pozitivă. {{math|''n''}}-sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene {{math|''n''}}-dimensionale, identificând limita unui [[hipercub|{{math|''n''}}-cub]] cu un punct, sau (inductiv) prin formarea [[suspensie (topologie) |suspensiei]] unei {{math|(''n''–1)}}-sfere. 1-sfera este o 1-[[varietate (geometrie) |varietate]] care este un cerc, care nu este  simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin '''hipersferă''' se înțelege în general o ''n''-sferă cu {{math|''n''}}&nbsp;>&nbsp;2.

== Descriere ==
=== În coordonate euclidiene din {{math|(''n''+1)}}-spațiu ===
Mulțimea punctelor din {{math|(''n''+1)}}-spațiu, {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''+1</sub>)}} care definește o {{math|''n''}}-sferă, <math>S^n(r)</math> este dată de ecuația:
:<math>r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2 ,</math>
unde {{math|1=''c'' = (''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, ..., ''c''<sub>''n''+1</sub>)}} este centrul, iar {{math|''r''}} este raza.

{{math|''n''}}-sfera de mai sus există în spațiul euclidian {{math|(''n''+1)}}-dimensional și este un exemplu de {{math|''n''}}-varietate. [[Volum (geometrie) |Volumul]] {{math|''ω''}} unei {{math|''n''}}-sfere de rază {{math|''r''}} este dat de
:<math>\omega = \frac{1}{r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * dr</math>
unde {{math|∗}} este {{ill-wd| Q1622692}} (stea); v. {{harvtxt|Flanders|1989|loc=§6.1}} pentru demonstrație în cazul {{math|''r'' {{=}} 1}}. Rezultă
:<math>dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.</math>

=== {{math|''n''}}-bilă ===
{{Articol principal|Bilă (matematică)}}
Spațiul închis de o {{math|''n''}}-sferă se numește {{math|(''n''+1)}}-[[Bilă (matematică) |bilă]]. O {{math|(''n''+1)}}-bilă este [[mulțime închisă |închisă]] dacă include {{math|''n''}}-sfera și este [[mulțime deschisă |deschisă]] dacă nu o include.

În particular:
* o 1-''bilă'' este un segment, interiorul unei 0-sfere,
* o 2-''bilă'' este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă),
* o 3-''bilă'' este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă),
* o 4-''bilă'' este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin '''hiperbilă''' se înțelege în general o ''n''-bilă cu {{math|''n''}}&nbsp;>&nbsp;2.

=== Descriere topologică ===
[[Topologie|Topologic]], o {{math|''n''}}-sferă poate fi construită ca o {{ill-wd|Q864919||compactificare}} a spațiului euclidian {{math|''n''}}-dimensional. Pe scurt, {{math|''n''}}-sfera poate fi descrisă ca {{math|''S''<sup>''n''</sup> {{=}} ℝ<sup>''n''</sup> ∪ {∞<nowiki>}</nowiki>}}, care este spațiul euclidian {{math|''n''}}-dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o {{math|''n''}}-sferă, ea devine homeomorfă cu {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. Asta formează baza [[proiecție stereografică |proiecției stereografice]].<ref>{{en icon}} James W. Vick (1994). ''Homology theory'', p. 60. Springer</ref>

== Volumul și aria ==
[[Fișier:Hypersphere_volume_and_surface_area_graphs.svg|thumb|250px|Graficele [[volum]]elor&nbsp;(''V'') și [[arie|ariilor]]&nbsp;(''S'') ale ''n''-bilelor de rază 1. Pe imaginea de la commons (faceți la commons clic pe imagine) indicând un punct se va afișa valoarea lui.]]
{{math|''V<sub>n</sub>''(''R'')}} și {{math|''S<sub>n</sub>''(''R'')}} sunt volumul {{math|''n''}}-dimensional al bilei {{math|''n''}}-dimensionale, respectiv aria suprafeței {{math|''n''}}-sferei {{math|''n'' + 1}}-dimensionale, de rază {{math|''R''}}.

Constantele {{math|''V<sub>n</sub>''}} și {{math|''S<sub>n</sub>''}} (pentru {{math|''R'' {{=}} 1}}, [[bilă unitate|bila]] și [[sferă unitate|sfera unitate]]) sunt legate prin relațiile de recurență:
:<math>\begin{align}
V_0&=1 & V_{n+1}&=\frac{S_n}{n+1} \\[6pt]
S_0&=2 & S_{n+1}&=2\pi V_n
\end{align}</math>

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:
:<math>\begin{align}
S_{n-1}(R) &= \frac{2\,\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}R^{n-1} \\[6pt]
V_n(R) &= \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}R^n
\end{align}</math>
unde {{math|Γ}} este [[funcția gamma]].
</div>

În general, volumul {{math|''n''}}-bilei de rază {{math|''R''}} din spațiul euclidian {{math|''n''}}-dimensional și aria suprafeței {{math|''n''}}-sferei de rază {{math|''R''}} din spațiul euclidian {{math|(''n''+1)}}-dimensional sunt proporționale cu a {{math|''n''}}-a putere a razei {{math|''R''}} (cu diferite constante de proporționalitate care depind de {{math|''n''}}). Se poate scrie {{math|''V<sub>n</sub>''(''R'') {{=}} ''V<sub>n</sub>R<sup>n</sup>''}} pentru volumul {{math|''n''}}-bilei și {{math|''S<sub>n</sub>''(''R'') {{=}} ''S<sub>n</sub>R<sup>n</sup>''}} pentru aria suprafeței {{math|''n''}}-sferei, ambele de rază {{math|''R''}}, unde {{math|''V<sub>n</sub>'' {{=}} ''V<sub>n</sub>''(1)}} și {{math|''S<sub>n</sub>'' {{=}} ''S<sub>n</sub>''(1)}} sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile {{math|''S<sub>n</sub>''(''R'')}} și {{math|''S<sub>m</sub>''(''R'')}} pentru {{math|''n'' ≠ ''m''}}. Totuși, acestea nu sunt [[expresie bine definită|bine definite]]. De exemplu, dacă {{math|1=''n'' = 2}} și {{math|1=''m'' = 3}} atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea {{math|''V<sub>n</sub>''(''R'')}} cu {{math|''V<sub>m</sub>''(''R'')}} pentru {{math|''n'' ≠ ''m''}}.

=== Exemple ===
0-bila este formată dintr-un singur punct. [[Dimensiune Hausdorff|Dimensiunea Hausdorff]] este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,
:<math>V_0=1.</math>
0-sfera este formată din două puncte de capăt, {{math|{−1,1<nowiki>}</nowiki>}}. Prin urmare,
:<math>S_0 = 2.</math>
1-bila unitate este intervalul {{math|[−1,1]}} de lungime 2. Prin urmare,
:<math>V_1 = 2.</math>
1-sfera este [[cercul unitate]] din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)
:<math>S_1 = 2\pi.</math>
Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)
:<math>V_2 = \pi.</math>
Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este
:<math>S_2 = 4\pi,</math>
iar volumul închis de 3-[[bilă unitate|bila unitate]] (3-dimensională), este
:<math>V_3 = \tfrac{4}{3} \pi.</math>

== Proiecția stereografică ==
{{Articol principal |Proiecție stereografică}}
La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o [[proiecție stereografică]], o {{math|''n''}}-sferă poate fi proiectată pe un [[hiperplan]] {{math|''n''}}-dimensional de versiunea {{math|''n''}}-dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul {{math|[''x'',''y'',''z'']}} de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului {{math|[{{sfrac|''x''|1 − ''z''}},{{sfrac|''y''|1 − ''z''}}]}} din planul {{math|''xy''}}. Altfel spus,
:<math>[x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].</math>

Analog, proiecția stereografică a unei {{math|''n''}}-sfere {{math|'''S'''<sup>''n''−1</sup>}} de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul {{math|(''n''−1)}}-dimensional {{math|ℝ<sup>''n''−1</sup>}} perpendicular pe axa {{math|''x<sub>n</sub>''}} ca
:<math>[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | last1=Flanders | first1=Harley | title=Differential forms with applications to the physical sciences | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-66169-8 | year=1989}}
* {{en icon}} {{Cite book | last1=Moura | first1=Eduarda | last2=Henderson | first2=David G. | title=Experiencing geometry: on plane and sphere | url=https://archive.org/details/experiencinggeom0000hend | publisher=Prentice Hall | isbn=978-0-13-373770-7 | year=1996| postscript=&nbsp;(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces). | url-access=registration }}
* {{en icon}} {{Cite book | last1=Weeks | first1=Jeffrey R. | title=The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds | publisher=Marcel Dekker | isbn=978-0-8247-7437-0 | year=1985| postscript=&nbsp;(Chapter 14: The Hypersphere).}}
* {{en icon}} {{cite journal|last1=Marsaglia|first1=G.|title=Choosing a Point from the Surface of a Sphere|journal=Annals of Mathematical Statistics|volume=43|pages=645–646|year=1972|doi=10.1214/aoms/1177692644|issue=2}}
* {{en icon}} {{cite journal|first1=Greg|last1=Huber|title=Gamma function derivation of n-sphere volumes|journal=Amer. Math. Monthly|volume=89|year=1982|pages=301–302|mr=1539933 |jstor=2321716|issue=5|doi=10.2307/2321716
}}
* {{en icon}} {{cite journal|first1=Nir | last1=Barnea | title=Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction
|year=1999 | journal = Phys. Rev. A | doi=10.1103/PhysRevA.59.1135
|volume=59 | number=2|pages=1135–1146| bibcode=1999PhRvA..59.1135B }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld|title=Hypersphere|urlname=Hypersphere}}

{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}
{{Control de autoritate }}

[[Categorie:Geometrie multidimensională]]
[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Sfere]]