Vizualizare sursă pentru „Modul”

[[Fișier:Absolute value.svg|thumb|right|300px|Graficul funcţiei modul]]
În [[matematică]], '''modulul''' sau '''valoarea absolută''' a unui [[număr real]] ''x'', notat |''x''|, este numărul real luat fără semn (astfel, de exemplu, 3 este valoarea absolută a numerelor 3 și &minus;3). În [[Număr complex|mulțimea numerelor complexe]], modulul unui număr este distanța dintre acesta și origine (numărul complex 0).

O definiție mai riguroasă a modulului unui număr real <math>x</math> poate fi scrisă sub forma:

:<math>|x| = \begin{cases}
				x   & \mbox{, } x \ge 0,  \\
				-x & \mbox{, } x < 0.
			\end{cases}
</math>

Generalizări ale modulului sunt folosite în multe contexte matematice diferite. Există modul definit pentru [[Grup (matematică)|grupuri]], [[numere complexe]], [[spațiu vectorial|spații vectoriale]]. Noțiunea de modul este strâns legată de cele de magnitudine, distanță sau normă în diferite contexte matematice sau fizice.

== Terminologie și notație ==
[[Jean Robert Argand]] a introdus termenul de modul de unitate de măsură, în Franța în 1806 special pentru complex valoare absolută <ref name=oed>{{en icon}} [[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref><ref>{{en icon}} [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], și [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]; [[Dictionnaire de la langue française (Littré)|Littré]], 1877</ref> și a fost împrumutat în engleză în 1866, echivalent in Latină „modulus”.<ref name=oed />
Termenul de „valoare absolută” a fost utilizat în acest sens încă din 1806 în Franța<ref>{{fr icon}} [[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Nicolas M. Carnot]], ''Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace'', p. 105 [http://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105 at Google Books]</ref> și din 1857 în Anglia. <ref>{{en icon}} James Mill Peirce, ''A Text-book of Analytic Geometry'' [http://books.google.com/books?id=RJALAAAAYAAJ&pg=PA42 at Google Books]. Cea mai veche referință din ediția a doua a [[Oxford English Dictionary]] datează din 1907. Termenul „valoare absolută” este pus în contrast aici cu „relative value”.</ref>
Notația <math>|a|</math> a fost introdusă de către [[Karl Weierstrass]] în 1841.<ref>{{en icon}} Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25</ref>

== Numere reale ==
Pentru orice [[număr real]] ''a'', valoarea absolută sau '''modulul''' lui ''a'' este notat | ''a'' | si este definit astfel:
:<math>|a| = \begin{cases} a, & \mbox{daca }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{daca } a < 0. \end{cases} </math> 

După cum se poate vedea în definiție, valoarea absolută a lui ''a'' este întotdeauna un [[număr pozitiv]] sau [[0 (număr)|zero]], dar niciodată [[Numere negative|negativ]]. Din punctul de vedere al [[geometrie analitică|geometriei analitice]], valoarea absolută a unui [[număr real]] este [[distanță|distanța]] față de originea axei reale și, mai general, valoarea absolută a diferenței a două numere reale este distanța între ele.

== Note ==
<references />

[[Categorie:Matematică]]