Vizualizare sursă pentru „Moar (efect)”

{{referințe}}

{{Imagine dublă|right|Moiré pattern.svg|160|Divers - Illustrated London News Feb 6 1873-2.PNG|160|Un efect de moar, format din două seturi de linii paralele, cu un set înclinat la un unghi de 5° față de celălalt.|com-dr=Liniile fine care alcătuiesc cerul, în această imagine, creează un efect de moar atunci când sunt afișate la anumite rezoluții din același motiv pentru care fotografiile televizoarlor manifestă acest efect: liniile nu sunt perfect drepte.||}}

În fizică, matematică și artă, '''moarul''' este un efect vizual creat, de exemplu, atunci când două modele grafice identice  (de obicei transparente), pe o suprafață plană sau curbată (cum ar fi liniile drepte apropiate, desenate ca radiind dintr-un punct sau luând forma unui grilaj), sunt suprapuse și apoi [[deplasare (geometrie)|deplasate]] sau [[rotație (matematică)|rotite]] foarte puțin una față de cealaltă.

== Etimologie ==
[[Fișier:Moireband.jpg|alt=Fâșii de moar|right|thumb|240px|Fâșii de [[moar]], prezentând textura caracteristică a țesăturii.]]

Termenul este preluat de la țesătura de [[moar]] (''moiré'' în forma sa adjectivală franceză), un tip de [[material textil]], confecționat în mod tradițional din [[mătase]] dar în prezent și din [[bumbac]] sau [[fibră sintetică]], cu aspect unduit sau „apos”.

Istoria cuvântului ''moar'' este complicată.  Cea mai timpurie origine acceptată{{De cine|dată=iunie 2012}} este arăbescul ''mukhayyar'' („مُخَيَّر” în arabă, care înseamnă ''ales''), o țesătură făcută din lâna [[Capră angora|caprei angora]], din ''khayyara'' („خيّر” în arabă), 'a ales' (prin urmare, o țesătură „aleasă” sau de calitate).  S-a sugerat de asemenea că termenul arab ar proveni din latinescul ''marmoreus'', însemnând ''mărmuriu''.  Până în 1570, cuvântul a intrat în limba engleză sub forma ''[[mohair]]''. Acesta a fost apoi adoptat în limba franceză ca ''mouaire'', și până în 1660 (în scrierile lui [[Samuel Pepys]]) a fost adoptat înapoi în limba engleză ca ''moire'' sau ''moyre''.  Între timp, franțuzescul ''mouaire'' s-a transformat într-un verb, ''moirer'', însemnând „a produce o textilă udă prin țesere sau presare”, care până în 1823 a dat naștere adjectivului ''moiré'' ({{IPA-fr|mwaˈʁe|}}). Din limba franceză termenul a fost preluat și în limba română sub forma „moar”. 
"Textilă udă" se referă la așezarea unei părți a textilei deasupra unei alte părți, și presarea celor două straturi atunci când sunt ude. Similitudinea spațierii firelor individuale (urzeala și bătătura), care este, totuși, o spațiere imperfectă, creează modele caracteristice atunci când straturile sunt presate laolaltă; când se usucă, modelele rămân.

== Formarea efectului ==

Efectele de moar sunt adesea [[artefact]]e nedorite ale [[imagine digitală|imaginilor]] produse  de variatele tehnici de [[Generarea imaginilor digitale|generare a imaginilor digitale]] și [[Grafică computerizată|infografică]], de exemplu la [[scanarea imaginilor|scanarea]] unei imagini în [[semiton]]uri sau [[Urmărirea razelor (infografică)|urmărirea razelor]] unui plan caroiat (ultima fiind un caz special de [[Dedublare (procesare de semnal)|aliasare]], din cauza [[Subeșantionare|subeșantionării]] unui model regulat fin).<ref>{{en icon}} [http://www.scantips.com/basics06.html Moarul în scanare], scantips.com. Accesat în iulie 2009</ref>  Această problemă poate fi depășită în maparea texturii prin folosirea [[Mapare mip|mapării mip]] și [[filtrare anizotropă|filtrării anizotrope]].

Desenul din dreapta sus ilustrează un efect de moar.  Liniile pot reprezenta fibrele din mătasea moarului, sau linii desenate pe hârtie ori pe ecranul unui calculator. Interacțiunea [[neliniar]]ă a formelor optice ale liniilor, creează o formă reală și vizibilă de benzi  de tonalitate închisă și deschisă aproximativ paralele, modelul moarului, suprapus pe linii.<ref>{{en icon}} {{cite book
| title = Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition („Metode de minimizare a energiei în vizualizarea computerizată și recunoașterea formelor”)
| author = Anil K. Jain, Mário Figueiredo și Josiane Zerubia (editori)
| publisher = Springer
| year = 2001
| url = http://books.google.com/books?visbn=3540425233&id=yb8otde21fcC&pg=RA1-PA198&lpg=RA1-PA198&dq=%22moire+pattern%22+nonlinear}}</ref>

[[Moar liniar|Moaruri liniare]] mai complexe apar dacă liniile sunt curbate sau nu chiar paralele. Moaruri care relevă forme complexe, sau secvențe de simboluri încorporate într-unul dintre starturi (ca forme comprimate repetate periodic) sunt create cu [[Moar formă|moarul formă]], numit și moar bandă. Una dintre cele mai importante proprietăți ale moarului formă este abilitatea sa de a mări forme mici de-a lungul uneia sau ambelor axe, adică, întinderea. Un exemplu bidimensional comun de efect de moar amplificator se ivește la privirea unei  [[Plasă de gard|plase de gard]] printr-o a doua plasă de gard de model identic.  Structura fină a modelului este vizibilă chiar și de la distanțe mari.

== Calcule ==
=== Moar de modele paralele ===
==== Abordare geometrică ====
{{Imagine dublă|right|Moire parallel.svg|160|Moire ecart angulaire.png|160|Modelele sunt suprapuse la jumătatea lățimii figurii|com-dr=Moar obținut prin suprapunerea a două modele similare rotite la un unghi α||}}
Să se considere două modele constituite din linii drepte [[paralelism|paralele]] și [[echidistant]]e, de exemplu, linii verticale. Distanțarea liniilor primului model este <math>p</math>, distanțarea liniilor celui de-al doilea este <math>p+\delta p</math>, unde <math>0 < \delta < 1</math>.

Dacă liniile modelelor sunt suprapuse în stânga figurii, decalajul dintre linii crește la deplasarea spre dreapta. După un număr dat de linii, modelele sunt opuse: liniile celui de-al doilea model se găsesc între liniile primului model. Privite de la distanță, induc senzația de zone palide atunci când liniile se suprapun, lăsând să se vadă spațiul alb dintre ele, și zone întunecate atunci când liniile sunt alăturate.

Mijlocul primei zone întunecate este acolo unde decalajul este egal cu <math>\frac{p}{2}</math>.  A <math>n</math><sup>-a</sup> linie a celui de-al doilea model este decalată cu <math>n \cdot \delta p</math> în comparație cu cea de-a <math>n</math><sup>-a</sup> linie a primei rețele. Mijlocul primei zone întunecate corespunde prin urmare cu
: <math>n \cdot \delta p = \frac{p}{2}</math>
adică
: <math>n = \frac{p}{2 \delta p}</math>.
Distanța ''d'' dintre mijlocul unei zone deschise și cel al uneia închise este
: <math>d = n \cdot p = \frac{p^2}{2 \delta p}</math>
distanța dintre mijloacele a două zone întunecate, care este de asemenea distanța dintre mijloacele zonelor deschise, este
: <math>2d = \frac{p^2}{\delta p}</math>
Din această formulă, se poate vedea că:
* cu cât este mai mare distanța dintre linii, cu atât este mai mare și distanța dintre zonele deschise și cele întunecate;
* cu cât este mai mare discrepanța <math>\delta p</math>, cu atât sunt mai apropiate zonele întunecate și cele deschise; o spațiere mare între zonele întunecate și cele deschise înseamnă că modelele au linii foarte apropiate.
Desigur, atunci când <math>\delta p = \frac{p}{2}</math>, se obține o figură gri uniformă, lipsită de contrast.

Principiul moarului este similar cu cel al funcționării [[vernier]]ului.

==== Abordare ca funcție matematică ====
[[File:Moiré grid.svg|thumb|upright|Model de moar (jos) creat prin suprapunerea a două grilaje (sus și mijloc)]]
Esența efectului de moar este percepția (preponderent vizuală) a unui celui de-al treilea model distinct cauzată de suprapunerea inexactă a două modele similare. Reprezentarea matematică a acestor modele nu se obține în mod obișnuit și poate fi oarecum arbitrară. În această secțiune, se va considera un exemplu matematic a două modele paralele a căror suprapunere produce un efect de moar, și se va arăta o modalitate (dintre multe modalități posibile) prin care aceste modele și efectul de moar pot fi redate pe cale matematică.

Vizibilitatea acestor modele este dependentă de mediul sau substratul în care apar, putând fi opace (cum ar fi pe hârtie) sau transparente (cum ar fi pe o filă de plastic). În scopul exemplificării se va presupune că cele două modele primare sunt fiecare tipărite în tonuri de gri pe foi albe, unde opacitatea (tonul de gri) părții tipărite este dată de o valuare situată între 0 (alb) și 1 (negru) inclusiv, cu 1/2 reprezentând griul neutru.  Orice valoare mai mică decât 0 sau mai mare decât 1, folosind această scară de griuri, este practic netipăribilă.  

De asemenea, opacitatea modelului rezultat din tipărirea unui model peste un altul într-un punct dat de pe hârtie, se va reprezenta convențional  ca media aritmetică a opacității fiecărui model la poziția respectivă, care este jumătate din suma lor și, după cum rezultă din calcul, nu depășește 1. Această opțiune nu este unică.  Oricare altă metodă de a combina funcțiile, care satisface cerința menținerii valorii funcției rezultante între limitele [0,1], este de asemenea acceptabilă. Media aritmetică deține însă virtutea simplității.

În continuare se va considera suprapunerea „tipăriturilor” a două modele în tonuri de gri aproximativ similare, variate [[sinusoidă|sinusoidal]], pentru a ilustra cum acestea produc un efect de moar mai întâi tipărind un model pe hârtie iar apoi tipărind celălalt model peste primul, păstrând axele de coordonate ale acestora în registru. Se reprezintă intensitatea griului din fiecare model printr-o funcție pozitivă a opacității definită de distanța de-a lungul unei direcții fixate (de exemplu, coordonata x) în planul hârtiei, sub forma

:  <math>f = \frac{1 + \sin(k x)}{2}</math>

unde prezența lui 1 menține funcția pozitiv definită, iar împărțirea la 2 previne valori ale funcției mai mari decât 1.  

Cantitatea <math>k</math> reprezintă variația periodică (adică frecvența spațială) a intensității griului modelului, măsurată ca numărul de cicluri de intensitate pe unitate de distanță. Din moment ce funcția sinusoidală este ciclică pentru schimbările de argument de <math>2 \pi</math>, incrementul distanței <math>\Delta x</math> pe ciclu de intensitate (lungimea de bandă) se obține când <math>k \Delta x = 2 \pi</math> sau <math>\Delta x = \frac{2 \pi}{k}</math>.    

Să se considere acum două astfel de modele unde una are o variație periodică puțin diferită față de cealaltă:

:  <math>f_1 = \frac{1 + \sin(k_1 x)}{2}</math>

:  <math>f_2 = \frac{1 + \sin(k_2 x)}{2}</math>

astfel încât <math>k_1 \approx k_2</math>.  

Media acestor două funcții, reprezentând imaginea tipărită suprapusă, se evaluează în modul următor: 

:  <math>f_3 = \frac{f_1 + f_2}{2}</math>

:  <math>= \frac12 + \frac{\sin(k_1 x) + \sin(k_2 x)}{4}</math>  

:  <math>= \frac{1 + \sin(A x) \cos(B x)}{2}</math>

de unde se poate deduce că

: <math>A = \frac{k_1 + k_2}{2}</math>

și

: <math>B = \frac{k_1 - k_2}{2}</math>.

Această medie a  funcției, <math>f_3</math>, se situează în mod clar în intervalul [0,1]. Din moment ce variația periodică <math>A</math> este media și prin urmare apropiată de <math>k_1</math> și <math>k_2</math>, efectul de moar este demonstrat distinctiv de către funcția înfășurătoare sinusoidală <math>\cos(B x)</math>, a cărei variație periodică este semidiferența variațiilor periodice ale <math>k_1</math> și <math>k_2</math> (și evident mult mai „lentă”).

Alte efecte de moar unidimensionale includ clasicul ton al frecvenței de bătaie care poate fi auzit atunci când două note pure de înălțime aproximativ identică sunt create simultan. Aceasta este o versiune acustică a efectului de moar într-o singură dimensiune temporală:  cele două note originale sunt încă prezente,  dar ascultătorul percepe două înălțimi care reprezintă media și semidiferența frecvențelor celor două note.  [[Dedublare (procesare de semnal)|Dedublarea]] în timpul eșantionării semnalelor variabile în timp, aparține de asemenea acestei paradigme a moarului.

Deși este răspândită impresia că efectul de moar rezultă din interferența dintre două modele suprapuse, [[Interferență|interferența]] (așa cum este înțeleasă în domeniul fizicii) necesită adunarea și ridicarea la pătrat a amplitudinilor de unde dinamice, iar aceste amplitudini suprapuse și produsele lor pot de asemenea avea valori negative.  Aceste atribute dinamice nu sunt niciodată prezente în modelele statice tipărite pe foi opace sau transparente care sunt suprapuse pentru a produce un efect de moar.  Aceasta înseamnă că cele două fenomene de suprapunere nu coincid.  Prin urmare efectul de moar nu este un fenomen de interferență real, chiar dacă aspectul său poate uneori părea similar imaginilor modelelor produse de combinarea (și interferența) undelor fizice luate la un oricare moment în timp.

=== Modele rotite ===
Să se considere două modele cu eceeași distanțare a liniilor <math>p</math>, dar al doilea model este întors la un anumit unghi <math>\alpha</math>. Văzute de la depărtare, se pot de asemenea observa linii întunecate și deschise: liniile deschise la culoare corespund cu [[Nod (fizică)|nodurile]], adică, linii care trec prin intersecțiile celor două modele.

Dacă se ia în considerare o celulă a „plasei”, se poate observa că celula respectivă este un [[romb]]: un [[paralelogram]] cu cele patru laturi egale cu <math>d = \frac{p}{\sin \alpha}</math>; (există un [[triunghi]] dreptunghic a cărui ipotenuză este  <math>d</math> iar latura opusă unghiului <math>\alpha</math> este <math>p</math>).

{{Imagine dublă|right|Moire calcul angle.png|160|Moire02.gif|160|Celulă unitate a „plasei”; „''ligne claire''” înseamnă „linie deschisă la culoare”|com-dr=Efect al schimbării unghiului.||}}

Liniile deschise corespund [[Diagonală|diagonalei]] mici a rombului. Având în vedere că diagonalele sunt [[bisectoare]]le laturilor alăturate, se poate observa că linia deschisă creează un unghi egal cu <math>\frac{\alpha}{2}</math> cu perpendiculara liniilor fiecărui model.

În plus, spațierea dintre două linii deschise este <math>D</math>, o jumătate a diagonalei mari. The Diagonala mare <math>2 D</math> este ipotenuza unui triunghi dreptunghic iar laturile acestuia sunt <math>d (1 + \cos \alpha)</math> și <math>p</math>. Prin [[teorema lui Pitagora]] se obține:
: <math>(2 D)^2 = d^2 (1 + \cos \alpha)^2 + p^2</math>
și anume
:<math>(2D)^2 = \frac{p^2}{\sin^2 \alpha}(1+ \cos \alpha)^2 + p^2
= p^2 \cdot \left ( \frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} + 1\right )</math>
prin urmare
:<math>(2D)^2 = 2 p^2 \cdot \frac{1+\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}</math> sau <math>D = \frac{p}{2} / \sin\frac{\alpha}{2}</math>.

{{Imagine dublă|right|Moire Circles.svg|150|Moire Lines.svg|150|Efect asupra liniilor curbe|||}}

Atunci când <math>\alpha</math> este foarte mic (<math>\alpha < \frac{\pi}{6}</math>), pot fi efectuate următoarele aproximații:
: <math>\sin \alpha \approx \alpha</math>
: <math>\cos \alpha \approx 1</math>
prin urmare
: <math>D \approx \frac{p}{\alpha}</math>.

Se poate observa că cu cât este mai mic <math>\alpha</math>, cu atât sunt mai depărtate liniile deschise; când ambele modele sunt paralele (<math>\alpha = 0</math>), spațierea dintre liniile descise este „infinită” (nu există linii deschise).

Există prin urmare două modalități de a determina <math>\alpha</math>: prin orientarea liniilor deschise și prin spațierea lor
: <math>\alpha \approx \frac{p}{D}</math>
Dacă se optează pentru măsurarea unghiului, eroarea finală este proporțională cu eroarea măsurătorii. Dacă se optează pentru măsurarea spațierii, eroarea finală este proporțională cu inversul spațierii. Așadar, pentru unghiurile mici, cea mai bună opțiune este măsurarea spațierii.

== Implicații și aplicații ==

=== Tipărirea imaginilor color ===
[[File:BeatTrackMoirePattern.ogg|thumb|Rezultatul a două „piste de bătăi” cu viteze puțin diferite suprapuse, producând un efect de moar audibil; dacă bătăile de pe o pistă corespund cu locul în spațiu în care există un punct sau linie negre iar bătăile de pe cealaltă pistă corespund cu punctele din spațiu unde o cameră eșantionează lumina, deoarece frecvențele nu sunt exact aceleași și aliniate perfect împreună, bătăile (sau eșantioanele) se lor alinia foarte aproape la un anumit moment în timp și departe în alte momente. Cu cât sunt mai apropiate bătăile, cu atât mai întunecat va fi acel loc, cu cât sunt mai depărtate, cu atât mai deschis. Rezultatul este periodic în același mod precum un efect de moar vizual. A se vedea: [[Fazor]].]]
În [[Grafică|artele grafice]] și [[prepresă]], tehnologia obișnuită pentru tipărirea imaginilor color implică suprapunerea ecranelor [[semiton]]. Acestea sunt modele punctate rectangulare obișnuite—adesea în număr de patru, tipărite în cyan (albastru primar), galben, magenta (roșu primar) și negru. Efectul de moar într-o anumită măsură este inevitabil, dar în circumstanțe favorabile moarul este „strâns”, adică, frecvența spațială a moarului este atât de înaltă încât este insesizabil. În grafică, termenul de „moar” desemnează un efect de moar ''vizibil în mod excesiv''. Parte din procesul prepresei care implică imaginile, constă în selectarea unghiurilor ecranelor și frecvențele semitonurilor care minimizează moarul. Vizibilitatea moarului nu este pe de-a-ntregul predictibilă. Același set de ecrane pot produce rezultate bune în cazul anumitor imagini, dar moaruri vizibile în cazul altora.

În [[fabricație]], aceste modele sunt folosite pentru studierea [[Deformare (mecanică)|deformărilor]] microscopice în materiale: prin deformarea unui grilaj în raport cu un grilaj de referință și măsurarea efectului de moar, pot fi deduse nivelurile de tensiune. Această tehnică este atractivă deoarece scara efectului de moar este mult mai mare decât abaterea care o cauzează, facilitând măsurătorile.

=== Ecrane de televizor și fotografii ===
{{Imagine dublă|right|Moire on parrot feathers.jpg|250|Moiré fringes IMG 3712.jpg|250|Penajul acestui papagal prezintă un puternic efect de moar (a se vedea imaginile la mărime întreagă)|com-dr=Efect de moar observabil la o cușcă din Grădina Zoologică din San Francisco ||}}
Efectul de moar poate fi observat adesea pe ecranul televizoarelor atunci când o persoană poartă un element de vestimentație cu un anumit model grafic, cum ar fi o jachetă cu imprimeu [[Pied de poule|pepit]]. Aceasta se datorează baleiajului alternat (sau întrețesut/intercalat/interliniat) în televizoare și camerele fără film, numit [[Baleiaj alternat#Scânteiere interliniară|scânteiere interliniară]].  Odată cu mișcarea pesoanei, vizibilitatea efectului de moar devine totmai pronunțată.  Ca urmare a acestui fapt, prezentatorii de știri și alți oameni de televiziune sunt instruiți să evite vestimentația care ar putea produce acest efect.

Fotografiile ecranelor de [[televizor]] realizate cu o [[cameră digitală]] adesea prezintă efect de moar.

=== Navigație marină ===
Moarul este folosit la balizele plutitoare pentru a marca pericole subacvatice (de obicei țevi sau cabluri).<ref>{{en icon}}{{cite web |author=Alexander Trabas |url=http://www.online-list-of-lights.info/html/enleuchtfeuer.html |title=Balize |publisher=Online-list-of-lights.info |date= |accessdate=2012-10-30 |archive-date=2012-03-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120309221237/http://www.online-list-of-lights.info/html/enleuchtfeuer.html |dead-url=yes }}</ref> Efectul de moar creează săgeți care indică spre o linie imaginară ce marchează pericolul; în timp ce navigatorii trec pe deasupra pericolului, săgețile de pe balize par să devină benzi verticale, schimbându-se ulterior înapoi în săgeți care indică direcția opusă. Un exemplu poate fi găsit în [[Regatul Unit|RU]] pe țărmul estic al [[Southampton]]ului, pe partea opusă rafinăriei petroliere Fawley ({{coord|50|51|21.63|N|1|19|44.77|W|type:landmark_region:GB|display=inline}}). Balize cu moar similare pot fi folosite pentru ghidarea marinarilor către punctul central al unui pod; atunci când vasul este aliniat cu linia centrală, sunt vizibile linii verticale.

=== Măsurarea deformării ===
[[Fișier:Moire extensometrie.png|thumb|Utilizarea efectului de moar în măsurarea deformării: cazul tracțiunii uniaxiale (sus) și forfecare pură (jos); liniile modelelor sunt inițial orizontale în ambele cazuri]]

Efectul de moar poate fi folosit în măsurarea [[Deformare (mecanică)|deformării]] materialelor: operatorul trebuie decât să deseneze un model pe obiect și să suprapună modelul de referință peste modelul [[Deformare (inginerie)|deformat]] de pe obiectul deformat.

Un efect similar poate fi obținut prin suprapunerea unei imagini [[hologramă|holografice]] a obiectului peste însuși obiectul respectiv: holograma este distanțarea de referință, iar diferența cu obiectul o reprezintă deformările, care apar ca linii deschise și întunecate alternante.

''A se vedea și: [[teoria elasticității]], [[tensor de deformare]] și [[interferometrie holografică]].''

=== Procesarea imaginilor ===
Unele [[Program (informatică)|programe]] ale [[driver]]elor [[scaner]]elor furnizează un [[filtru (informatică)|filtru]] opțional, numit filtru de „dezecranare”, pentru îndepărtarea artefactelor efectului de moar care ar fi produse altfel la scanarea imaginilor semiton tipărite, în vederea creării de imagini digitale.<ref>{{en icon}}[http://www.scantips.com/basics6c.html Scanarea imaginilor din reviste/cărți/ziare] la scantips.com; Accesat la 22 aprilie 2010.</ref>

=== Bancnote ===
Multe monede de schimb exploatează tendința scanerelor digitale de a produce efecte de moar, incluzând modele unduite sau circulare fine care sunt susceptibile producerii efectului de moar atunci când sunt scanate și tipărite.

=== Animație ===
Efectul de moar poate fi folosit și pentru animarea imaginilor. Un strat de acetat conținând dungi verticale este plasat peste imagine și deplasat încet de la dreapta la stânga. Aceste animații sunt vândute în seturi sub numele comercial Scanimation. Au fost inventate de Rufus Butler Seder,<ref>{{en icon}} http://scanimationbooks.com/about-scanimation/</ref> și patentate în 2006 sub patentul SUA cu numărul 7151541.<ref>{{en icon}} http://www.archpatent.com/patents/7151541 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131113012040/http://www.archpatent.com/patents/7151541 |date=2013-11-13 }}</ref>

=== Microscopie de superrezoluție ===
Efectul de moar poate fi folosit pentru obținerea imaginilor cu rezoluție mai mare decât limita de difracție folosind o tehnică numită [[Microscopie de superrezoluție|microscopie cu iluminare structurată]].

== Vezi și ==
* [[Dedublare (procesare de semnal)|Zimțuire]]
* [[Pixel senzitiv la unghi]]
* [[Frecvență de bătaie]]
* [[Hârtie Kan't Kopy]]
* [[Eșantionare multidimensională]]

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{commons|Moiré pattern|efectul de moar}}
*{{en icon}} [http://www.pip-dickens.com/moire.html O serie de picturi în ulei bazate pe principiul efectuluide moar ale artistului britanic, Pip Dickens] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150315155426/http://www.pip-dickens.com/moire.html |date=2015-03-15 }}
*{{en icon}} [http://www.mathematik.com/Moire/ O demonstrație a efectului de moar care apare la interferența dintre cercuri]
*{{en icon}} [http://www.kirl.nl/moireGen.swf Un exemplu interactiv de variate moaruri] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110724154923/http://www.kirl.nl/moireGen.swf |date=2011-07-24 }}.
[[Categorie:Tipărire]]
[[Categorie:Geometrie]]
[[Categorie:Interferență]]
[[Categorie:Modele grafice]]