Vizualizare sursă pentru „Micul dodecaedru stelat”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Micul dodecaedru stelat
| image_up = Small stellated dodecahedron.png
| caption = 
| type = [[poliedru Kepler–Poinsot]]
| euler = &minus;6
| faces = 12
| edges = 30
| vertices = 12
| vertex_config = V(5<sup>5</sup>)/2
| schläfli = {{{frac|5|2}},5}
| wythoff = 5 &#124; 2 {{frac|5|2}}
| coxeter = {{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
| symmetry = I<sub>h</sub>, H<sub>3</sub>, [5,3], (*532)
| rotsymmetry = I, [5,3]<sup>+</sup>, (532)
| surface_area = 
| volume = 
| angle = 
| dual = [[Marele dodecaedru]]
| properties = [[Poliedru regulat |regulat]], [[Politop convex |neconvex]]
| vertex_figure = Small stellated dodecahedron_vertfig.png
| net = Small Stellated Dodecahedron Net.svg
}}
<!-- legendă fig vârfului: ({{frac|5|2}})<sup>5</sup> -->
În [[geometrie]] '''micul dodecaedru stelat''' este un [[poliedru Kepler–Poinsot]], care a fost numit astfel de [[Arthur Cayley]]. Este unul dintre cele patru [[poliedru regulat |poliedre regulate]] [[convexitate |neconvexe]]. Este compus din 12 fețe pentagramice, cu cinci [[pentagramă |pentagrame]] care se întâlnesc în fiecare [[vârf (geometrie)|vârf]], ca urmare [[simbol Schläfli |simbolul său Schläfli]] este {{{frac|5|2}},5}. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are aceeași [[configurația vârfului |configurație a vârfului]] ca și [[icosaedru]]l regulat convex. De asemenea, are aceeași [[configurația feței |configurație a feței]] cu [[marele icosaedru]], cu care formează [[marele icosidodecaedru complex]], o [[figură geometrică |figură]] compusă [[poliedru uniform |uniformă]] [[degenerare (matematică) |degenerată]].

Este „a doua” [[stelare]] a [[dodecaedru]]lui (în lista care începe cu dodecaedrul însuși).

Micul dodecaedru stelat poate fi construit la fel cu pentagrama, analoaga sa [[bidimensional]]ă, prin extinderea [[latură (geometrie) |laturilor]] (1-[[față (geometrie) |fețelor]]) nucleului politopic, care este un dodecaedru regulat, până când ajung în punctele în care se intersectează.

==Topologie==
Dacă cele cinci triunghiuri de pe fețele pentagramice aflate în jurul fiecărui vârf sunt considerate ca fiind 5 [[fațetă (geometrie) |fațete]], el are aceeași topologie a suprafeței ca și [[dodecaedru pentakis |dodecaedrul pentakis]], dar cu fețe [[triunghi isoscel |triunghiulare isoscele]] mult mai înalte, cu [[înălțime  (geometrie) |înălțimea]] [[piramidă pentagonală |piramidelor pentagonale]] ajustată astfel încât cele cinci triunghiuri din pentagramă să devină [[coplanaritate |coplanare]]. Unghiul critic deasupra feței dodecaedrului este atan(2).

Dacă se consideră fețele ca 12 pentagrame, acestea având 30 de laturi și 12 vârfuri, se poate calcula [[gen (matematică) |genul]] ''g'' cu [[caracteristică Euler |formula lui Euler]]
:<math>V - E + F = 2 - 2g</math>
și trage concluzia că micul dodecaedru stelat este de genul 4. Această observație, făcută de [[Louis Poinsot]], a fost inițial confuză, dar [[Felix Klein]] a arătat în 1877 că micul dodecaedru stelat poate fi văzut ca o [[acoperire ramificată]] a [[Sfera Riemann|sferei Riemann]] de o {{ill-wd| Q753035||suprafață Riemann}} din genul 4, cu {{ill-wd| Q2625091||puncte de ramificare}} în centrul fiecărei pentagrame. De fapt, această suprafață Riemann, numită '''[[curba lui Bring]]''', are cel mai mare număr de simetrii, care acționează ca automorfisme, dintre toate suprafețele Riemann din genul 4: {{ill-wd| Q849512||grupul simetric}} <math>S_5</math>.<ref>{{en icon}} {{cite news | first=Matthias | last=Weber | title= Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface| journal = Pacific J. Math.| volume = 220| year=2005 | pages=167–182 }} [http://msp.org/pjm/2005/220-1/p09.xhtml pdf]</ref>

== Imagini ==
{| class=wikitable width=480 style="valign:top;"
!Model transparent
!colspan=2|Modele realizate manual
|-
|style="text-align:center;"|[[Fișier:SmallStellatedDodecahedron.jpg|160px]]<br>([[Media:SmallStellatedDodecahedron.gif|animație]])
|[[Fișier:Small Stellated Dodecahedron 1.jpg|160px]]
|[[Fișier:Small Stellated Dodecahedron 2.jpg|160px]]
|-
![[Pavare sferică]]
![[Stelare]]
![[Desfășurată]]
|-
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron tiling.png|160px]]<br/>Acest poliedru reprezintă și o pavare sferică cu o [[densitate (politop) |densitate]] de 3. (O față pentagramă sferică, conturată cu albastru, umplută cu galben)
|[[Fișier:First stellation of dodecahedron facets.svg|160px]]<br/> De asemenea, poate fi construit ca prima dintre cele trei stelări ale dodecaedrului, menționată ca modelul Wenninger [W20]
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron net.png|160px]]<br/>Poate fi construit din hârtie sau carton prin conectarea a 12 piramide isoscele cu cinci laturi la fel ca pentagoanele dintr-un dodecaedru regulat. Cu un material opac, acesta prezintă porțiunea exterioară a fiecărei fețe pentagramice.
|}
== În artă ==
[[Fișier:Marble floor mosaic Basilica of St Mark Vencice.jpg|thumb|Mozaicul din pavaj de Paolo Uccello]]
Un mic dodecaedru stelat poate fi văzut într-un [[mozaic]] pe podeaua din [[Bazilica Sfântul Marcu din Veneția]] de [[Paolo Uccello]], circa 1430.<ref>{{en icon}} {{cite book|contribution=Regular and semiregular polyhedra|first=H. S. M.|last=Coxeter|author-link= Harold Scott MacDonald Coxeter|pages=41–52|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination|edition=2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|publisher=Springer|year=2013|doi=10.1007/978-0-387-92714-5_3}} See in particular p. 42.</ref> Aceeași formă este centrală în două [[litografie |litografii]] de [[M. C. Escher]]: ''Contrast (Ordinea și haosul)'' (1950) și ''{{ill-wd|Q5597990|Gravitație (M. C. Escher)|}}'' (1952).<ref>{{en icon}} {{cite book|title=Gems of Geometry|edition=2nd|first=John|last=Barnes|publisher=Springer|year=2012|page=46}}</ref> Figura ilustrează și coperta ediției în limba română din 1961 a cărții lui Hugo Steinhaus, ''Caleidoscop matematic''.<ref>Hugo Steinhaus, ''Caleidoscop matematic'', București: Ed. Tehnică, 1961</ref>

== Poliedre înrudite ==
[[Fișier:Small stellated dodecahedron truncations.gif|thumb|Trunchiere animată de la {<nowiki/>{{frac|5|2}}, 5} la {5, {{frac|5|2}}}]]
[[Anvelopă convexă |Anvelopa sa convexă]] este icosaedrul convex regulat. De asemenea, are laturile în comun cu [[marele icosaedru]]; compusul ambelor este [[marele icosidodecaedru complex]].

Există patru poliedre uniforme înrudite, construite ca grade de [[trunchiere (geometrie) |trunchiere]]. Dualul este [[marele dodecaedru]]. [[Dodecadodecaedru]]l este o [[rectificare (geometrie) |rectificare]], în care laturile sunt trunchiate la puncte.

''Micul dodecaedru stelat trunchiat'' poate fi considerat un [[poliedru uniform]] [[degenerare (matematică) |degenerat]] deoarece laturile și vârfurile coincid, dar sunt incluse pentru a fi complet. Vizual, arată ca un dodecaedru regulat, dar are 24 de fețe în perechi suprapuse. [[Apex (geometrie) |Apexurile]] piramidelor pentagonale sunt trunchiate până când ajung în planul pentagramei de sub ele. Cele 24 de fețe sunt 12 [[pentagon |pentagoane]] de la vârfurile trunchiate și 12 decagoane, luând forma unor pentagoane dublu înfășurate care se suprapun pe primele 12 pentagoane. Aceste din urmă fețe sunt formate prin trunchierea pentagramelor originale. Când un {<nowiki/>{{frac|''n''|''d''}}}-gon este trunchiat, acesta devine un {<nowiki/>{{frac|2''n''| ''d''}}}-gon. De exemplu, un pentagon trunchiat {<nowiki/>{{frac|5|1}}} devine un decagon {<nowiki/>{{frac|10|1}}}, deci trunchiind o pentagramă {<nowiki/>{{frac|5|2}}}, ea devine un pentagon dublu înfășurat {<nowiki/>{{frac|10|2}}} (factorul comun între 10 și 2 înseamnă că pentru a finaliza poligonul se trece de două ori prin fiecare vârf).
{| class="wikitable" width=500 style="text-align:center;"
!Nume
![[Micul dodecaedru stelat]]
!Micul dodecaedru stelat trunchiat
![[Dodecadodecaedru|Dodeca-<br/>dodecaedru]]
!Marele dodecaedru trunchiat
![[Marele dodecaedru]]
|-
![[Diagramă Coxeter–Dynkin]]
|{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
|{{CDD|node|5|node_1|5|rat|d2|node_1}}
|{{CDD|node|5|node_1|5|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|5|node_1|5|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node}}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecadodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Great truncated dodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Great dodecahedron.png|100px]]
|}

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | title=Polyhedron Models | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1974 | isbn=0-521-09859-9 }}
* {{en icon}} {{citation | first=Matthias | last=Weber | title= Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface| journal = Pacific J. Math.| volume = 220| year=2005 | pages=167–182 |url=http://msp.org/pjm/2005/220-1/p09.xhtml | doi=10.2140/pjm.2005.220.167| doi-access=free }}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]
* [[Compus de micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru]]
* [[Compus de două mici dodecaedre stelate]]
* [[Compus de cinci mici dodecaedre stelate]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld|url=SmallStellatedDodecahedron |title=Small stellated dodecahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld|url=UniformPolyhedron |title=Uniform polyhedron}}
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/sissid.htm sissid]'''
{{Poliedre neconvexe}}

[[Categorie:Poliedre Kepler–Poinsot]]