Vizualizare sursă pentru „Micul cubicuboctaedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Micul cubicuboctaedru
| image_up = Small cubicuboctahedron.png
| caption = ([[:Fișier:Small cubicuboctahedron.stl|model 3D]])
| type = [[poliedru uniform]] neconvex
| euler = −4
| faces = 20 (8 [[triunghi]]uri,<br/> &nbsp; &nbsp; &nbsp; 6 [[pătrat]]e,<br/> &nbsp; &nbsp; &nbsp;  6 [[octogon |octogoane]])
| edges = 48
| vertices = 24
| vertex_config = 4.8.3/2.8<ref name=mc/>
| schläfli =
| wythoff = 3/2 4 &#124; 4<ref name=mc/> sau 3 4/3 &#124; 4
| coxeter = {{CDD|label4-3|branch_10ru|split2-43|node_1}}
| symmetry = O<sub>h</sub>, [4,3], (*432) <ref name=mc/>
| rotsymmetry = O, [4,3]<sup>+</sup>, (432)
| surface_area = 
| volume = &approx;5,771 {{mvar|a}}<sup>3</sup> &nbsp; ({{mvar|a}} = latura)
| angle = 
| dual = micul icositetraedru hexacronic
| properties = [[Poliedru uniform |uniform]], [[Politop convex |neconvex]]
| vertex_figure = Small cubicuboctahedron vertfig.png
| net =
}}
În [[geometrie]] '''micul cubicuboctaedru''' este un [[poliedru stelat uniform]], cu indicele U<sub>13</sub>. Are 20 de [[față (geometrie) |fețe]] (8 [[triunghi]]uri, 6 [[pătrat]]e și 6 [[octogon |octogoane]]), 48 de [[latură (geometrie) |laturi]] și 24 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]].<ref name=mc>{{en icon}} {{Cite web|url=https://www.mathconsult.ch/static/unipoly/13.html |title=13: small cubicuboctahedron |last=Maeder |first=Roman |date= |website=MathConsult |url-status=live |archive-url= |archive-date=|access-date=2023-10-02}}</ref> Fețele pătrate și fețele octogonale sunt paralele cu cele ale unui [[cub]], în timp ce fețele triunghiulare sunt paralele cu cele ale unui [[octaedru]], de unde și numele de ''cubicuboctaedru''. Prefixul ''mic'' servește să-l deosebească de [[marele cubicuboctaedru]], care are și el fețele în direcțiile menționate mai sus.<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=https://www.software3d.com/GreatCubicubocta.php|title=Great Cubicuboctahedron|last=Webb|first=Robert|date=|website=Stella: Polyhedron Navigator}}</ref> Avînd 20 de fețe este un tip de icosaedru.

Este reprezentat prin [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagramele Coxeter–Dynkin]] {{CDD|label4-3|branch_10ru|split2-43|node_1}}. [[Figura vârfului]] este un [[antiparalelogram |patrulater autointersectat]]. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are [[simbol Wythoff |simbolul Wythoff]] 3/2 4 &#124; 4.<ref name=mc/>

== Mărimi asociate ==
=== Coordonate carteziene ===
Având același aranjament al vârfurilor cu [[rombicuboctaedru]]l, [[coordonate carteziene |coordonatele carteziene]] ale [[vârf (geometrie) |vârfurilor]], centrat în [[origine (matematică) |origine]], cu lungimea laturii de 2, sunt toate [[permutare |permutările]] ale
:<math>\left(\,\pm1,\, \pm1,\, \pm(1 + \sqrt2)\,\right).</math>

=== Volum ===
Următoarea formulă pentru [[volum]] {{mvar|V}} este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) {{mvar|a}}:
:<math>V = \frac23({3+4\sqrt2})\,a^3 \approx 5,771236~a^3.</math>

== Poliedre înrudite ==
Are în comun [[aranjamentul vârfurilor]] cu [[hexaedru trunchiat stelat |hexaedrul trunchiat stelat]]. În plus, are în comun [[aranjamentul laturilor]] cu [[rombicuboctaedru]]l convex (având 6 fețe pătrate în comun) și cu [[micul rombihexaedru]] (având fețele octogonale în comun).

{| class="wikitable" width="400" style="text-align:center"
|- valign=top
| [[Fișier:Small rhombicuboctahedron.png|100px]]<br/>[[Rombicuboctaedru]]
| [[Fișier:Small cubicuboctahedron.png|100px]]<br/>'''Micul cubicuboctaedru'''
| [[Fișier:Small rhombihexahedron.png|100px]]<br/>[[Micul rombihexaedru]]
| [[Fișier:Stellated truncated hexahedron.png|100px]]<br/>[[Hexaedru trunchiat stelat |Hexaedrul trunchiat stelat]]
|}

[[Fișier:DU13 small hexacronic icositetrahedron.png|thumb|Dual: Micul icositetraedru hexacronic]]
=== Poliedru dual ===
Dualul său este [[micul icositetraedru hexacronic]].<ref>{{en icon}} {{Citation | last1=Wenninger | first1=Magnus | author1-link=Magnus Wenninger | title=Dual Models | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 | year=1983 | doi=10.1017/CBO9780511569371}}</ref>

== Pavări înrudite ==
[[Fișier:Uniform tiling 443-t01.png|thumb|left|Pavarea 3 4 &#124; 4 este pavarea universală de acoperire a micului cubicuboctaedru.<br/>
<small>(În această pavare culorile roșu și galben sunt inversate față de colorarea poliedrului.)</small>]]

După cum sugerează [[caracteristică Euler |caracteristica Euler]], micul cubicuboctaedru este un [[poliedru toroidal]] de [[gen (matematică) |genul]] 3 (topologic este o suprafață din genul 3), prin urmare poate fi interpretat ca o {{ill-wd| Q574523|imersiune (matematică) |imersiune poliedrică}} a unei suprafețe poliedrice de genul 3, în complementul celor 24 de vârfuri ale sale, în [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]]. (O [[vecinătate (matematică) |vecinătate]] a oricărui vârf este din punct de vedere topologic un con pe o 8-figură, care nu poate apărea într-o imersiune. Referința Richter trece cu vederea acest fapt.) Poliedrul subiacent (ignorând autointersectările) definește o [[pavare uniformă]] a acestei suprafețe, deci micul cubicuboctaedru este un [[poliedru uniform]]. În limbajul [[politop abstract |politopurilor abstracte]], micul cubicuboctaedru este o ''realizare fidelă'' a acestui poliedru toroidal abstract, adică este un poliedru nedegenerat, cu același [[grup de simetrie]]. De fapt, orice automorfism al suprafeței abstracte de genul 3 cu această pavare este realizat printr-o [[izometrie]] a spațiului euclidian.

Suprafețele de genuri superioare (genul 2 sau mai mare) admit o metrică cu [[curbură constantă]] negativă (prin {{ill-wd| Q2109761||teorema de uniformizare}}), iar acoperirea universală a {{ill-wd| Q753035||suprafeței Riemann}} rezultate este [[geometrie hiperbolică |planul hiperbolic]]. {{ill-wd| Q7885120 ||Pavarea corespunzătoare din planul hiperbolic}} are [[figura vârfului]] 3.8.4.8 (triunghi, octogon, pătrat, octogon). Dacă suprafeței i se dă metrica corespunzătoare curburii = −1, acoperirea este o izometrie locală și, prin urmare, figura ''abstractă'' a vârfului este aceeași. Această pavare poate fi indicată prin simbolul Wythoff 3 4 | 4.
[[Fișier:Order-7 triangular tiling.svg|thumb|left|Micul cubicuboctahedron poate fi văzut și ca o imersiune poliedrică (o colorare) a {{ill-wd| Q977499 ||cuarticii Klein}},<ref name="tiling"/> care este o variantă de [[pavare triunghiulară de ordinul 7]]]] 
Alternativ și mai subtil, divizând fiecare față pătrată în 2 triunghiuri și fiecare față octogonală în 6 triunghiuri, micul cubicuboctaedru poate fi interpretat ca o ''colorare'' neregulată a pavării combinatoric ''regulate'' (nu doar ''uniforme'') a suprafeței de genul 3 cu 56 de triunghiuri echilaterale, care se întâlnesc câte 7 în fiecare din cele 24 de vârfuri.<ref name="tiling">Richter, de observat că fiecare față a poliedrului este formată din mai multe fețe în pavare, de unde descrierea drept ''colorare''&nbsp;— două fețe triunghiulare formează o față pătrată etc.</ref> Această pavare regulată este semnificativă, deoarece este o pavare a cuarticei Klein, suprafața de genul 3 cu cea mai simetrică metrică (automorfismele acestei pavări sunt la fel cu izometriile suprafeței) și grupul de automorfism care conservă orientarea acestei suprafețe este izomorf cu {{ill-wd| Q2997419||grupul liniar special proiectiv}} PSL(2,7), echivalent cu GL(3,2) (grupul de ordinul 168 al tuturor izometriilor care conservă orientarea). De observat că micul cubicuboctaedrul ''nu'' este o realizare a acestui poliedru abstract, deoarece are doar 24 de simetrii care conservă orientarea (nu orice automorfism abstract este realizat printr-o izometrie euclidiană)&nbsp;— izometriile micului cubicuboctaedru conservă nu numai pavarea triunghiulară, ci și colorarea, prin urmare sunt un subgrup propriu al grupului complet de izometrie.

Pavarea corespunzătoare a planului hiperbolic (acoperirea universală) este [[pavare triunghiulară de ordinul 7 |pavarea triunghiulară de ordinul 7]]. Grupul de automorfism al cuarticii Klein poate fi mărit (printr-o simetrie care nu se realizează printr-o simetrie a poliedrului, și anume interschimbând cele două capete ale laturilor care divid pătratele și octaedrele) pentru a rezulta {{ill-wd| Q934200||grupul Mathieu}} M<sub>24</sub>.<ref>Richter</ref>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation | first = David A. | last = Richter | url = http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm | title = How to Make the Mathieu Group M<sub>24</sub> | accessdate = 2010-04-15 | archive-date = 2010-01-16 | archive-url = https://web.archive.org/web/20100116050402/http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm | dead-url = yes }}

== Vezi și ==
* [[Compus de cinci mici cubicuboctaedre]]
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = SmallCubicuboctahedron| title = Small cubicuboctahedron}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/ Uniform polyhedra and duals]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/socco.htm socco]'''
{{Poliedre neconvexe}}

[[Categorie:Poliedre uniforme]]