Vizualizare sursă pentru „Marea antiprismă”

{{Infocaseta 4-politop
| nume = Marea antiprismă
| image = Grand antiprism.png
| img_dim =
| Antet = ([[Diagramă Schlegel]], cadru de sârmă)
| Type = [[4-politop uniform]]
| Schläfli =
| CD =
| Cell_List = 100+200 de [[tetraedru |tetraedre]] [[Fișier:Tetrahedron.png|20px]]<br/>20 de [[antiprismă pentagonală |antiprisme pentagonale]] [[Fișier:Pentagonal antiprism.png|20px]]
| Face_List = 20 de [[pentagon |pentagoane]]<br/>700 de [[triunghi echilateral |triunghiuri echilaterale]]
| Edge_Count = 500
| Vertex_Count = 100
| Vertex_Figure = [[Fișier:Grand antiprism verf.png|100px]]<br/>&nbsp; &nbsp;[[sfenocoroană]]
| Petrie_Polygon =
| Coxeter_Group =
| Symmetry_Group = grup Coxeter diminuat ionic [[10,2<sup>+</sup>,10]] ordin 400
| Dual =
| Property_List = [[Politop convex |convex]], uniform pe vârfuri
| Index = 47
}}
În [[geometrie]] '''marea antiprismă''' sau '''antiprismoidul dublu pentagonal''' (nume propus de [[Norman Johnson]]) este un [[politop]] [[cvadridimensional]], delimitat de 320 de [[celulă (geometrie) |celule]]: 20 de [[antiprismă pentagonală |antiprisme pentagonale]] și 300 de [[tetraedru |tetraedre]]. Este un [[4-politop uniform]], newythoffian, anormal, descoperit în 1965 de [[John Horton Conway|Conway]] și [[Michael Guy|Guy]].<ref>{{en icon}} [[John Horton Conway|J.H. Conway]], [[Michael Guy]], ''Four-Dimensional Archimedean Polytopes'', Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965</ref><ref>Conway, 2008, p.402-403 The Grand Antiprism</ref> Din punct de vedere topologic, în cea mai mare [[simetrie]] a sa, antiprismele pentagonale au simetria ''D<sub>5d</sub>'' și există două tipuri de tetraedre, unul cu simetrie ''S<sub>4</sub>'' și celălalt cu simetrie ''C<sub>s</sub>''.

== Structură ==
20 de antiprisme pentagonale apar înlănțuite în două inele disjuncte de câte 10 antiprisme fiecare. Antiprismele din fiecare inel sunt unite între ele prin fețele lor pentagonale. Cele două inele sunt reciproc [[perpendicularitate |perpendiculare]], într-o structură asemănătoare unei [[duoprismă |duoprisme]].

[[Fișier:100 tets.jpg|thumb|left|100 de tetraedre într-o rețea de 10×10 care formează limita {{ill-wd| Q5133090||torului Clifford}} în [[600-celule]] și marea antiprismă]]
[[Fișier:Grand antiprism net.png|thumb|upright=1.45|[[Desfășurată |Desfășurata]], prezentând două inele disjuncte de câte 10 [[antiprismă |antiprisme]] (albastre). 200 de [[tetraedru |tetraedre]] (cele galbene) au [[față (geometrie) |fețele]] în contact cu antiprismele, iar 100 de tetraedre (cele roșii) sunt în contact doar cu alte tetraedre.]]Cele 300 de tetraedre unesc cele două inele unul cu celălalt și sunt așezate într-un aranjament [[bidimensional]] echivalent [[topologie |topologic]] cu un [[tor |2-tor]] și cresta unui [[duocilindru]]. Acestea pot fi împărțite în continuare în trei seturi. Fețele a 100 dintre ele sunt în contact cu unul dintre inelele de antiprisme, fețele altor 100 sunt în contact cu celălalt inel, iar restul de 100 sunt centrate exact la mijlocul duocilindrului și [[latură (geometrie) |laturile]] lor sunt în contact cu ambele inele. Acest din urmă set formează un tor plat, care poate fi „[[desfășurată |desfășurat]]” într-o [[rețea pătrată]] plată de tetraedre de 10×10 care se întâlnesc doar pe laturi sau [[vârf (geometrie) |vârfuri]].

În plus, cele 300 de tetraedre pot fi împărțite în 10 [[elice Boerdijk–Coxeter]] de câte 30 de celule fiecare care se împletesc. Cele două inele de antiprisme pentagonale, plus cele 10 elice Boerdijk–Coxeter formează un {{ill-wd| Q1627604||fibrat Hopf}} discret neregulat al marii antiprisme, care se aplică pe fețele fiecărei antiprisme pentagonale. În cele două inele de antiprisme, antiprismele sunt în contact pe fețele lor pentagonale, iar cele 10 elice Boerdijk–Coxeter vin în contact fiecare cu câte una din cele 10 fețe triunghiulare ale antiprismelor.

Structura marii antiprisme este analogă cu cea a antiprismelor [[tridimensional]]e. Totuși, marea antiprismă este singurul analog cvadridimensional uniform convex al antiprismei (deși [[16-celule]] poate fi privit ca un analog regulat al ''antiprismei digonale''). Singurul analog cvadridimensional uniform neconvex al antiprismei are antiprisme pentagramice autointersectate în loc de antiprisme pentagonale și se numește ''antiprismoid dublu pentagramic''.

== Figura vârfului ==
[[Figura vârfului]] a marii antiprisme este o [[sfenocoroană]]: un [[icosaedru |icosaedru regulat]] cu două vârfuri adiacente eliminate. În locul lor, 8&nbsp;triunghiuri sunt înlocuite cu o pereche de [[trapez]]e, cu lungimea laturilor în [[raport]]urile {{math|''φ'':1:1:1}} (unde {{mvar|φ}} este [[secțiunea de aur]]), unite împreună de-a lungul laturii lor de lungime {{mvar|φ}}, pentru a da un [[tetradecaedru]] ale cărui fețe sunt cele 2 trapeze și cele 12 [[triunghi echilateral |triunghiuri echilaterale]] rămase.
{| class=wikitable width=360 style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:tetrahedron vertfig.svg|120px]]<br/>12 tetraedre
|[[Fișier:Pentagonal antiprism vertfig.png|120px]]<br/>2 antiprisme pentagonale
|[[Fișier:Dissected regular icosahedron.png|120px]]<br/>sfenocoroană
|}

== Construcție ==
După cum se vede în imaginea desfășuratei, 600-celule regulat poate fi ''diminuat'', adică descompus cu simetria marii antiprisme, fiecare dintre cele 20 de antiprisme pentagonale albastre fiind împărțită în 15 tetraedre regulate. Invers, cele două inele de antiprisme pentagonale din marea antiprismă pot fi triangulate de câte 10 tetraedre aflate la fețele triunghiulare ale fiecărei antiprisme și un cerc de 5 tetraedre între fiecare pereche de antiprisme, unind cele 10 tetraedre ale fiecăreia, dând 150 de tetraedre pentru fiecare inel. Acestea, combinate cu cele 300 de tetraedre care unesc cele două inele, produc cele 600 de tetraedre ale 600-celule.

Această diminuare poate fi realizată prin îndepărtarea din 600-celule a două inele de 10 vârfuri, fiecare situat în plane reciproc ortogonale. Fiecare inel de vârfuri îndepărtate creează un inel de antiprisme pentagonale pe [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]]. Această relație este analogă cu modul în care o antiprismă pentagonală poate fi construită dintr-un [[icosaedru]] prin eliminarea a două vârfuri opuse, eliminând astfel 5 triunghiuri din „polii” opuși ai icosaedrului, lăsând cele 10 triunghiuri ecuatoriale și două pentagoane în partea de sus și de jos.

Alternativ, poate fi construită și din anvelopa convexă a două [[duoprismă |duoprisme decagonale]] (10-10 duoprisme) perpendiculare neuniforme, unde raportul celor două decagoane este în secțiunea de aur, printr-un proces de [[alternare (geometrie) |alternare]]. [[Prismă decagonală |Prismele decagonale]] alternează în antiprisme pentagonale, [[cub|trapezoprismele dreptunghiulare]] alternează în tetraedre, cu două tetraedre noi, create la vârfurile omise. Aceasta este singura soluție uniformă pentru antiprismoizii dublu ''p''-gonali alături de conjugatul său, antiprismoidul dublu pentagramic.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ [[Proiecție ortogonală |Proiecții ortogonale]]
!600-celule
!Marea antiprismă
|-
!colspan=2|H<sub>4</sub> plan Coxeter
|-
|[[Fișier:600-cell graph H4.svg|240px]]
|[[Fișier:Grand antiprism ortho-30-gon.png|230px]]
|-
!colspan=2|20-gonal
|-
|[[Fișier:600-cell t0 p20.svg|240px]]
|[[Fișier:Grand antiprism 20-gonal orthogonal projection.png|240px]]
|-
!colspan=2|H<sub>3</sub> plan Coxeter (ușor decalat)
|-
|colspan=2|[[Fișier:Grand_antiprism_600-cell_H3.png|480px]]
|}

== Proiecții ==
Două proiecții în perspectivă, proiectând politopul pe o [[hipersferă]] și aplicând o [[proiecție stereografică]] în [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]].
{| class="wikitable" width=480 style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:stereographic grand antiprism.png|225px]]<br/>Cadru de sârmă, văzut printr-una dintre coloanele de antiprisme pentagonale.
|[[Fișier:Stereographic grand antiprism faces.png|225px]]<br/>Cu fețele triunghiulare transparente
|- valign=top
|[[Fișier:Ortho solid 963-uniform polychoron grand antiprism.png|240px]]<br/>[[Proiecție ortogonală]]<br/>centrată pe [[hiperplan]]ul unei antiprisme dintr-unul dintre inele
|[[Fișier:GrandAntiPrism-3DOrtho-30.png|240px]]<br/>Proiecție ortogonală 3D<br/>a 100 din cele 120 de vârfuri<br/>și 500 de laturi ale 600-celule<br/>(488 de <math>\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math> și 12 de <math>\frac{2}{3+\sqrt{5}}</math>)
|}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} ''[http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}}
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] 2.8 The Grand Antiprism
* {{en icon}} {{PolyCell | urlname = section5.html| title = Anomalous convex uniform polychoron - Model 47}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|../incmats/gap.htm|4D uniform polytopes (polychora)|gap}}
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26) The Grand Antiprism
* {{en icon}} [http://arxiv-web3.library.cornell.edu/abs/0906.2117 Grand Antiprism and Quaternions] [http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/0906.2117v2.pdf] Mehmet Koca, Mudhahir Al-Ajmi, Nazife Ozdes Koca (2009); Mehmet Koca et al. 2009 J. Phys. A: Math. Theor. 42 495201

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://cs.stmarys.ca/~dawson/Fișiers3.html In the Belly of the Grand Antiprism]{{Legătură nefuncțională|date=iulie 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes |url=http://cs.stmarys.ca/~dawson/Fi%C8%99iers3.html }} (middle section, describing the analogy with the icosahedron and the pentagonal antiprism)

{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri]]