Vizualizare sursă pentru „Interval (matematică)”

'''Interval''' este un termen de bază al [[algebră|algebrei]] și [[analiză matematică|analizei matematice]]. Acesta este o [[mulțime]] [[mulțime nenumărabilă|nenumărabilă]] și [[mulțime mărginită|mărginită]] care conține toate [[Număr real|numerele reale]] situate între două numere reale date. Se reprezintă [[geometrie|geometric]] prin [[segment (geometrie)|segmente]]. Diferite intervale ale dreptei reale pot forma prin reuniune domeniul de definiție al unei funcții numerice, fiecare interval având asociată o [[expresie algebrică]].

==Definiție==
===Cazul numerelor reale===
Fie <math> a, b \in \mathbb{R}  </math>.
* Se definește ''intervalul deschis'' de extremități &nbsp; <math> a, b \,</math> :
::<math> (a, b) = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x < b \} </math>.
* Se definește ''intervalul închis'' de extremități &nbsp; <math> a, b \,</math> :
::<math> [a, b] = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x \le b \} </math>
* Se mai poate defini intervalul închis la un capăt și deschis la celălalt:
::<math> [a, b ) = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x < b \} </math>
::<math> (a, b] = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x \le b \} </math>
* ''Intervale extinse''
:* nemărginite la stânga:
::<math> (-\infty, a) = \{ x \in \mathbb{R} ; x < a \} </math>
::<math> (-\infty, a] = \{ x \in \mathbb{R} ; x \le a \} </math>
:* nemărginite la dreapta:
::<math> (a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x \} </math>
::<math> [a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x \} </math>
:* [[Dreapta reală]]:
::<math> \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) </math>
* ''Intervale degenerate'':
::<math> (a, a) = \varnothing</math> , &nbsp; [[mulțime vidă|mulțimea vidă]]
::<math> [a, a] = \{ a \} </math> , mulțimea cu elementul <math> a \,</math>

==Generalizare pentru spații topologice==
În cadrul [[topologie]]i, intervalele pot fi generalizate la mulțimi [[conexitate|conexe]]. Intervalele deschise devin mulțimi deschise, iar cele închise devin mulțimi închise.

Intervalele mărginite și închise sunt [[mulțime compactă|compacte]].

==Aplicații și proprietăți==
Intervalele au proprietăți interesante în cazul [[funcție continuă|continuității]] și [[funcție derivabilă|derivabilității]]:

* Imaginea unei funcții continue pe un interval real este un interval real ([[teorema valorilor intermediare]]).
* O funcție derivabilă pe un interval, a cărei derivată este identic nulă, este constantă pe acel interval.
* O funcție derivabilă este monotonă pe un interval [[dacă și numai dacă]] [[derivată|derivata]] sa are semn constant pe acel interval.

==Bibliografie==
* Bobancu, V. - ''Dicționar de matematici generale'', Editura Enciclopedică Română, București, 1974
* Rogai, E. - ''Tabele și formule matematice'', Editura Tehnică, București, 1984
* Ion, I.D. - ''Algebră pentru perfecționarea profesorilor'', Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

==Vezi și==
* [[Axa numerelor]]
* [[Inegalitate]]
* [[Inecuație]]
* [[Segment (geometrie)]]

==Legături externe==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://americanscientist.org/content/AMSCI/AMSCI/ArticleAltFormat/2003101124233_307.pdf Despre intervale la ''American Scientist''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305072337/http://www.americanscientist.org/content/AMSCI/AMSCI/ArticleAltFormat/2003101124233_307.pdf |date=2016-03-05 }}
* {{en icon}} [http://id.mind.net/~zona/mmts/miscellaneousMath/intervalNotation/intervalNotation.html Notarea intervalelor]

[[Categorie:Matematică]]
[[Categorie:Algebră]]
[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Topologie]]