Vizualizare sursă pentru „Integralele Wallis”

În [[matematică]], și mai precis în [[analiză]], '''integralele Wallis''' sunt o familie de [[integrală|integrale]] introduse de [[John Wallis]].
[[Fișier:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|thumb|Portretul lui Wallis, datat cu anul 1701]]
== Definiție ==

''Integralele Wallis'' <math>(W_n)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}\,}</math> sunt definite de șirurile:
:<math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx, </math>
sau, echivalent (făcând substituția: <math>x = \frac{\pi}{2} - t</math>):
:<math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \,dx</math>

== Cazuri particulare ==
In particular, câțva termeni sunt în tabelul:
:{| class="wikitable alternance" width="50%"
 |-
 | align="center" | <math>W_0</math>
 | align="center"| <math>W_1</math>
 | align="center"| <math>W_2</math>
 | align="center"| <math>W_3</math>
 | align="center"| <math>W_4</math>
 | align="center"| <math>W_5</math>
 | align="center"| <math>W_6</math>
 | align="center"| <math>W_7</math>
 | align="center"| <math>W_8</math>
 | align="center" | ...
 |-
 | align="center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
 | align="center" | <math>1</math>
 | align="center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
 | align="center" | <math>\frac{2}{3}</math>
 | align="center" | <math>\frac{3\pi}{16}</math>
 | align="center" | <math>\frac{8}{15}</math>
 | align="center" | <math>\frac{5\pi}{32}</math>
 | align="center" | <math>\frac{16}{35}</math>
 | align="center" | <math>\frac{35\pi}{256}</math>
 | align="center" | ...
 |}

== Legătura cu funcțiile beta și gamma ==

Integralele Wallis: <math>W_n = \int_0^\frac{\pi} 2 \sin^n  \theta d\theta = \int_0^\frac{\pi} 2 \cos^n  \theta d\theta</math>

pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor [[funcția beta|beta]] și [[funcția gamma|gamma]]. Conform relației <math> \Beta (x,y) = \Beta (y,x) </math>, avem:

:<math>W_n = \frac{1}{2} B \left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right) </math>

și avem două cazuri, pentru <math>n = 2p + 1</math> și <math>n = 2p</math>. Pentru aceste valori ale lui <math>n</math> avem:

:<math>W_{2p+1} = \frac{1}{2} B \left(p+1,\frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(p+1)\Gamma(\frac{1}{2})}{2\Gamma(p+\frac{3}{2})} = \frac{p!\Gamma(\frac{1}{2})}{(2p+1)\Gamma(p+\frac{1}{2})}</math>.

Cum însă

:<math>\Gamma \left(n+\frac{1}{2} \right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2^n}\sqrt\pi</math> ,

obținem

:<math>W_{2p+1} = \frac{2^p p!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2p+1)} = \frac{4^p p!^2}{(2p+1)!}</math> .

Într-un mod asemănător se calculează și

:<math>W_{2p} = \frac{1}{2}B \left(p+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(p+\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{2\Gamma(p+1)}</math>

iar în final se obține 

:<math>W_{2p} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2p-1)}{2^{p+1}p!}\pi = \frac{(2p)!}{4^p p!^2}\frac{\pi}{2}</math>.

Este ușor de observat că

:<math>W_{n+2} = \frac{1}{2} B \left(\frac{n+2+1}{2},\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}B \left(\frac{n+1}{2}+1,\frac{1}{2} \right) = \frac{\frac{(n+1)}{2}}{\frac{n}{2}+1} W_n = \left(\frac{n+1}{n+2}\right) W_n</math>.

Se poate considera că

:<math>W_{\alpha} = \frac{1}{2}B \left(\frac{\alpha+1}{2}, \frac{1}{2} \right)</math>

chiar și pentru valori reale ale lui <math>\alpha</math> mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția [[funcția beta|funcției beta]] <ref><math> \Beta (x,y) =  \int_0^1  t^{x-1} (1- t)^{y-1} dt </math></ref> , că

:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{\sin \theta}} = \int_0^1 \frac{2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2\pi}}</math>,


:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin\theta}d\theta = \int_0^1 \frac{2t^2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}{\Gamma^2(\frac{1}{4})}</math>.

Produsul acestor două integrale ne conduce la

:<math>\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\int_0^1 \frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{\pi}{4}</math>

== Vezi și ==
* [[funcția beta|Funcția beta]]
* [[funcția gamma|Funcția gamma]]

== Legături externe ==
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wallis.html John Wallis]
* [http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html Formula Wallis]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html Funcția Gamma]
* [http://www.gecif.net/articles/mathematiques/integrales_particulieres/ Integrale particulare]
* [http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/wi4006/gammabeta.pdf The gamma and the beta function – TU Delft] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150529203034/http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/wi4006/gammabeta.pdf |date=2015-05-29 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html Beta Function – MathWorld]

== Note ==

<references />

[[Categorie:Funcții hipergeometrice speciale]]