Vizualizare sursă pentru „Independență algebrică”

În [[algebră abstractă |algebra abstractă]] o [[submulțime]] <math>S</math> a unui [[corp (matematică) |corp]] <math>L</math> '''independentă algebric''' peste un [[Corp_(matematică)#Exemple_de_subcorpuri |subcorp]] dacă elementele din <math>S</math> nu satisfac nicio [[ecuație polinomială]] netrivială cu coeficienți în <math>K</math>.

În particular, un element <math>\{\alpha\}</math> al unei [[mulțime |mulțimi]] este independent algebric peste <math>K</math> [[dacă și numai dacă]] <math>\alpha</math> este [[element algebric |transcendent]] peste <math>K</math>. În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric <math>S</math> peste <math>K</math> sunt necesar transcendente peste  <math>K</math> și peste toate [[extindere de corp |extinderile]] peste <math>K</math> generate de restul elementelor lui <math>S</math>.

== Exemplu ==
Cele două [[număr real |numere reale]] <math>\sqrt{\pi}</math> și <math>2\pi+1</math> sunt fiecare [[număr transcendent |numere transcendente]]: ele nu sunt [[rădăcină (matematică) |rădăcinile]] vreunui [[polinom]] netrivial cu coeficienți [[număr rațional |raționali]]. Prin urmare, fiecare din cele două [[singleton (matematică) |singletoane]] <math>\{\sqrt{\pi}\}</math> și <math>\{2\pi+1\}</math> sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale <math>\mathbb{Q}</math>.

În orice caz, mulțimea <math>\{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \}</math> ''nu'' este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial
:<math>P(x,y)=2x^2-y+1</math>
este zero pentru <math>x=\sqrt{\pi}</math> și <math>y=2\pi+1</math>.

== Independența algebrică a unor constante ==
Deși se știe că ambele <math>\pi</math> și [[E (constantă matematică) |''e'']] sunt transcendente,
nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste <math>\mathbb{Q}</math>.<ref>{{en icon}} {{cite book
| url = https://books.google.com/books?id=jQ7c8Xqpqk0C
| title = Field and Galois Theory
| author = Patrick Morandi
| publisher = Springer
| year = 1996
| pages = 174
| access-date = 2008-04-11
| isbn = 978-0-387-94753-2
}}</ref> De fapt nu se știe nici măcar dacă <math>\pi+e</math> este [[număr irațional |irațional]].<ref>{{en icon}} {{Citation |last=Green |first=Ben |author-link=Ben J. Green|chapter=III.41 Irrational and Transcendental Numbers |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |year=2008 |title=[[The Princeton Companion to Mathematics]] |page=222 |publisher=Princeton University Press}}</ref>
[[Iuri Valentinovici Nesterenko|Nesterenko]] a demonstrat în 1996 că:
* numerele <math>\pi</math>, <math>e^\pi</math> și [[Funcția gamma |Γ]](1/4) sunt independente algebric peste <math>\mathbb{Q}</math>.<ref name=MP61>{{en icon}} {{cite book | first1=Iu. I. | last1=Manin | author-link1=Iuri I. Manin | first2=A. A. | last2=Pancișkin | title=Introduction to Modern Number Theory | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | volume=49 | edition=Second | year=2007 | isbn=978-3-540-20364-3 | issn=0938-0396 | zbl=1079.11002 | page=61 }}</ref>
* numerele <math>\pi</math>, <math>e^{\pi\sqrt{3}}</math> și Γ(1/3) sunt independente algebric peste <math>\mathbb{Q}</math>.
* pentru toți [[număr întreg |întregii]] pozitivi <math>n</math>, numerele <math>\pi</math> și <math>e^{\pi\sqrt{n}}</math> sunt independente algebric peste <math>\mathbb{Q}</math>.<ref>{{en icon}} {{cite journal|author=Nesterenko, Iuri V|author-link=Iuri Valentinovici Nesterenko|title=Modular Functions and Transcendence Problems|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences|Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I]]|volume=322|pages=909–914|year=1996|issue=10}}</ref>

== Teorema Lindemann–Weierstrass ==
{{ill-wd|Q1572474||Teorema Lindemann–Weierstrass}} poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste <math>\mathbb{Q}.</math> Se afirmă că ori de câte ori <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> sunt numere algebrice acestea sunt {{ill-wd| Q27670||independente liniar}} peste <math>\mathbb{Q}</math>, ca urmare <math>e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}</math> sunt și ele independente algebric peste <math>\mathbb{Q}</math>.

== Matroizi algebrici ==
Fiind dată o [[extindere de corp]] <math>L/K</math> care nu este algebrică, [[Lema lui Zorn]] poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a <math>L</math> peste <math>K</math>. Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași [[cardinalitate]], cunoscută sub numele de [[grad de transcendență]] al extinderii.

Pentru orice mulțime <math>S</math> de elemente ale <math>L</math>, submulțimile independente algebric din <math>S</math> satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui {{ill-wd| Q898572}}. În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea <math>T</math> de elemente este [[intersecție (matematică) |intersecția]] lui <math>L</math> cu corpul <math>K[T]</math>. Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește ''[[matroid algebric]]''. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este [[matroidul Vámos]].<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Ingleton | first1 = A. W.
 | last2 = Main | first2 = R. A.
 | doi = 10.1112/blms/7.2.144
 | journal = [[Bulletin of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0369110
 | pages = 144–146
 | title = Non-algebraic matroids exist
 | volume = 7
 | year = 1975| issue = 2
 }}</ref>

Mulți matroizi finiți pot fi {{ill-wd| Q6787909||reprezentați}} printr-o [[matrice]] peste corpul <math>K</math>, în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei [[Nedeterminată (variabilă) |nedeterminate]] pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Applied Discrete Structures|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1997|isbn=9788122408263|page=909|url=https://books.google.com/books?id=lxIgGGJXacoC&pg=PA909}}</ref>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=AlgebraicallyIndependent|title=Algebraically Independent|author=Chen, Johnny}}

[[Categorie:Algebră abstractă]]
[[Categorie:Teoria matroizilor]]