Vizualizare sursă pentru „Identitățile calculului vectorial”

{{See also|Relațiile algebrei vectoriale}}
Următoarele identități sunt importante în [[Calcul vectorial|calculul vectorial]]

==Operatori simpli (sumar)==
În această secțiune sunt listate explicit semnificațiile unor simboluri folosite în calculul vectorial.

===Divergență===
{{Articol principal|Divergență}}

====Divergența unui câmp vectorial====
Pentru un [[câmp vectorial]] <math>\mathbf{v}</math>, divergența se scrie în general sub forma:
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{v}) = \nabla \cdot \mathbf{v}</math>
iar rezultatul este un [[câmp scalar]].

====Divergența unui tensor====
Pentru un [[tensor]] <math> \stackrel{\mathbf{\mathfrak{T}}}{} </math>, divergența se scrie în general sub forma:
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{\mathfrak{T}}) = \nabla \cdot \mathbf{\mathfrak{T}}</math>
iar rezultatul este un [[vector]].

Mai general, divergența unui tensor de ordinul ''n'' este un tensor contractat de ordinul ''n-1''.

===Rotor===
{{Articol principal|Rotor}}
Pentru un câmp vectorial <math>\mathbf{v}</math>, rotorul se scrie în general sub forma:
:<math>\operatorname{rot}(\mathbf{v}) = \nabla \times \mathbf{v}</math>
iar rezultatul este un câmp vectorial.

Folosind convenția de sumare a lui Einstein rotorul se scrie :
:<math> (\nabla \times \mathbf V)_i = {\epsilon_i}^{jk}\partial_jV_k </math>

===Gradient===
{{Articol principal|Gradient}}

====Gradientul unui câmp scalar====
Pentru un câmp scalar <math>\psi \,</math>, gradientul se scrie în general sub forma:
:<math>\operatorname{grad}(\psi) = \nabla \psi</math>
iar rezultatul este un câmp vectorial.

Folosind convenția de sumare a lui Einstein gradientul unui câmp scalar se scrie:
:<math> (\nabla\psi)_i = \partial_i\psi </math>

====Gradientul unui câmp vectorial====
Se poate defini gradientul unui câmp vectorial, dar numai într-un [[sistem de coordonate]] oblice, adică într-un sistem de coordonate în care axele nu sunt perpendiculare două câte două. Altfel se obține divergența unui vector.

Pentru un câmp vectorial în coordonate oblice <math>\mathbf{v}</math>, gradientul se scrie în general sub forma:
:<math>\operatorname{grad}(\mathbf{V}) = \nabla \mathbf{V} = \frac{\partial {{V}_{j}}}{\partial {{x}_{i}}}{{\mathbf{e}}_{i}}{{\mathbf{e}}_{j}}</math>
iar rezultatul este un tensor. Acest tip de calcul nu este preferat, datorită complicațiilor matematice foarte mari.

==Combinații ale operatorilor==
===Rotorul unui gradient===
[[Rotor]]ul unui [[gradient]] al ''oricărui'' [[câmp scalar]] <math>\ \phi </math> este întotdeauna [[vectorul zero]]:
:<math>\nabla \times ( \nabla \phi )  = \vec{0}</math>

Calea de a stabili această identitate, precum și a altora, este aceea prin care se folosește sistemul de [[Coordonate carteziene|coordonate cartezian]] tridimensional. În conformitate cu articolul despre [[rotor]], avem:
:<math>\nabla \times \nabla \phi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{ \partial_x } & { \partial_y } & { \partial_z } \\
 \\  \partial_x \phi & \partial_y \phi & \partial_z \phi \end{vmatrix} \ ,</math>
în care partea dreaptă este un determinant, iar '''i''', '''j''', '''k''' sunt vectorii unitari ai axelor, iar <math>\partial_x = \partial / \partial_x</math>, ''etc''. De exemplu, componenta ''x'' a ecuației de mai sus este:
:<math> \mathbf{i} \left( \partial_y \partial_z - \partial_z \partial_y \right) \phi = \vec{0} \ , </math>
în care partea stângă este egală cu zero datorită [[egalitate (matematică) |egalității]] [[Derivată parțială|derivatelor parțiale]].

===Divergența unui rotor===
[[Divergență|Divergența]] unui rotor al ''oricărui'' [[câmp vectorial]] '''A''' este întotdeauna zero:
:<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 </math>

===Divergența unui gradient===
[[Laplacian]]ul unui câmp scalar este definit ca divergența unui gradient:
:<math> \nabla \cdot (\nabla \psi) = \nabla^2 \psi </math>
De notat că, rezultatul este o cantitate scalară.

===Rotorul unui rotor===
:<math> \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}</math>
Aici, ∇<sup>2</sup> este [[laplacian]]ul care operează asupra unui câmp vectorial '''A'''.

==Proprietăți==
===Distributivitatea===
:<math> \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} </math>
:<math> \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} </math>

===Produsul scalar vectorial===
:<math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) </math>

Folosind notația lui Feynman, se scrie simplu:
:<math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})=  \nabla_A(\mathbf{A}  \cdot \mathbf{B}) +  \nabla_B (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \ , </math>
în care notația '''∇'''<sub>A</sub> însemnă operatorul gradient subscris aplicat numai asupra factorului '''A'''.<ref name=Feynman>{{cite book |first1=R. P. |last1=Feynman |first2=R. B. |last2=Leighton |first3=M. |last3=Sands |title=The Feynman Lecture on Physics |publisher = Addison-Wesley |year=1964 |isbn=0805390499 |nopp= true |pages= Vol II, p. 27–4}}</ref>

O idee mai puțin generală, dar similară, este aceea de a folosi ''[[algebra geometrică]]'', în care este implicată așa numita ''overdot notation''.<ref name=Doran>{{cite book |first1=C. |last1=Doran |first2=A. |last2=Lasenby |title=Geometric algebra for physicists |year=2003 |publisher=Cambridge University Press |page=169 |isbn=978-0-521-71595-9}}</ref> 

Atunci, identitatea de mai sus poate fi scrisă sub forma:
:<math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})={\dot \nabla}(\dot{\mathbf{A} } \cdot \mathbf{B}) + \dot{ \nabla }(\mathbf{A} \cdot \dot{ \mathbf{B}}) \ , </math>
în care punctul de deasupra este scris în scopul derivării vectoriale. În primul termen numai primul factor (punctat) este diferențiat, în timp ce al doilea factor este ținut constant. În mod asemănător, în al doilea termen, primul factor este ținut constant, iar al doilea factor (punctat) este diferențiat.

În cazul special în care '''A''' = '''B''':
:<math> \frac{1}{2} \nabla \left( \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} \right) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}. </math>

===Produse vectoriale===
:<math> \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) </math>
:<math> \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} </math>
:<math> \mathbf{A \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times B} \right) =\nabla_B \left( \mathbf{A \cdot B} \right) - \left( \mathbf{A \cdot \nabla } \right) \mathbf{ B} \ , </math>
în care notația lui Feynman '''∇'''<sub>B</sub> însemnă operatorul gradient subscris aplicat numai asupra factorului '''B'''.<ref name=Feynman/>

În notație cu punct deasupra:<ref name=Doran/> 
:<math> \mathbf{A \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times B} \right) =\dot{\nabla} \left( \mathbf{A \cdot } \dot{\mathbf{B}} \right) - \left( \mathbf{A \cdot \nabla } \right) \mathbf{ B} \ . </math><ref>{{cite book | first1=Robert A. |last1=Adams |first2=Christopher |last2=Essex |title=Calculus: Several Variables |edition=7th |publisher=Pearson Canada|location=Toronto |year=2008 |page=897 | isbn=0201798026}}</ref>

===Produse scalare și vectoriale===
:<math> \nabla \cdot (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot\nabla\psi + \psi\nabla \cdot \mathbf{A} </math>
:<math> \nabla \times (\psi\mathbf{A}) = \psi\nabla \times \mathbf{A} + \nabla\psi \times \mathbf{A} </math>

===Regula produsului pentru gradient===
Gradientul produsul scalar a două câmpuri scalare <math>\psi</math> și <math>\phi</math> urmează aceeași regulă ca cea a produsului pentru o singură variabilă: 
: <math> \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi  + \psi \,\nabla \phi </math>

==Sumarul tuturor identităților==
===Adunarea și înmulțirea===
* <math> \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} </math>
* <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} </math>
* <math> \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A} </math>
* <math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} </math>
* <math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C} </math>
* <math> \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)=\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
A_{x} & A_{y} & A_{z}\\
B_{x} & B_{y} & B_{z}\\
C_{x} & C_{y} & C_{z}\end{array}\right| </math> ([[triplu produs scalar]])
* <math> \mathbf{A\times}\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C} </math> ([[triplu produs vectorial]])
* <math> \mathbf{\left(A\times B\right)\cdot}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) </math>
* <math> \mathbf{\left(A\times B\right)\times}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B\times D}\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B\times C}\right)\mathbf{D} </math>

===Diferențierea===
* <math> \nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi </math>
* <math> \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi  + \psi \,\nabla \phi </math>
* <math> \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B} </math>
* <math> \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B} </math>
* <math> \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla \psi </math>
* <math> \nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla \psi </math>
* <math> \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{B}\cdot (\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) </math>
* <math> \nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}-\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} </math>
* <math> \nabla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{\nabla}\right)\mathbf{B}+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{\nabla}\right)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)+\mathbf{B}\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) </math>
* <math> \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 </math>
* <math> \nabla\times(\nabla\psi)=0 </math>
* <math> \nabla\cdot(\nabla\psi)=\nabla^{2}\psi </math>        (Laplacianul unui scalar)
* <math> \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}=\nabla^{2}\mathbf{A} </math>   (Laplacianul unui vector)
* <math> \psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi= \nabla\cdot\left(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi\right)</math>

===Integrarea===
* <math> \iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}=\iiint\limits_{V}\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)dv </math> ([[Teorema divergenței]])
* <math> \iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset{\psi}d \mathbf{s} = \iiint\limits_V \nabla \psi\, dv </math>
* <math> \iint\limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)ds=\iiint\limits _{V}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)dv </math>
* <math> \iiint\limits _{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi+\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\right)dv=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\psi\left(\nabla\varphi\cdot\hat{\mathbf{n}}\right)ds </math> ([[Prima identitate a lui Green]])
* <math> \iiint\limits _{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi-\varphi\nabla^{2}\psi\right)dv = \iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\left[\left(\psi\nabla\varphi-\varphi\nabla\psi\right)\cdot\hat{\mathbf{n}}\right]ds = \iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\left[\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right]ds </math> ([[A doua identitate a lui Green]])
* <math> \oint\limits_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{s} </math> ([[Teorema lui Stokes]])
* <math> \oint\limits _{C}\psi d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)ds </math>

==Vezi și==
* [[Calcul vectorial]]
* [[Operatorul nabla în coordonate cilindrice și sferice]]

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{cite book | title = Advanced Engineering Electromagnetics | first = Constantine A. | last = Balanis | isbn = 0471621943 }}
* {{en icon}} {{cite book | first = H. M. | last = Schey | title = Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus | publisher=W. W. Norton & Company | year= 1997 | isbn = 0-393-96997-5 }}
* {{en icon}} {{cite book | first = David J. | last = Griffiths | title = Introduction to Electrodynamics | publisher=Prentice Hall|year=1999|isbn= 0-13-805326-X}}

[[Categorie:Calcul vectorial]]
[[Categorie:Teoreme de analiză matematică]]