Vizualizare sursă pentru „Ideal primar”

În [[matematică]], în special [[algebră comutativă |algebra comutativă]], se spune că un [[ideal (teoria inelelor) |ideal]] {{mvar|Q}} propriu al unui [[inel comutativ]] {{mvar|A}} este '''primar''' dacă ori de câte ori {{mvar|xy}} este un element din {{mvar|Q}}, atunci {{mvar|x}} sau {{mvar|y<sup>n</sup>}} sunt și ele elemente din {{mvar|Q}} pentru unele {{mvar|n > 0.}} De exemplu, în [[inelul numerelor întregi]] '''Z''', ({{mvar|p<sup>n</sup>}}) este un ideal primar dacă {{mvar|p}} este un număr prim.

Noțiunea de ideal primar este importantă în teoria inelelor comutative deoarece orice ideal al unui {{ill-wd| Q582271||inel noetherian}} are o {{ill-wd| Q172298||descompunere primară}}, adică poate fi scris ca o intersecție a unui număr finit de ideale primare. Acest rezultat este cunoscut sub numele de [[teorema Lasker–Noether]]. În consecință, un [[ideal ireductibil]] al unui inel noetherian este primar.

Există diferite metode de generalizare a idealelor primare la inele necomutative<ref>v. Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly și Lesieur–Croisot.</ref> dar de obicei subiectul este studiat pentru inelele comutative. Prin urmare, se presupune că inelele din acest articol sunt inele comutative cu {{ill-wd| Q118084|unitate (teoria inelelor)|unitate.}}

== Exemple și proprietăți ==
* Definiția poate fi reformulată într-o manieră mai simetrică: un ideal <math>\mathfrak{q}</math> este primar dacă, ori de câte ori <math>x y \in \mathfrak{q}</math>, avem <math>x \in \mathfrak{q}</math> sau <math>y \in \mathfrak{q}</math> sau <math>x, y \in \sqrt{\mathfrak{q}}</math>. (Aici <math>\sqrt{\mathfrak{q}}</math> este [[radical al unui ideal |radicalul]] lui <math>\mathfrak{q}</math>.)
* Un ideal {{mvar|Q}} al lui {{mvar|R}} este primar dacă și numai dacă orice [[divizor al lui zero]] din {{mvar|R/Q}} este [[nilpotență |nilpotent]]. (A se compara acest lucru cu cazul idealelor prime, unde {{mvar|P}} este prim dacă și numai dacă orice divizor al lui zero din {{mvar|R/P}} este de fapt zero.)
* Orice [[ideal prim]] este primar și, în plus, un ideal este prim [[dacă și numai dacă]] este primar și [[ideal semiprim |semiprim]] (numit și [[radical al unui ideal |radicalul idealului]] în cazul comutativ).
* Orice ideal primar este un [[ideal principal]].<ref>Demonstrația se găsește în lucrarea lui Fuchs.</ref>
* Dacă {{mvar|Q}} este un ideal primar, atunci radicalul lui {{mvar|Q}} este în mod necesar un ideal prim {{mvar|P}}, iar acest ideal se numește ''idealul [[prim asociat]]'' al {{mvar|Q}}. În această situație, se spune că {{mvar|Q}} este '''{{mvar|P}}-primar'''.
:* Pe de altă parte, un ideal al cărui radical este prim nu este neapărat primar: de exemplu, dacă <math>R = k[x,y,z]/(x y - z^2)</math>, <math> >\mathfrak{p} = (\overline{x}, \overline{z})</math> și <math>\mathfrak{q} = \mathfrak{p}^2</math>, atunci <math >\mathfrak{p}</math> este prim și <math>\sqrt{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}</math>, dar avem <math> \overline{x} \overline{ y} = {\overline{z}}^2 \in \mathfrak{p}^2 = \mathfrak{q}</math>, <math>\overline{x} \nu \in \mathfrak{q}</math> și <math>{\overline{y}}^n \not \in \mathfrak{q}</math> pentru orice {{mvar|n}} > 0, deci <math>\mathfrak{q}</math> nu este primar. Descompunerea primară a <math>\mathfrak{q}</math> este <math>(\overline{x}) \cap ({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z} , \overline{y})</math>; aici <math>(\overline{x})</math> este <math>\mathfrak{p}</math>-primar și <math>({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z}, \overline{y})</math> este <math>(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})</math>-primar.
::* Un ideal al cărui radical este ''maximal'' este însă primar.
::* Orice ideal {{mvar|Q}} cu radicalul {{mvar|P}} ''este'' conținut în cel mai mic ideal {{mvar|P}}- primar: toate elementele {{mvar|a}} astfel încât {{mvar|ax &isin; Q}} pentru unele {{mvar|x &notin; P}}.
* Dacă {{mvar|P}} este un ideal prim maximal, atunci orice ideal care conține o putere a lui {{mvar|P}} este {{mvar|P}}-primar. Nu toate idealele {{mvar|P}}-primare trebuie să fie puteri ale lui {{mvar|P}}, dar cel puțin ele conțin o putere a lui {{mvar|P}}; de exemplu, idealul ({{mvar|x, y}}<sup>2</sup>) este {{mvar|P}}-primar pentru idealul {{mvar|P}} = ({{mvar|x, y}}) în inelul {{math|''k''[''x'',&nbsp;''y'']}}, dar nu este o putere a lui {{mvar|P}}, totuși îl conține pe {{mvar|P}}<sup>2</sup>.
* Dacă {{mvar|A}} este un inel noetherian și {{mvar|P}} un ideal prim, atunci nucleul lui <math>A \to A_P</math>, aplicația de la {{mvar|A}} la {{ill-wd| Q289093|localizare (algebră)|localizarea}} lui {{mvar|A}} la {{mvar|P}}, este intersecția tuturor idealelor primare {{mvar|P}}.<ref>Atiyah–Macdonald, Corolarul 10.21</ref>
* Un produs finit nevid de <math>\mathfrak{p}</math>-ideale primare este <math>\mathfrak{p}</math>-primar, dar un produs infinit de <math>\mathfrak{p}</math>-ideale primare poate să nu fie <math>\mathfrak p</math>-primar. Deoarece, de exemplu, într-un inel local noetherian cu idealul maximal <math>\mathfrak m</math>, <math>\cap_{n > 0} \mathfrak{m}^n = 0</math> (teorema de intersecție a lui Krull)  unde fiecare <math>\mathfrak{m}^n</math> este <math>\mathfrak{m}</math>-primar, de exemplu produsul infinit al idealului maximal (și, prin urmare, prim, și, prin urmare, primar) <math>m=\langle x,y \rangle</math> al {{ill-wd| Q1142704||inelului local}} <math>K[x,y]/\langle x^2, xy\rangle</math> dă [[ideal nul |idealul nul]], care în acest caz nu este primar (deoarece divizorul lui zero <math>y</math> nu este nilpotent). De fapt, într-un inel noetherian un produs nevid al idealelor <math>\mathfrak{p}</math>-primare <math>Q_i</math> este <math>\mathfrak{p}</math>-primar dacă și numai dacă există un întreg <math>n > 0</math> astfel încât <math>\mathfrak{p}^n \subset \cap_i Q_i.</math><ref>Bourbaki, cap. IV, § 2, exercițiul 3</ref>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I.G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1969 |page=50}}
* {{fr icon}} {{citation |author=Bourbaki |title=Algèbre commutative}}
* {{en icon}} {{citation |author1=Chatters, A. W. |author2=Hajarnavis, C. R. |title=Non-commutative rings with primary decomposition |journal= The Quarterly Journal of Mathematics|series=Second Series |volume=22 |year=1971 |pages=73–83 |issn=0033-5606 |mr=0286822 |doi=10.1093/qmath/22.1.73}}
* {{en icon}} {{citation |author=Goldman, Oscar |title=Rings and modules of quotients |journal= Journal of Algebra|volume=13 |year=1969 |pages=10–47 |issn=0021-8693 |mr=0245608 |doi=10.1016/0021-8693(69)90004-0|doi-access=free}}
* {{en icon}} {{citation |author1=Gorton, Christine |author2=Heatherly, Henry |title=Generalized primary rings and ideals |journal= Mathematica Pannonica|volume=17 |year=2006 |issue=1 |pages=17–28 |issn=0865-2090 |mr=2215638}}
* {{en icon}} Fuchs, Ladislas, [https://www.ams.org/journals/proc/1950-001-01/S0002-9939-1950-0032584-8/S0002-9939-1950-0032584-8.pdf On primal ideals]
* {{fr icon}} {{citation |author1=Lesieur, L. |author2=Croisot, R. |title=Algèbre noethérienne non commutative |publisher=Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, Paris |year=1963 |pages=119 |mr=0155861}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primary_ideal ''Primary ideal''] la ''[[Enciclopedia Matematicii]]''

[[Categorie:Ideale]]
[[Categorie:Algebră comutativă]]