Vizualizare sursă pentru „Icositetraedru romboidal”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Icositetraedru romboidal
| image_up = deltoidalicositetrahedron.jpg
| caption = ([[:Fișier:deltoidalicositetrahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Deltoidal icositetrahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru Catalan]]
| euler = 2
| faces = 24 ([[romboid |romboizi]])
| edges = 48
| vertices = 26
| vertex_config =
| face_config = V3.4.4.4
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node_f1|4|node|3|node_f1}}
| conway = oC sau deC
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], BC<sub>3</sub>, [4,3], *432
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432)
| surface_area = &approx; 30,695 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura mică)
| volume = &approx; 14,913 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura mică)
| angle = 138° 07′ 05″ = arccos(−{{sfrac|7 + 4{{sqrt|2}}|17}})
| dual = [[Rombicuboctaedru]]
| properties = [[Poliedru convex]], [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]
| net = Deltoidalicositetrahedron net.png
}}
[[Fișier: Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|thumb|Dual: Rombicuboctaedru]]
În [[geometrie]] un '''icositetraedru romboidal''' este un [[poliedru Catalan]] cu 24 de [[față (geometrie) |fețe]]. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui [[poliedru arhimedic]]. Dualul icosaedrului triakis este [[rombicuboctaedru]]l. Este [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]. 

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui icositetraedru romboidal centrat în [[origine (matematică) |origine]] sunt:
* (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)
* (0, ±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}, ±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}), (±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}, 0, ±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}), (±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}, ±{{sfrac|1|2}}{{sqrt|2}}, 0)
* (±(2{{sqrt|2}}+1)/7, ±(2{{sqrt|2}}+1)/7, ±(2{{sqrt|2}}+1)/7)
Laturile lungi ale acestui icosaedru deltoidal au lungimea {{sqrt|(2-{{sqrt|2}})}} ≈ 0,765367.

== Dimensiuni ==
Cele 24 de fețe sunt [[romboid |romboizi]].<ref>{{en icon}} {{cite web |title=Kite |url=https://www.mathsisfun.com/geometry/kite.html |access-date=6 October 2019}}</ref> Raportul dintre lungimile laturilor scurte și lungi este 1:(2&nbsp;−&nbsp;{{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}) ≈ 1:1,292893...

Dacă lungimea laturii scurte este {{mvar|a}}, [[arie |aria]] și [[volum]]ul sunt
:<math>\begin{align} A &= 6\sqrt{29-2\sqrt 2}\,a^2 \approx 30,694\,895\,724\,a^2 \\ V &= \sqrt{122+71\sqrt 2}\,a^3 \approx 14,913\,388\,714\,a^3 \end{align}</math>

Romboizii au trei [[unghi]]uri ascuțite egale de <math>\arccos(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2})\approx 81,578\,941\,882\,85^{\circ}</math> și unul obtuz (între laturile scurte ale romboidului) de <math>\arccos(-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\sqrt{2})\approx 115,263\,174\,354\,45^{\circ}</math>.

== Proiecții ortogonale ==
Icositetraedrul romboidal are trei [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] particulare, toate centrate pe vârfuri.
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]
|[4]
|[6]
|-
!Imagini
|[[Fișier:Dual cube t02 f4b.png|120px]]
|[[Fișier:Dual cube t02 B2.png|120px]]
|[[Fișier:Dual cube t02.png|120px]]
|-
!Imagini<br/>duale
|[[Fișier:Cube t02 f4b.png|120px]]
|[[Fișier:3-cube t02 B2.svg|120px]]
|[[Fișier:3-cube t02.svg|120px]]
|}

== Poliedre și pavări înrudite ==
Proiecția poliedrului pe un [[cub]] divide pătratele în sferturi. Proiecția pe un [[octaedru]] divide triunghiurile în romboizi. În [[notația Conway a poliedrelor]] aceasta reprezintă o operație ''orto'' asupra unui cub sau octaedru.

Dualul [[rombicuboctaedru |micului rombicuboctaedru]] este similar cu [[dodecaedru disdyakis |dodecaedrul disdyakis]] (dualul [[cuboctaedru trunchiat|marelui rombicuboctaedru]]). Principala diferență este că acesta din urmă are și laturi între vârfurile de pe axele de simetrie cu 3 și 4 poziții (între vârfurile galbene și roșii din imaginile de mai jos).
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
| [[Fișier:Disdyakis 12 in deltoidal 24.png|140px|]]
| [[Fișier:Disdyakis 12.png|140px|]]
| [[Fișier:Disdyakis 12 untruncated to dyakis 12 horizontal with traces.png|140px|]]
| [[Fișier:Tetartoid dark horizontal (with traces of dyakis 12).png|140px|]]
|-
| '''icositetraedru<br/>romboidal'''
| [[Dodecaedru disdiakis |Dodecaedru<br/>disdiakis]]
| '''Dodecaedru<br/>diakis'''
| [[Tetartoid]]
|}

Icositetraedrul romboidal face parte dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.

Când sunt proiectate pe o sferă se poate observa că laturile formează imaginea unui [[compus de cub și octaedru]] cubul și octaedrul fiind aranjate în pozițiile lor duale. De asemenea, se poate observa că colțurile triple și colțurile cvadruple pot fi făcute să aibă aceeași distanță față de centru. În acest caz, icositetraedrul rezultat nu va mai avea un rombicuboctaedru ca dual, deoarece la rombicuboctaedru centrele pătratelor și triunghiurilor sale sunt la distanțe diferite de centru.
{{Trunchieri octaedrice}}

Din punct de vedere topologic acest poliedru face parte din secvența de poliedre romboidale cu figura feței (V3.4.''n''.4) și continuă cu [[pavare |pavări]] ale [[spațiu hiperbolic |planului hiperbolic]]. Aceste figuri [[figură izoedrică |tranzitive pe fețe]] au [[simetrie de reflexie]] (*''n''32) în [[notația orbifold]].
{{Tabel expandate duale}}

=== Dodecaedrul diakis ===
O variantă cu [[simetrie piritoedrică]] se numește '''dodecaedru diakis'''<ref>{{en icon}} [http://loki3.com/poly/isohedra.html#24k Isohedron 24k]</ref><ref>{{en icon}} [http://metafysica.nl/isometric.html The Isometric Crystal System ]</ref> sau '''diploid'''.<ref>{{en icon}} [https://web.archive.org/web/20130918103121/https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/xlforms.htm The 48 Special Crystal Forms]</ref> Este comun în [[cristalografie]].<br/>

=== Stelare ===
[[Marele octaedru triakis]] este o [[stelare]] a icositetraedrului romboidal.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Robert | last=Williams | title=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design | publisher=Dover Publications, Inc | year=1979 | isbn=0-486-23729-X}} (Section 3-9)
* {{en icon}} {{Citation |last=Wenninger |first=Magnus |author-link=Magnus Wenninger |title=Dual Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 |year=1983 |doi=10.1017/CBO9780511569371}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
* {{en icon}} John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), ''The Symmetries of Things'', {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{Mathworld |urlname=DeltoidalIcositetrahedron |title=Deltoidal icositetrahedron}}
* {{en icon}} {{Mathworld |urlname=CatalanSolid |title=Catalan solid}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20080613172751/http://polyhedra.org/poly/show/36/trapezoidal_icositetrahedron Deltoidal (Trapezoidal) Icositetrahedron] – Interactive Polyhedron model

{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre Catalan]]