Vizualizare sursă pentru „Icosidodecaedru trunchiat”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Icosidodecaedru trunchiat
| image_up = TruncatedicosiDodecahedron.svg
| caption = ([[:Fișier:Truncatedicosidodecahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Truncated icosidodecahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[Poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 62 (30 [[pătrat]]e, 20 [[hexagon |hexagoane]], 12 [[decagon |decagoane]])
| edges = 180
| vertices = 120
| vertex_config = 4.6.10
| schläfli = tr{5,3} sau <math>t\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>|grID-schl2=t<sub>0,1,2</sub>{5,3}
| wythoff = 2 3 5 &#124;
| coxeter = {{CDD|node_1|5|node_1|3|node_1}}
| conway = bD sau taD
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică|I<sub>h</sub>]], H<sub>3</sub>, [5,3], (*532), ordin 120
| rotsymmetry = [[Simetrie icosaedrică|I]], [5,3]<sup>+</sup>, (532), ordin 60
| surface_area = &approx; 174,292 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 206,803 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 6-10: 142,62°<br/>4-10: 148,28°<br/>4-6: &nbsp; 159,095°
| dual = [[Triacontaedru disdiakis]]
| properties =[[Poliedru semiregulat]] ([[zonoedru]]) [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]]
| vertex_figure = Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg
| net = Polyhedron great rhombi 12-20 net.svg
}}
În [[geometrie]] '''icosidodecaedrul trunchiat''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 62 de [[față (geometrie) |fețe]] regulate (30 de [[pătrat]]e, 20 de [[hexagon |hexagoane]] și 12 [[decagon |decagoane]]), 180 de [[latură (geometrie) |laturi]] și 120 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]]. Deoarece fiecare dintre fețele sale are [[simetrie față de centru]], icosidodecaedrul trunchiat este un [[zonoedru]].

Are cele mai multe laturi și vârfuri dintre toate [[poliedru platonic |poliedrele platonice]] și arhimedice, însă [[dodecaedru snub |dodecaedrul snub]] are mai multe fețe. Dintre toate poliedrele tranzitive pe vârfuri are cel mai mare procent (89,80&nbsp;%) din volumul unei [[sferă |sfere]] în care este înscris, doar cu puțin mai mult ca dodecaedrul snub (care are 89,63&nbsp;%) și [[rombicosidodecaedru |micul rombicosidodecaedru]] (care are 89,23&nbsp;%), respectiv [[icosaedru trunchiat |icosaedrul trunchiat]] (care are 86,74&nbsp;%). De asemenea, are de departe cel mai mare volum (206,8 unități cubice) pentru lungimea laturii de 1. Dintre toate poliedrele tranzitive pe vârfuri care nu sunt [[prismă (geometrie) |prisme]] sau [[antiprismă |antiprisme]], are cea mai mare sumă a [[unghi]]urilor la vârfuri (90°&nbsp;+ 120°&nbsp;+ 144°&nbsp;= 354°); doar o prismă sau o antiprismă cu mai mult de 60 de laturi ar avea o sumă mai mare.

[[Poliedru dual |Poliedrul său dual]] este [[triacontaedrul disdiakis |triacontaedru disdiakis]].

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>28</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>31</sub> și indicele Wenninger W<sub>16</sub>.

== Nume alternative ==
[[Fișier:Polyhedron 12-20 big.png|upright=0.6|thumb|left|Icosidodecaedrul,]]
[[Fișier:Polyhedron nonuniform truncated 12-20 big.png|upright=0.6|thumb|left|trunchierea sa]]
[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.png|thumb|Dual, Triacontaedru disdiakis]]
Numele de ''icosidodecaedru trunchiat'' i-a fost dat de [[Johannes Kepler]]. Aceste nume poate crea confuzii, deoarece actual prin [[trunchiere (geometrie) |trunchiere]] un icosidodecaedru are [[dreptunghi]]uri în locul pătratelor, însă ''acel'' poliedru neuniform este [[topologie |topologic]] echivalent cu poliedrul arhimedic numit astfel (nu tocmai riguros). Alte nume sunt:
* ''Icosidodecaedru rombitrunchiat'' ([[Magnus Wenninger]]<ref>{{en icon}} Wenninger, ''Polyhedron...'', Model 16, p. 30)</ref>),
* ''Dodecaedru [[omnitrunchiere |omnitrunchiat]]'' sau ''icosaedru omnitrunchiat'' ([[Norman Johnson]]),

Există un poliedru uniform neconvex cu un nume asemănător: marele rombicosaedru neconvex.

== Arie și volum ==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale icosidodecaedrului trunchiat cu latura de lungime ''a'' sunt:
: <math>\begin{align} A &= 30 \left (1 + \sqrt{3} + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \right)a^2 &&\approx 174,292\,0303\,a^2, \\ V &= \left( 95 + 50\sqrt{5} \right) a^3 &&\approx 206,803\,399\,a^3. \end{align}</math>

Dintre toate poliedrele arhimedice cu lungimile laturilor egale, icosidodecaedrul trunchiat ar fi cel mai mare.

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale [[vârf (geometrie) |vârfurilor]] unui icosidodecaedru trunchiat cu lungimea laturii 2''φ''&nbsp;−&nbsp;2, centrat în origine,<ref>{{en icon}} {{mathworld |title=Icosahedral group |urlname=IcosahedralGroup}}</ref> sunt toate [[permutare |permutările]] ale:
:<math>\left(\,\pm\frac{1}{\varphi},\, \pm\frac{1}{\varphi},\, \pm(3+\varphi)\,\right)</math>
:<math>\left(\,\pm\frac{2}{\varphi},\, \pm\varphi,\, \pm(1+2\varphi)\,\right)</math>
:<math>\left(\,\pm\frac{1}{\varphi},\, \pm\varphi^2,\, \pm(-1+3\varphi)\,\right)</math>
:<math>\left(\,\pm(2\varphi-1,\, \pm2,\, \pm(2+\varphi)\,\right)</math>
:<math>\left(\,\pm\varphi,\, \pm3,\, \pm2\varphi\,\right)</math>
unde <math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}</math> este [[secțiunea de aur]].

== Divizare ==
{| class="wikitable" width=450 align=right
|+ Imagini de divizare
|-
| [[Fișier:Small in great rhombi 12-20, davinci small with cuboids.png|150px]]
| [[Fișier:Small in great rhombi 12-20, davinci.png|150px]]
| [[Fișier:Toroidal_excavated_truncated_Icosidodecahedron.gif|150px]]
|-
| colspan=2| Aceste imagini arată rombicosidodecaedrul (violet) și icosidodecaedrul trunchiat (verde). Dacă lungimea laturilorlor este 1, distanța dintre pătratele corespunzătoare este [[secțiunea de aur|{{mvar|φ}}]].
| Poliedrul toroidal rămas după ce nucleul și cele douăsprezece [[rotondă (geometrie) |rotonde]] sunt îndepărtate
|}
Icosidodecaedrul trunchiat este [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a unui [[rombicosidodecaedru]] cu [[paralelipiped dreptunghic |paralelipipede dreptunghice]] deasupra celor 30 de pătrate, al cărui raport înălțime/bază este [[secțiunea de aur|{{math|φ}}]]. Restul spațiului său poate fi divizat în [[cupolă (geometrie) |cupole]] neuniforme, și anume 12 [[cupolă pentagonală |cupole pentagonale]] între pentagoanele interioare și decagoanele exterioare și 20 de [[cupolă triunghiulară |cupole triunghiulare]] între triunghiurile interioare hexagoanele exterioare.

O divizare alternativă are și un nucleu rombicosidodecaedral. Are 12 [[rotondă pentagonală |rotonde pentagonale]] între pentagoanele interioare și decagoanele exterioare. Partea rămasă este un [[poliedru toroidal]].

== Proiecții ortogonale ==
''Icosidodecaedrul trunchiat'' are șapte [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] particulare, centrate: pe un vârf, pe trei tipuri de muchii și pe trei tipuri de fețe. Ultimele două corespund planelor Coxeter A<sub>2</sub> și H<sub>2</sub>
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Centrată pe
!Vârf
!Latură<br/>4-6
!Latură<br/>4-10
!Latură<br/>6-10
!Față<br/>pătrat
!Față<br/>hexagon
!Față<br/>decagon
|-
!Imagine
|
|
|
|
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 from blue max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 from yellow max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 from red max.png|100px]]
|-
!Cadru de sârmă
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_v.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_e46.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_e4x.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_e6x.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_f4.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_A2.png|100px]]
|[[Fișier:Dodecahedron_t012_H3.png|100px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]<sup>+</sup>
|[2]
|[2]
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!Imagine<br/>dual
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_v.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_e46.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_e4x.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_e6x.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_f4.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_A2.png|100px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron_t012_H3.png|100px]]
|}

== Pavări sferice și diagrame Schlegel ==
Icosidodecaedrul trunchiat poate fi considerat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat într-un plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe [[sferă]] sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].

[[Diagramă Schlegel |Diagramele Schlegel]] sunt similare cu o proiecție în [[perspectivă]] cu muchii drepte.
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|-
!Proiecții ortogonale
!colspan=3|Proiecții stereografice
|- 
!
!Centrată pe decagon
!Centrată pe hexagon
!Centrată pe pătrat
|- style="vertical-align:top;
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t012.png|160px]]
|[[Fișier:Truncated icosidodecahedron stereographic projection decagon.png|160px]]
|[[Fișier:Truncated icosidodecahedron stereographic projection hexagon.png|168px]]
|[[Fișier:Truncated icosidodecahedron stereographic projection square.png|172px]]
|}
{{-}}
== Variații geometrice ==
În [[simetrie icosaedrică |simetria icosaedrică]] există variații geometrice nelimitate ale ''icosidodecaedrului trunchiat'' cu fețe [[figură izogonală|izogonale]]. [[Dodecaedru trunchiat |Dodecaedrul trunchiat]], [[rombicosidodecaedru]]l și [[icosaedru trunchiat |icosaedrul trunchiat]] sunt cazuri la limită [[degenerare (matematică) |degenerate]].
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|[[Fișier:Truncated dodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Great truncated icosidodecahedron convex hull.png|100px]]
|[[Fișier:Nonuniform_truncated_icosidodecahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Uniform_polyhedron-53-t012.png|100px]]
|[[Fișier:Truncated_dodecadodecahedron_convex_hull.png|100px]]
|[[Fișier:Icositruncated_dodecadodecahedron_convex_hull.png|100px]]
|[[Fișier:Truncated icosahedron.png|100px]]
|[[Fișier:Small rhombicosidodecahedron.png|100px]]
|-
|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node}}
|colspan=5|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node_1}}
|{{CDD|node|5|node_1|3|node_1}}
|{{CDD|node_1|5|node|3|node_1}}
|}

== Poliedre și pavări înrudite ==
{| class=wikitable align=right width=320
|[[Fișier:Conway_polyhedron_b3I.png|130px]] 
|[[Fișier:Conway_polyhedron_b3D.png|130px]]
|-
|colspan=2|Icosaedrul și dodecaedrul „papion” conțin două fețe trapezoidale în locul pătratului.<ref>{{en icon}} [http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/papers/bridges2001.html Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170317145003/http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/papers/bridges2001.html |date=2017-03-17 }} Craig S. Kaplan</ref>
|}
{{Trunchieri icosaedrice}}

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu [[configurația vârfului]] (4.6.2''p'') și [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrama Coxeter–Dynkin]] {{CDD|node_1|p|node_1|3|node_1}}. Pentru ''p''&nbsp;<&nbsp;6, membrii secvenței sunt poliedre [[omnitrunchiere |omnitrunchiate]] ([[zonoedru |zonoedre]]), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru ''p''&nbsp;>&nbsp;6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu [[pavare triheptagonală trunchiată |pavarea triheptagonală trunchiată]].
{{Tabel omnitrunchiate}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Citation |last1=Wenninger |first1=Magnus |author1-link=Magnus Wenninger |title=Polyhedron Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-09859-5 |mr=0467493 |year=1974}}
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=79–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
* {{en icon}} Cromwell, P.; [https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82#v=onepage&q=&f=false ''Polyhedra''], CUP hbk (1997), pbk. (1999).
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=GreatRhombicosidodecahedron |title=GreatRhombicosidodecahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra.htm|3D convex uniform polyhedra|x3x5x - grid}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=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&name=Truncated+Icosidodecahedron#applet Editable printable net of a truncated icosidodecahedron with interactive 3D view]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/grid.htm grid]'''
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]
[[Categorie:Zonoedre]]