Vizualizare sursă pentru „Icosidodecaedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Icosidodecaedru
| image_up = IcosiDodecahedron.svg
| caption = ([[:Fișier:Icosidodecahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Icosidodecahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 32 (20 [[triunghi]]uri, 12 [[pentagon |pentagoane]])
| edges = 60
| vertices = 30
| vertex_config = 3.5.3.5
| schläfli = r{5,3}<br/>t<sub>1</sub>{5,3}
| wythoff = 2 &#124; 3 5
| coxeter = {{CDD|node|5|node_1|3|node}}
| conway = aD
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică|I<sub>h</sub>]], H<sub>3</sub>, [5,3], (*532), ordin 120
| rotsymmetry = [[Simetrie icosaedrică|I]], [5,3]<sup>+</sup>, (532), ordin 60
| surface_area = &approx; 29,306 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 13,836 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 142,62° =<br/>= <math>\cos^{-1} \left(-\sqrt{\frac{1}{15}\left(5+2\sqrt{5}\right)}\right)</math>
| dual = [[Triacontaedru rombic]]
| properties = [[Poliedru cvasiregulat]], [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și [[figură izotoxală|laturi]]
| vertex_figure = Polyhedron 12-20 vertfig.svg
| net = Polyhedron 12-20 net.svg
}}
[[Fișier:Polyhedron 12-20 dual max.png|thumb|Dual: Triacontaedru rombic]]
În [[geometrie]] '''icosidodecaedrul''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 32 de [[față (geometrie) |fețe]] [[poligon regulat |regulate]] (20 [[triunghi]]ulare și 12 [[pentagon]]ale), 24 de [[latură (geometrie) |laturi]] (muchii) identice, care fiecare sunt la limita dintre un triunghi și un pentagon. Are 30 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]], în fiecare întâlnindu-se două triunghiuri și două pentagoane, care alternează. Ca atare, este un [[poliedru cvasiregulat]]

Dualul său este [[triacontaedru rombic |triacontaedrul rombic]].

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>24</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>28</sub> și indicele Wenninger W<sub>12</sub>.

Proiectat într-o [[sferă]], laturile unui icosidodecaedru definesc 6 [[cerc mare |cercuri mari]]. [[Buckminster Fuller]] a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 15 și alte 10 din alte două poliedre pentru a-și defini cele [[31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic]].


== Geometrie ==
Un icosidodecaedru are [[simetrie icosaedrică]], iar prima sa [[stelare]] este [[Compus de dodecaedru și icosaedru |compusul de dodecaedru și icosaedrul său dual]], cu vârfurile icosidodecaedrului situate la mijlocul laturilor fiecăruia.

Dualul său este triacontaedrul rombic. Un icosidodecaedru poate fi împărțit de-a lungul oricăruia dintre cele șase plane ecuatoriale pentru a forma o pereche de [[rotondă pentagonală |rotonde pentagonale]], care sunt [[poliedru Johnson |poliedre Johnson]].

Icosidodecaedrul poate fi considerat o ''girobirotondă pentagonală'', ca o combinație a două rotonde pentagonale (a se compara cu [[ortobirotondă pentagonală |ortobirotonda pentagonală]], altul dintre poliedrele Johnson). În această formă simetria sa este [[simetrie diedrală|D<sub>5d</sub>]], [10,2<sup>+</sup>], (2*5), ordin 20.

Figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului constă din șase [[decagon |decagoane]] regulate, care se întâlnesc câte două în fiecare dintre cele 30 de vârfuri.

Icosidodecaedrul are 6 [[decagon |decagoane]] centrale. Proiectate pe o sferă, ele definesc 6 [[cerc mare |cercuri mari]]. [[Buckminster Fuller]] a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 10 și alte 15 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic.

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui icosidodecaedru centrat în origine cu lungimea laturii 1 sunt date de permutările pare ale:{{Sfn|Coxeter|1973|p=52|loc=§3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids}}<ref>{{en icon}} {{mathworld |title=Icosahedral group |urlname=IcosahedralGroup}}</ref>
* (0, 0, ±''φ'')
* (±{{sfrac|1|2}}, ±{{sfrac|''φ''|2}}, ±{{sfrac|''φ''<sup>2</sup>|2}})
unde ''φ'' este [[secțiunea de aur]], {{sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}}.

Raza lungă (de la centru la vârf) a icosidodecaedrului este în [[secțiunea de aur |raportul de aur]] cu lungimea laturii sale; astfel, raza sa este ''φ'' dacă lungimea laturii este 1, iar lungimea laturii este {{sfrac|1|''φ''}} dacă raza este 1. Doar câteva politopuri uniforme au această proprietate, cum ar fi [[600-celule]] [[cvadridimensional]], icosidodecaedrul [[tridimensional]] și [[decagon]]ul [[bidimensional]]. (Icosidodecaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a unui 600-celule, iar decagonul este secțiunea transversală ecuatorială a unui icosidodecaedru.) Aceste politopuri „de aur radiale” pot fi construite, cu razele lor, din [[triunghi de aur |triunghiuri de aur]] care se întâlnesc în centru, fiecare contribuind cu două raze și o latură.

== Arie și volum ==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale unui icosidodecaedru cu lungimea laturii ''a'' sunt:
:<math>A = \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\sqrt{3 + 4\varphi}\right) a^2 = \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 \approx 29,3059828~a^2,</math>
:<math>V = \frac{14+17\varphi}{3} a^3 = \frac{45+17\sqrt{5}}{6} a^3 \approx 13,8355259~a^3.</math>

== Proiecții ortogonale ==
Icosidodecaedrul are patru [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]], centrate pe un vârf, pe o latură și pe două tipuri de fețe: triunghiulare și pentagonale. Ultimele două corespund cu planele Coxeter A<sub>2</sub> și H<sub>2</sub>.
{|class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Centrată pe
!Vârf
!Latură
!Fața<br/>triunghi
!Fața<br/>pentagon
|-
!Imagine
|[[Fișier:Polyhedron 12-20 from blue max.png|120px]]
|
|[[Fișier:Polyhedron 12-20 from yellow max.png|120px]]
|[[Fișier:Polyhedron 12-20 from red max.png|120px]]
|-
!Cadru de sârmă
|[[Fișier:Dodecahedron t1 v.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t1 e.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t1 A2.png|120px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t1 H3.png|120px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!Dual
|[[Fișier:Dual dodecahedron t1 v.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron t1 e.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron t1 A2.png|120px]]
|[[Fișier:Dual dodecahedron t1 H3.png|120px]]
|}

== Pavări sferice  ==
{{imagine multiplă
 | align = right  | total_width = 300
 | image1 = Polyhedron 12-20, davinci.png
 | image2 = Spherical icosidodecahedron with colored cicles.png
 | footer = Cele 60 de laturi formează 6 decagoane corespunzând cercurilor mari din pavarea sferică.
}}

Icosidodecaedrul poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|- style="valign:top"
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t1.png|160px]]<br/>&nbsp;
|[[Fișier:icosidodecahedron stereographic projection pentagon.png|160px]]<br/>Centrată pe pentagon
|[[Fișier:icosidodecahedron stereographic projection triangle.png|160px]]<br/>Centrată pe triunghi
|-
![[Proiecție ortogonală]]
!colspan=2|[[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]]
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Proiecții sferice ortogonale
|-
| [[Fișier:Spherical icosidodecahedron with colored cicles, 2-fold.png|160px]]
| [[Fișier:Spherical icosidodecahedron with colored cicles, 3-fold.png|160px]]
| [[Fișier:Spherical icosidodecahedron with colored cicles, 5-fold light.png|160px]]
|-
|colspan="3"| pe [[axă de simetrie |axe de simetrie]] cu 2, 3 și 5 poziții
|}
=== Divizare ===
{|class="wikitable" align=right style="text-align:center;"
|rowspan=3|[[Fișier:Dissected icosidodecahedron.png|200px]]<br/>(Divizare)
|[[Fișier:Icosidodecahedron.png|100px]]<br/>Icosidodecaedru<br/>(''girobirotondă pentagonală'')
|-
|[[Fișier:Pentagonal orthobirotunda solid.png|100px]]<br/>Ortobirotondă pentagonală
|-
|[[Fișier:pentagonal rotunda.png|100px]]<br/>Rotondă pentagonală
|}
Icosidodecaedrul este asemănător cu poliedrul Johnson [[ortobirotondă pentagonală]] creat de două [[rotondă pentagonală |rotonde pentagonale]] conectate ca imagini în oglindă. Prin urmare, ''icosidodecaedrul'' poate fi numit ''girobirotondă pentagonală'' cu girația între jumătățile superioară și inferioară.

Icosidodecaedrul este un [[dodecaedru]] [[rectificare (geometrie) |rectificat]] și, de asemenea, un [[icosaedru]] rectificat, fiind o trunchiere completă a laturilor între aceste poliedre regulate. Icosidodecaedrul conține 12 pentagoane care provin de la dodecaedru și 20 de triunghiuri de la icosaedru:
{{Trunchieri icosaedrice}}

Icosidodecaedrul există într-o succesiune de simetrii de poliedre și pavări cvasiregulate cu [[configurația vârfului |configurații ale vârfului]] (3.''n'')<sup>2</sup>, de la pavări sferice la planul euclidian și planul hiperbolic. Cu [[notația orbifold]] a simetriei *''n''32 toate aceste pavări sunt [[construcția Wythoff |construcții Wythoff]] într-un [[domeniu fundamental]] de simetrie, cu puncte generatoare în [[unghi drept |unghiul drept]] al domeniului.<ref>{{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] ''Regular Polytopes'', Third edition, (1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction, pp.86–88)</ref><ref>{{en icon}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.30.8536 ''Two Dimensional symmetry Mutations''] by Daniel Huson</ref>
{{Tabel cvasiregulate3 mic}}

{{Tabel cvasiregulate5}}

[[Fișier:Icosidecahedron in truncated cube.png|thumb|Icosidodecaedru în cub trunchiat]]
Un [[cub trunchiat]] poate fi transformat într-un icosidodecaedru prin divizarea octogoanelor în două pentagoane și două triunghiuri. Are [[simetrie piritoedrică]].

Opt [[poliedru stelat uniform |poliedre stelate uniforme]] au același aranjament al vârfurilor. Dintre acestea, două au același aranjament al laturilor: [[micul icosihemidodecaedru]] (care are fețele triunghiulare în comun) și [[micul dodecahemidodecaedru]] (care are fețele pentagonale în comun). [[Aranjamentul vârfurilor]] este, de asemenea, la fel cu al [[compus poliedric uniform |compușilor]] de [[compus de cinci octaedre|cinci octaedre]] și de [[compus de cinci tetrahemihexaedre |cinci tetrahemihexaedre]].
{|class="wikitable" width="400" style="text-align:center"
|-<!-- style="vertical-align:top"-->
|[[Fișier:Icosidodecahedron.png|100px]]<br/>Icosidodecaedru
|[[Fișier:Small icosihemidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Micul icosihemidodecaedru]]
|[[Fișier:Small dodecahemidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Micul dodecahemidodecaedru]]
|-
|[[Fișier:Great icosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru]]
|[[Fișier:Great dodecahemidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele dodecahemidodecaedru]]
|[[Fișier:Great icosihemidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosihemidodecaedru]]
|-
|[[Fișier:Dodecadodecahedron.png|100px]]<br/>[[Dodecadodecaedru]]
|[[Fișier:Small dodecahemicosahedron.png|100px]]<br/>[[Micul dodecahemicosaedru]]
|[[Fișier:Great dodecahemicosahedron.png|100px]]<br/>[[Marele dodecahemicosaedru]]
|-
|[[Fișier:Compound of five octahedra.png|100px]]<br/>[[Compus de cinci octaedre]]
|[[Fișier:UC18-5 tetrahemihexahedron.png|100px]]<br/>[[Compus de cinci tetrahemihexaedre]]
|}

== Politopuri înrudite ==
În geometria cvadridimensională icosidodecaedrul apare ca [[secțiune]] [[ecuator]]ială prin [[600-celule]], vizibilă în primul moment al trecerii acestui politop prin spațiul tridimensional. Cu alte cuvinte, cele 30 de vârfuri ale acelui 600-celule care se află la distanțe de arc de 90° pe [[hipersferă |hipersfera]] circumscrisă printr-o pereche de vârfuri opuse sunt vârfurile unui icosidodecaedru. Figura cadru de sârmă a 600-celule este formată din 72 de decagoane regulate plane. Șase dintre acestea sunt decagoane ecuatoriale printr-o pereche de vârfuri opuse. Ele sunt tocmai cele șase decagoane care formează figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry" |chapter=Archimedean solids |location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press |pages=79–86 |isbn=0-521-55432-2 |oclc=180091468}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=Icosidodecahedron |title=Icosidodecahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1D1NiLVqdeGtmgRYVoqDtRVdULYX8yuwCc3QmkefHkBBQFfG061UUcmoeyIbYKETw4p9pLg3WecHMPxDRy8JGaGKHlYWQJCqLbA3yu66NU9ZKOdvejvHBGtMuZp4O89LBszvnEgWNFbU7I2JwhnVp8hQBn8wSw1ifNCAzgGapWzCkvOVoJPQgcrWxuNXlSA1ESwiCSBVdqj7pKquEaYsKQyb&name=Icosidodecahedron#applet Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/id.htm id]'''{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Poliedre cvasiregulate]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]