Vizualizare sursă pentru „Hosoedru”

{{Infocaseta Poligon
| name = Hosoedre regulate ''n''-gonale
| image = Hexagonal Hosohedron.svg
| caption = Exemplu de hosoedru hexagonal regulat pe o sferă
| type = [[Poligon regulat]] sau<br/>[[pavare sferică]]
| faces =''n'' [[digon |digoane]]
| edges         =''n''
| vertices      =2
| schläfli      ={2,''n''}
| wythoff       =''n'' {{!}} 2 2
| coxeter       ={{CDD|node_1|2x|node|n|node}}
| symmetry      =D<sub>''n''h</sub>, [2,n], (*22n), [[ordin de simetrie|ordin]] 4n
| rotsymmetry   =D<sub>''n''</sub>, [2,n]<sup>+</sup>, (22n), ordin 2n
| angle =
| dual = [[diedru]] ''n''-gonal regulat
| properties =
| vertex_figure = 
| net =
}}

[[Fișier:BeachBall.jpg|thumb|Dacă se omit peticele rotunde, această [[minge de plajă]] ar fi un hosoedru cu 6 [[față (geometrie) |fețe]] în formă de [[fus sferic |fusuri sferice]]]]

În [[geometrie sferică |geometria sferică]], un '''hosoedru''' ''n''-gonal este o [[pavare]] de [[fus sferic|fusuri]] pe o [[Sferă |suprafață sferică]], astfel încât toate fusurile au în comun aceleași două [[vârf (geometrie) |vârfuri]], situate la [[punct antipodal |antipozi]].

Un hosoedru ''n''-gonal [[poligon regulat|regulat]] are [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {2,&nbsp;''n''}, fiecare fus sferic având unghiurile interne {{sfrac|2{{mvar|&pi;}}|''n''}} [[radian]]i ({{sfrac|360|''n''}} grade).<ref>Coxeter, ''Regular polytopes'', p. 12</ref><ref>McMullen, Schulte, ''Abstract Regular polytopes'', p. 161</ref>

== Etimologie ==
Termenul de „hosoedru” pare să provină din grecescul ''ὅσος'' (hosos = câte), ideea fiind că un hosoedru poate avea ''atâtea fețe cât se dorește''.<ref name="Schwartzman1994">{{en icon}} {{cite book|author=Steven Schwartzman|title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English|url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw|url-access=registration|date=1 January 1994|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-511-9|pages=[https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw/page/108 108]–109}}</ref> A fost introdus în secolul al XVIII-lea de Vito Caravelli.<ref>{{en icon}} {{cite book | title=Regular Complex Polytopes | publisher=Cambridge University Press | author=Coxeter, H.S.M. | year=1974 | location=London | pages=20 | isbn=0-521-20125-X | quote=The hosohedron {2,p} (in a slightly distorted form) was named by Vito Caravelli (1724–1800) …}}</ref>

== Hosoedrele ca poliedre regulate ==
Pentru un poliedru regulat al cărui simbol Schläfli este {''m'',&nbsp;''n''}, numărul de fețe poligonale este:
:<math>N_2=\frac{4n}{2m+2n-mn}.</math>

[[Poliedru platonic |Poliedrele platonice]], cunoscute din antichitate, sunt singurele soluții întregi pentru {{mvar|m}} ≥ 3 și {{mvar|n}} ≥ 3. Restricția {{mvar|m}} ≥ 3 impune ca fețele poligonale să aibă la cel puțin trei laturi.

Când se consideră suprafața poliedrelor ca o [[pavare sferică]] această restricție poate fi relaxată, deoarece [[digon |digoanele]] (2-goane) pot fi reprezentate ca fusuri sferice, având [[arie |aria]] diferită de zero.

Cu {{mvar|m}} = 2 se obține
:<math>N_2=\frac{4n}{2\times2+2n-2n}=n,</math>
care formează o nouă clasă infinită de poliedre regulate, hosoedrele. Pe o suprafață sferică, poliedrul {2,&nbsp;''n''} este reprezentat ca ''n'' fusuri adiacente, cu unghiuri interioare de {{sfrac|2{{mvar|&pi;}}|''n''}}. Toate aceste fusuri sferice au cele două vârfuri comune.

{| class="wikitable" width="320"
|[[Fișier:Trigonal_hosohedron.png|160px]]<br />Un hosoedru trigonal regulat, {2,3}, reprezentat ca o teselare de 3 fusuri sferice pe o sferă
|[[Fișier:4hosohedron.svg|160px]]<br /> Un hosoedru tetragonal regulat, {2,4}, reprezentat ca o teselare de 4 fusuri sferice pe o sferă
|}

{{Pavări hosoedrice regulate}}

== Simetrie caleidoscopică ==
Cele 2''n'' fețe în formă de fusuri sferice ale unui 2''n''-hosoedru, {2,2''n''}, reprezintă domeniile fundamentale ale [[simetrie diedrală în spațiul tridimensional |simetriei diedrale tridimensionale]]: simetria cercului C<sub>''n''v</sub>, [''n''], (*''nn''), [[ordin de simetrie|ordin]] 2''n''. Domeniile de reflexie pot fi afișate prin fusuri colorate alternativ ca imagini în oglindă.

Divizarea fiecărui fus în două triunghiuri sferice creează o [[bipiramidă]] {{mvar|n}}-gonală, care reprezintă [[simetrie diedrală |simetria diedrală]] D<sub>''n''h</sub>, ordin 4''n''.

{|class="wikitable" width=480
!Simetrie ([[ordin de simetrie|ordin]] 2''n'')
!C<sub>''n''v</sub>, [''n'']
!C<sub>1v</sub>, [ ]
!C<sub>2v</sub>, [2]
!C<sub>3v</sub>, [3]
!C<sub>4v</sub>, [4]
!C<sub>5v</sub>, [5]
!C<sub>6v</sub>, [6]
|-
!Hosoedru 2''n''-gonal
!Simbol Schläfli {2,2''n''}
!{2,2}
!{2,4}
!{2,6}
!{2,8}
!{2,10}
!{2,12}
|-
!Imagine
!Colorare alternată a<br>domeniilor fundamentale
|[[Fișier:Spherical digonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Fișier:Spherical square hosohedron2.png|80px]]
|[[Fișier:Spherical hexagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Fișier:Spherical octagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Fișier:Spherical decagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Fișier:Spherical dodecagonal hosohedron2.png|80px]]
|}

== Poliedre înrudite ==
[[Poliedru dual|Poliedrul dual]] al hosoedrului ''n''-gonal {2,&nbsp;''n''} este [[diedru]]l ''n''-gonal, {''n'',&nbsp; 2}. Poliedrul {2,2} este autodual și este atât un hosoedru cât și un diedru.

Un hosoedru poate fi modificat în același mod ca și celelalte [[poliedru |poliedre]] pentru a produce o variantă [[trunchiere (geometrie) |trunchiată]]. Hosoedrul ''n''-gonal trunchiat este [[Prismă (geometrie) |prisma]] ''n''-gonală.

== Hosohedrul apeirogonal ==
[[Fișier:Apeirogonal hosohedron.png|thumb|Hosohedru apeirogonal]]
La limită, hosoedrul devine un [[hosoedru apeirogonal]] ca o teselare bidimensională:

== Hosotopuri ==
Analoagele multidimensionale se numesc '''hosotopuri'''. Un hosotop regulat cu simbolul Schläfli {2,''p'',...,''q''} are două vârfuri, fiecare cu [[figura vârfului]] {''p'',. ..,''q''}.

Hosotopul [[bidimensional]], {2}, este [[digon]]ul.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, H.S.M]], ''Regular Polytopes'' (third edition), Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-61480-8}}
* {{en icon}} {{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Hosohedron | title = Hosohedron}}
{{Poliedre}}
{{Poliedre convexe}}
{{Teselări}}

[[Categorie:Poliedre regulate]]
[[Categorie:Teselări]]