Vizualizare sursă pentru „Homomorfism”

{{Distinguish|holomorfism|homeomorfism}}
În [[algebră]], printr-un '''homomorfism''' este o [[aplicație]] care conservă structura între două [[structură algebrică |structuri algebrice]] de același tip (așa cum ar fi două [[Grup (matematică)|grupuri]], două [[Inel (matematică)|inele]] sau două [[Spațiu vectorial|spații vectoriale]]). Cuvântul ''homomorfism'' provine din limba [[Limba greacă veche|greacă veche]] - '''ὁμός''' (''homos''), care înseamnă „''același''” și - '''μορφή''' (''morfon'') care înseamnă „''formă”.'' Totuși, cuvântul a fost aparent introdus în [[matematică]] din cauza unei (greșite) traduceri a cuvântului german {{de|ähnlich}} cu sensul de ''similar'' comparativ cu {{lang|grc|ὁμός}}, care semnifică ''același''.<ref>{{Cite book|last=Fricke|first=Robert|url=https://archive.org/details/vorlesungenber01fricuoft/page/n5/mode/2up|title=Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen|date=1897–1912|publisher=B.G. Teubner|oclc=29857037}}</ref>

Termenul folosit astăzi, homomorfism, a fost prima dată menționat în [[1892 în matematică|1892]], fiind atribuit matematicianului german [[Felix Klein]] (1849–1925).<ref>A se vedea:
*  {{cite journal |last1=Ritter |first1=Ernst |title=Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze |journal=Mathematische Annalen |date=1892 |volume=41 |pages=1–82 |doi=10.1007/BF01443449 |s2cid=121524108 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102918109&view=1up&seq=15 |trans-title=The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem |language=de}}  [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102918109&view=1up&seq=36 From footnote on p. 22]:  ''"Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen:  "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des ''holoedrischen'' Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … "'' (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a ''holohedric'' isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", … )
*  {{cite journal |last1=Fricke |first1=Robert |title=Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen |journal=Mathematische Annalen |date=1892 |volume=41 |pages=443–468 |doi=10.1007/BF01443421 |s2cid=120022176 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102918109&view=1up&seq=471 |trans-title=On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7) |language=de}}  [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102918109&view=1up&seq=494 From p. 466:]  ''"Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ<sub>(63)</sub> auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet."'' (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ<sub>(63)</sub> is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.)  From footnote on p. 466:  ''"*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"."''  (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)</ref>

Homomorfismele spațiilor vectoriale sunt numite și [[transformare liniară |transformări liniare]], iar studiul lor este subiectul [[Algebră liniară|algebrei liniare]].

Conceptul de homomorfism a fost generalizat, sub denumirea de [[morfism]], la multe alte structuri, care fie nu au o [[mulțime]] subiacentă, fie nu sunt algebrice. Această generalizare este punctul de plecare al [[Teoria categoriilor|teoriei categoriilor]].

Un homomorfism poate fi, de asemenea, un [[izomorfism]], un [[endomorfism]], un [[automorfism]], șamd, ... (vezi mai jos). Fiecare dintre acestea poate fi definit într-un mod care poate fi generalizat la orice [[clasă de morfisme]].

== Definiție ==
Un homomorfism este o ''aplicație matematică'' între două structuri algebrice de același tip, care conservă [[Operație (matematică)|operația]] matematică a structurilor.

Ceea ce se poate scrie formal <math>f: A \to B</math> între două mulțimi <math>A</math>, <math>B</math>, care au aceeasși structură astfel încât, dacă  <math>\cdot</math> este operația structurii (presupusă aici, pentru simplitate, a fi o [[operație binară]]), atunci
:<math>f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)</math>
pentru orice pereche <math>x</math>, <math>y</math> de elemente ale mulțimii <math>A</math>.<ref group="note">

Așa cum este adesea cazul, dar nu întotdeauna, același simbol pentru funcționarea ambelor <math>A</math> și <math>B</math> a fost folosit aici. Se poate spune că <math>f</math> menține operația sau este compatibilă cu operația.

Astfel, formal, o aplicație de tipul <math>f: A\to B</math> menține o operație matematică <math>\mu</math> de [[aritate]] ''k'', definită atât de <math>A</math> cât și de <math>B</math> dacă
:<math>f(\mu_A(a_1, \ldots, a_k)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_k)),</math> 
pentru toate elementele <math>a_1, ..., a_k</math> din <math>A</math>.

Operațiile care trebuiesc a fi menținute de un homomorfism includ [[Aritate#Nular%C4%83|cele nulare]], adică constantele. În special, atunci când un element de identitate este cerut de un anumit tip de structură, elementul de identitate al primei structuri trebuie mapat la elementul de identitate corespunzător al celei de-a doua structuri.

== Note, referințe ==
<references/>

== Bibliografie ==
* Krieger, Dalia (2006). "On critical exponents in fixed points of non-erasing morphisms". ''Developments in Language Theory: Proceedings 10th International Conference, DLT 2006, Santa Barbara, CA, USA, June 26–29, 2006''. Oscar H. Ibarra, Zhe Dang. [[Springer-Verlag]]. pp.&nbsp;280–291. [[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/3-540-35428-X|<bdi>3-540-35428-X</bdi>]].
* {{cite book | url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf | isbn=978-0-9880552-0-9 | author1=Stanley N. Burris | author2=H.P. Sankappanavar | title=A Course in Universal Algebra | year=2012 }}
* {{citation | first1 = Saunders | last1 = Mac Lane| author-link=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | volume=5 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=0-387-90036-5 | year=1971 | zbl=0232.18001 }}
* {{citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | first2 = Victor J. | last2 = Katz | year = 2003 | title = A First Course in Abstract Algebra | publisher = Addison-Wesley | isbn= 978-1-292-02496-7}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{ien}}[https://www.britannica.com/science/homomorphism  Homomorphism - Homomorfism] pe [https://www.britannica.com/science/ Britannica] 
* {{ien}} [https://www.math.columbia.edu/~rf/homomorphisms.pdf  Homomorphism - Homomorfism] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230202134703/https://www.math.columbia.edu/~rf/homomorphisms.pdf |date=2023-02-02 }} ] pe web site-ul [https://www.math.columbia.edu/ Universității Columbia]

{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Morfisme]]