Vizualizare sursă pentru „Hipersuprafață”

În [[geometrie]] o '''hipersuprafață''' este o generalizare a conceptelor de [[hiperplan]], [[curbă plană]] și [[suprafață]]. O suprafață este o [[varietate (geometrie) |varietate]] sau o {{ill-wd|Q648995}} de [[dimensiune (matematică) |dimensiune]] {{mvar|''n''}}–1, care este încorporată într-un spațiu ambiental de dimensiune {{mvar|''n''}}, în general un [[spațiu euclidian]], un [[spațiu afin]] sau un {{ill-wd|Q877775}}.<ref>{{en icon}} {{cite book |first=Jeffrey |last=Lee |title=Manifolds and Differential Geometry |chapter=Curves and Hypersurfaces in Euclidean Space |location=Providence |publisher=American Mathematical Society |year=2009 |pages=143–188 |isbn=978-0-8218-4815-9 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=QqHdHy9WsEoC&pg=PA143 }}</ref> Hipersuprafețele au aceeași proprietate ca și suprafețele dintr-un [[spațiu tridimensional]], a de a fi definite de câte o singură {{ill-wd|Q1196523||ecuație implicită}}, cel puțin local (în apropierea fiecărui [[punct (geometrie) |punct]]), și uneori global.

O hipersuprafață într-un spațiu (euclidian, afin sau proiectiv) [[bidimensional]] este o curbă plană. Într-un spațiu [[tridimensional]] este o suprafață.

De exemplu, ecuația
:<math>x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-1=0</math>
definește o hipersuprafață algebrică de [[dimensiunea unei varietăți algebrice |dimensiunea]] {{mvar|''n''}}−1 în spațiul euclidian de dimensiunea {{mvar|''n''}}. Această hipersuprafață este și o varietate ''{{ill-wd| Q868473||netedă}}'', și este numită [[hipersferă]] sau [[N-sferă|({{mvar|''n''}}–1)-sferă]].

==Hipersuprafață netedă ==
O hipersuprafață care este o varietate netedă se numește ''hipersuprafață netedă''.

În {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} o hipersuprafață netedă este {{ill-wd| Q2748415||orientabilă}}.<ref>{{en icon}} [[Hans Samelson]] (1969) [https://www.ams.org/journals/proc/1969-022-01/S0002-9939-1969-0245026-9/S0002-9939-1969-0245026-9.pdf "Orientability of hypersurfaces in '''R'''<sup>''n''</sup>]", ''[[Proceedings of the American Mathematical Society]]'' 22(1): 301,2 </ref> Orice  hipersuprafață netedă [[spațiu compact |compactă]] [[mulțime conexă |conexă]] este o [[curbă de nivel]], și separă '''R'''<sup>''n''</sup> în două componente conexe; acest lucru este legat de [[Teorema lui Jordan |teorema separării Jordan–Brouwer]].<ref name="Lima">{{en icon}} {{cite journal |first=Elon L. |last=Lima |title=The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces |journal=The American Mathematical Monthly |volume=95 |issue=1 |year=1988 |pages=39–42 |doi=10.1080/00029890.1988.11971963 }}</ref>

== Hipersuprafață algebrică afină ==
O '''hipersuprafață algebrică''' este o varietate algebrică care poate fi definită printr-o singură ecuație implicită de forma
:<math>p(x_1, \ldots, x_n)=0,</math>
unde {{mvar|p}} este un [[polinom]] multivariat. În general, polinomul ar trebui să fie un [[polinom ireductibil |ireductibil]]. Dacă nu este cazul, suprafața nu este o varietate algebrică, ci doar o [[mulțime algebrică]]. Poate depinde de autori sau de context dacă un polinom reductibil definește o hipersuprafață. Pentru a evita ambiguitatea este adesea folosit termenul de ''hipersuprafață ireductibilă''.

La o varietate algebrică, coeficienții polinomului care o definește pot aparține oricărui [[corp (matematică) |corp]] fix {{mvar|k}}, iar punctele suprafeței sunt [[zero al unei funcții |zerourile]] lui {{mvar|p}} în spațiul afin <math>K^n,</math> unde {{mvar|K}} este o [[corp algebric închis#Alte_proprietăți |extensie închisă algebric]] a lui {{mvar|k}}.

=== Proprietăți ===
Hipersuprafețele au unele proprietăți specifice care nu se întâlnesc la alte varietăți algebrice.

Una dintre principalele astfel de proprietăți este {{ill-wd| Q1068976||teorema zerourilor}}, care afirmă că o hipersuprafață conține o anumită mulțime algebrică [[dacă și numai dacă]] polinomul care definește hipersuprafața are o putere care aparține [[Ideal (teoria inelelor)|idealului]] generat de polinoamele care definesc mulțimea algebrică.

Un corolar al acestei teoreme este că, dacă două polinoame ireductibile (sau, mai general, două [[polinom liber de pătrate |polinoame libere de pătrate]]) definesc aceeași hipersuprafață, atunci unul este produsul celuilalt cu o constantă diferită de zero.

Hipersuprafețele sunt exact subvarietățile de [[dimensiunea unei varietăți algebrice |dimensiunea]] {{mvar|''n''}}–1 ale unui spațiu afin de dimensiunea {{mvar|''n''}}. Aceasta este interpretarea geometrică a faptului că într-un inel de polinoame peste un corp, [[dimensiune Krull |dimensiunea Krull]] a unui ideal este 1 dacă și numai dacă idealul este un [[ideal principal]]. În cazul posibilelor suprafețe reductibile, acest rezultat poate fi reformulat astfel: hipersuprafețele sunt exact mulțimile algebrice ale căror componente ireductibile au dimensiunea {{mvar|''n''}}–1.

===Puncte reale și raționale ===
O ''hipersuprafață reală'' este o hipersuprafață care este definită de un polinom cu coeficienți [[număr real |reali]]. În acest caz, [[corp algebric închis |corpul algebric închis]] peste care sunt definite punctele este, în general, corpul <math>\mathbb C</math> al numerelor complexe. ''Punctele reale'' ale unei hipersuprafețe reale sunt punctele care aparțin <math>\mathbb R^n \subset \mathbb C^n</math>. Mulțimea punctelor reale ale unei hipersuprafețe reale este ''partea reală'' a hipersuprafeței. Adesea se lasă în seama contextului dacă termenul de ''hipersuprafață'' se referă la toate punctele sau doar la partea reală.

Dacă coeficienții polinomului de definire aparțin unui corp {{mvar|k}} care nu este  închis algebric (de obicei corpul numerelor raționale, un [[corp finit]] sau un {{ill-wd| Q616608}}), se spune că suprafața este ''definită peste'' {{mvar|k}}, iar punctele care aparțin lui <math>k^n</math> sunt ''raționale'' peste {{mvar|k}} (în cazul corpului numerelor raționale, ''peste {{mvar|k}}'' este în general omis).

De exemplu, [[N-sferă|{{mvar|''n''}}-sfera]] imaginară definită de ecuația
:<math>x_0^2 +\cdots+x_n^2 +1=0</math>
este o hipersuprafață reală fără nici un punct real, care este definită peste numerele raționale. Nu are nici un punct rațional, dar are multe puncte care sunt raționale peste [[Număr gaussian |numerele raționale gaussiene]].

== Hipersuprafață algebrică proiectivă ==
O '''hipersuprafață (algebrică) proiectivă''' de dimensiune {{mvar|''n''}}–1 într-un spațiu proiectiv de dimensiune {{mvar|''n''}} peste un corp {{mvar|''k''}} este definită de un [[polinom omogen]] <math>P(x_0, x_1, \ldots, x_n)</math> cu {{mvar|''n''}}&nbsp;+&nbsp;1 necunoscute. Ca de obicei, prin „polinom omogen” se înțelege că toate [[monom |monoamele]] din {{mvar|''P''}} au același [[monom#Grad|grad]] sau, echivalent cu <math><P(cx_0, cx_1, \ldots, cx_n )=c^dP(x_0, x_1, \ldots, x_n)</math> pentru fiecare constantă {{mvar|''c''}}, unde {{mvar|''d''}} este [[gradul unui polinom|gradul]] polinomului. Punctele suprafeței sunt punctele spațiului proiectiv ale cărui [[coordonate omogene |coordonate proiective]] sunt zerourile lui {{mvar|''P''}}.

Dacă se alege [[hiperplan]]ul cu ecuația <math>x_0=0</math> ca [[hiperplan de la infinit]], complementul acestui hiperplan este un spațiu afin și punctele hipersuprafeței proiective care aparțin acestui spațiu afin formează o hipersuprafață afină cu ecuația <math>P(1, x_1, \ldots, x_n) = 0,</math> care definește o hipersuprafață proiectivă, numită ''completare proiectivă'', a cărei ecuație este obținută prin omogenizarea lui {{mvar|''p''}}. Adică, ecuația completării proiective este <math>P(x_0, x_1, \ldots, x_n)=0,</math> <math> P (x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0 ^ dp (x_1 / x_0, \ldots, x_n / x_0), </math>
unde {{mvar|''d''}} este gradul lui {{mvar|''P''}}.

Aceste două procese, completarea și [[restricție (matematică) |restricționarea]] la un subspațiu afin sunt inverse unul față de altul. Prin urmare, o hipersuprafață afină și completarea sa proiectivă au în esență aceleași proprietăți și sunt adesea considerate ca două puncte de vedere pentru aceeași hipersuprafață.

Totuși, se poate întâmpla ca o hipersuprafață afină să fie [[punct singular al unei varietăți algebrice |nesingulară]], în timp ce completarea sa proiectivă are puncte singulare. În acest caz, se spune că suprafața afină este ''singulară la infinit''. De exemplu [[cilindru (geometrie) |cilindrul]] a cărui ecuație este
: <math> x ^ 2 + y ^ 2-1 = 0 </math>
în spațiul afin tridimensional are un punct singular unic, care este la [[infinit]], în direcția <math>x=0, \, y=0</math>.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Springer|id=H/h048520|title=Hypersurface}}
* {{en icon}} [[Shoshichi Kobayashi]] and [[Katsumi Nomizu]] (1969), [[Foundations of Differential Geometry]] Vol II, [[Wiley Interscience]]
* {{en icon}} P.A. Simionescu & D. Beal (2004) [https://dx.doi.org/10.1007/s00371-004-0260-4 Visualization of hypersurfaces and multivariable (objective) functions by partial globalization], ''The Visual Computer'' 20(10):665&ndash;81.

{{Portal|Matematică}}
{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}

[[Categorie:Geometrie algebrică]]
[[Categorie:Geometrie multidimensională]]