Vizualizare sursă pentru „Grupul triunghiului (2,3,7)”

În teoria {{ill-wd| Q753035||suprafețelor Riemann}} și a [[geometrie hiperbolică |geometriei hiperbolice]] '''grupul triunghiului (2,3,7)''' este deosebit de important. Această importanță provine din legătura sa cu {{ill-wd| Q2226695||suprafețele Hurwitz}}, și anume, suprafețele Riemann din [[gen (matematică) |genul]] ''g'' de cel mai mare ordin posibil, 84(''g''&nbsp;−&nbsp;1), din [[grup de automorfisme |grupul său de automorfisme]].

O notă despre terminologie: ''grupul triunghiului (2,3,7)'' nu se referă la grupul triunghiului ''plin'' Δ(2,3,7) ([[grup Coxeter |grupul Coxeter]] cu [[triunghi Schwarz |triunghiul Schwarz]] (2,3,7) sau o realizare ca un grup de reflexii hiperbolic, ci la grupul triunghiului ''obișnuit'' (grupul von Dyck) ''D''(2, 3,7) a transformărilor care conservă orientarea (grupul de rotație), indice 2.

Subgrupurile normale fără torsiune ale grupului triunghiului (2,3,7) sunt {{ill-wd| Q205124||grupuri fucsiene}} asociate cu suprafețele Hurwitz, cum ar fi {{ill-wd| Q977499||cvartica Klein}}, [[suprafață Macbeath |suprafața Macbeath]] și [[primul triplet Hurwitz]].

== Construcții ==
=== Construcția hiperbolică ===
[[Fișier: H2checkers 237.png|thumb|Grupul triunghiului (2,3,7) este grupul de izometrii care conservă orientarea pavării prin [[triunghi Schwarz |triunghiul Schwarz]] (2,3,7), prezentat aici în [[modelul discului Poincaré]]]]
Pentru a construi grupul triunghiului se începe cu un triunghi hiperbolic cu unghiurile {{math|&pi;/2}}, {{math|&pi;/3}} și {{math|&pi;/7}}. Acest triunghi, cel mai mic [[triunghi Schwarz]] hiperbolic, pavează planul prin reflexii pe [[latură (geometrie) |laturile]] sale. Luând în considerare grupul generat de reflexiile pe laturile triunghiului, care (din moment ce dalele sunt triunghiulare) este un [[grup cristalografic neeuclidian]] (un subgrup discret de izometrii hiperbolice) având acest triunghi ca [[domeniu fundamental]]. Pavarea asociată este [[pavare kisrombică 3-7 |pavarea kisrombică 3-7]]. Grupul triunghiului (2,3,7) este definit ca un subgrup {{ill-wd| Q1464168||indice}} 2, constând din izometriile care conservă orientarea, care este un grup fuchsian (grup neeuclidian care păstrează orientarea).
{{Tabel pavări de ordinul 7-3}}

=== Prezentarea grupului ===
Are o prezentare în termeni de pereche de generatori, ''g''<sub>2</sub>, ''g''<sub>3</sub>, modulo următoarele relații:
:<math>g_2^2=g_3^3= (g_2g_3)^7=1.</math>

Geometric, acestea corespund rotațiilor de <math> \frac{2\pi}{2},\frac{2\pi}{3}</math> și <math>\frac{2\pi}{7}</math> față de vârfurile triunghiului Schwarz.

=== În algebra cuaternionilor ===
Grupul triunghiului (2,3,7) admite o prezentare în termeni de grup de cuaternioni cu norma 1 de un ordin potrivit într-o algebră a cuaternionilor. Mai precis, grupul triunghiului este câtul grupului de cuaternioni după centrul său&nbsp;±1.

Fie <math>\eta = 2\cos{2\pi/7}.</math> Atunci, din identitatea
:<math>(2-\eta)^3= 7(\eta-1)^2.</math>
se vede că '''Q'''(''η'') este o extensie cubică reală totală a lui '''Q'''. Grupul triunghiului hiperbolic (2,3,7) este un subgrup al grupului de elemente cu norma 1 din algebra cuaternionilor generat ca algebră asociativă de perechea de generatori ''i'',''j'' și relațiile ''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''η'', ''ij''&nbsp;=&nbsp;−''ji ''. Se alege un cuaternion Hurwitz de ordin potrivit <math>\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}</math>. Aici ordinul <math>\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}</math> este generat de elementele
:<math>g_2 = \tfrac{1}{\eta}ij</math>
:<math>g_3 = \tfrac{1}{2}(1+(\eta^2-2)j+(3-\eta^2)ij).</math>

De fapt, ordinul este un '''Z'''[''η'']-modul liber peste baza <math>1,g_2,g_3,g_2g_3</math>. Aici generatorii satisfac relațiile
:<math>g_2^2=g_3^3= (g_2g_3)^7=-1, \, </math>
care devin relațiile corespunzătoare în grupul triunghiului.

==Relația cu SL(2,R) ==
[[Fișier:Morphing of modular tiling to 2 3 7 triangle tiling.gif|thumb|Vizualizarea transformării (2,3,∞) → (2,3,7) prin transformarea pavărilor asociate.<ref name="westendorp">{{en icon}} [http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group], [http://www.xs4all.nl/~westy31/ Gerard Westendorp]</ref>]]

Extinzând scalarii de la '''Q'''(''η'') la '''R''' se obține un izomorfism între algebra cuaternionilor și algebra M(2,'''R''') a [[matrice |matricilor]] reale 2&nbsp;×&nbsp;2. Alegerea unui izomorfism concret permite prezentarea grupului triunghiului (2,3,7) ca un grup fuchsian specific în [[SL(2,R)|SL(2,'''R''')]], în special ca un cât al {{ill-wd| Q1834342||grupului modular}}. Acest lucru poate fi vizualizat în pavările asociate, așa cum este descris în dreapta: pavarea (2,3,7) de pe discul Poincaré este un cât al pavării modulare de pe [[semiplanul superior]].

Totuși, pentru multe scopuri izomorfismele explicite sunt inutile. Astfel, urmele elementelor grupului (prin urmare și lungimile de translație ale elementelor hiperbolice care acționează în semiplanul superior, precum și {{ill-wd| Q2454208||sistolele}} subgrupurilor fuchsiene) pot fi calculate prin intermediul reducerii urmei în algebra cuaternionilor și formula
:<math>\operatorname{tr}(\gamma)= 2\cosh(\ell_{\gamma}/2).</math>

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite conference |first=Noam |last=Elkies |title=Shimura curve computations |editor-last=Buhler |editor-first=J.P |booktitle=Algorithmic Number Theory. ANTS 1998 |series=Lecture Notes in Computer Science |publisher=Springer |volume=1423 |year=1998 |isbn=978-3-540-69113-6 |pages=1–47 |doi=10.1007/BFb0054850 |arxiv=math.NT/0005160}}
* {{en icon}} {{cite journal |last=Katz |first=M. |last2=Schaps |first2=M. |last3=Vishne |first3=U. |title=Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups |journal=Journal of Differential Geometry |volume=76 |issue=3 |pages=399–422 |year=2007 |arxiv=math.DG/0505007}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Suprafețe Riemann]]
[[Categorie:Pavări hiperbolice]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]