Vizualizare sursă pentru „Grupul lui Klein”

În [[matematică]] '''grupul lui Klein''' este un [[Grup (matematică) |grup]] cu patru elemente, în care fiecare element este [[Involuție (matematică) |propriul său invers]] (compunerea cu sine însuși dă [[element neutru |elementul neutru]]) și în care compunerea oricăror două elemente neidentice dintre trei produce al treilea. Poate fi descris ca [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] al unui [[dreptunghi]] care nu este un [[pătrat]] (cele trei elemente neidentice fiind [[reflexie (matematică) |reflexiile]] orizontală și verticală și [[rotație (matematică) |rotația]] de 180°), sau ca grupul de [[operație (matematică) |operații]] pe câte doi [[bit |biți]] al [[Disjuncție exclusivă |sau exclusiv]], sau, mai [[algebră abstractă |abstract]], ca {{nowrap|Z<sub>2</sub>×Z<sub>2</sub>}}, {{ill-wd|Q2725924||produsul direct}} al [[grup ciclic |grupului ciclic]] de ordinul 2 cu el însuși. A fost denumit '''''Vierergruppe''''' (adică patru grupuri) de către [[Felix Klein]] în 1884.<ref>''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade'' (în {{ro|Prelegeri despre icosaedru și soluția ecuațiilor de gradul cinci}})</ref> Se mai numește și '''grupul Klein''', și este adesea simbolizat prin V sau K<sub>4</sub>.

Grupul Klein, cu patru elemente, este cel mai mic grup care nu este un grup ciclic. Există un singur alt grup de ordinul patru [[morfism de grupuri |izomorf]], grupul ciclic de ordinul 4. Ambele sunt [[grup abelian |grupuri abeliene]]. Cel mai mic grup neabelian este {{ill-wd|Q2204630||grupul simetric de gradul 3}}, care are ordinul 6.

== Prezentare ==
[[Tablă Cayley |Tabla Cayley]] a operației binare a grupului Klein este dată de:
{| class=wikitable width=120 style="text-align:center;"
!*
!e
!''a''
!''b''
!''c''
|-
!e
|e || ''a'' || ''b'' || ''c''
|-
!''a''
| ''a'' || e || ''c'' || ''b''
|-
!''b''
|''b'' || ''c'' || e || ''a''
|-
!''c''
| ''c'' || ''b'' || ''a'' || e
|}

Grupul Klein este definit și de {{ill-wd|Q915906||prezentare de grup}}
:<math>\mathrm{V} = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.</math>

Toate elemente diferite de [[element neutru |elementul neutru]] din grupul Klein au ordinul 2, astfel oricare două elemente dintre care niciunul nu este elementul neutru pot servi ca generatori în prezentarea de mai sus. Grupul Klein este cel mai mic grup neciclic. Totuși, este un [[grup abelian]] și izomorf cu [[grup diedral|grupul diedral]] de ordin (cardinalitate) 4, adică D<sub>4</sub> (sau D<sub>2</sub>, folosind convenția geometrică); altul decât grupul de ordinul 2, este singurul [[grup diedru]] care este abelian.

Grupul Klein este, de asemenea, izomorf cu {{ill-wd|Q13582243||suma directă}} {{nowrap|Z<sub>2</sub>⊕Z<sub>2</sub>}}, astfel încât să poată fi reprezentat ca perechi {{nowrap|{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} }} la adăugarea componentelor {{ill-wd| Q319400||modulo 2}} (sau echivalent șirurile de biți {{nowrap|{00, 01, 10, 11} }} din operația [[XOR]] pe biți); cu (0,0) elementul neutru al grupului. Grupul Klein este astfel un exemplu al unui [[grup elementar abelian]] 2, care se mai numește și [[grup boolean]]. Grupul Klein este, de asemenea, grupul generat de [[diferență simetrică|diferența simetrică]] ca [[operație binară]] pe [[submulțime|submulțimile]] din {{ill-wd|Q205170}} unei mulțimi cu două elemente, adică peste un domeniu cu patru elemente, de exemplu <math>\{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\alpha,\beta\}\}</math>; în acest caz [[Mulțime vidă|mulțimea vidă]] fiind elementul neutru al grupului.

O altă construcție numerică a grupului Klein este mulțimea {{nowrap|{1, 3, 5, 7},}} operația fiind [[Grup multiplicativ de întregi modulo n|înmulțirea modulo 8]]. Aici ' a'' este 3, ''b'' este 5 iar {{nowrap|1=''c'' = ''ab''}} este {{nowrap|1=3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)}}.

Grupul Klein are o reprezentare ca 2×2 matrici reale, operația fiind [[înmulțirea matricilor]]:
:<math>
  e =\begin{pmatrix}
      1 & 0\\
      0 & 1
    \end{pmatrix},\quad
  a = \begin{pmatrix}
      1 &  0\\
      0 & -1
    \end{pmatrix},\quad
  b = \begin{pmatrix}
      -1 & 0\\
       0 & 1
    \end{pmatrix},\quad
  c = \begin{pmatrix}
      -1 &  0\\
       0 & -1
    \end{pmatrix}
</math>

== Geometrie ==
[[Fișier:Rhombus (polygon).png|thumb|Grupul de simetrie al rombului este grupul Klein. El poate fi oglindit orizontal (''a''), vertical (''b'') sau în ambele feluri (''ab'') și să rămână neschimbat. Totuși, spre deosebire de pătrat, o rotație cu 90° va schimba forma figurii.]]
Geometric, în [[bidimensional]], grupul Klein este [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] al [[romb]]urilor și al [[dreptunghi]]urilor care nu sunt [[pătrat]]e, cele patru elemente fiind identitatea, reflexia verticală, reflexia orizontală și rotația cu 180°.

În [[tridimensional]] există trei grupuri diferite de simetrie care sunt din punct de vedere algebric grupul Klein:
* unul cu trei axe de rotație perpendiculare, elementele fiind rotații pe câte 2 axe: D<sub>2</sub>
* unul cu o axă de rotație (2 pași) și un plan perpendicular de reflexie: {{nowrap|1=C<sub>2''h''</sub> = D<sub>1''d''</sub>}}
* unul cu axa de rotație (2 pași) într-un plan de reflexie (și deci și într-un plan perpendicular de reflexie): {{nowrap|1=C<sub>2''v''</sub> = D<sub>1''h''</sub>}}.
{{-}}

== Teoria grafurilor ==
Cel mai simplu graf simplu conex care admite grupul Klein ca {{ill-wd| Q834981||automorfism de grup}} este graful „diamant” prezentat mai jos. Este, de asemenea, grupul de automorfism al altor grafuri care sunt mai simple în sensul de a avea mai puține componente. Acestea includ graful cu patru vârfuri și o muchie, care rămâne simplu, dar pierde conectivitatea, și graful cu două vârfuri conectate între ele prin două muchii, care rămâne conectat, dar pierde simplitatea.
{{multiple image|align = center|perrow = 3
| image1 = Diamond graph.svg | width1=150 | height1=150
| image2 = Klein 4-Group Graph.svg | width2=150 | height2=150
| image3 = Digon graph.svg | width3=338 | height3=150
}}

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} M. A. Armstrong (1988) ''Groups and Symmetry'', [[Springer-Verlag]], [{{Google books|plainurl=y|id=lDfcBPl9Cu4C|page=53|text=Klein's group}} page 53].
* {{en icon}} W. E. Barnes (1963) ''Introduction to Abstract Algebra'', D.C. Heath & Co., page 20.

== legături externe ==
{{Portal|matematică}}
* {{Commonscat-inline|Klein four-group}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Vierergruppe  | title = Vierergruppe }}

[[Categorie:Teoria grupurilor]]
[[Categorie:Structuri algebrice]]