Vizualizare sursă pentru „Grup simplu”


În [[matematică]], un '''grup simplu''' este un [[Grup (matematică)|grup]] netrivial ale cărui {{Ill-wd|Q743179|3=subgrupuri normale}} sunt [[Grup trivial|grupul trivial]] și grupul însuși. Un grup care nu este simplu poate fi împărțit în două grupuri mai mici, și anume un subgrup normal netrivial și [[Grup factor|grupul factor]] corespunzător. Acest proces poate fi repetat, iar pentru [[Grup finit|grupurile finite]] se ajunge în cele din urmă la grupuri simple unic determinate, conform {{Ill-wd|Q2525646|3=teoremei Jordan-Hölder}}. 

[[Clasificarea grupurilor simple finite|Clasificarea completă a grupurilor simple finite]], definitivată în 2004, reprezintă o piatră de hotar majoră în istoria matematicii. 

== Exemple ==

=== Grupuri simple finite ===
Grupul {{Ill-wd|Q245462|3=ciclic}} ''G'' = '''Z''' / 3 '''Z''' al {{Ill-wd|Q319400|3=claselor de congruență}} [[modulo]] 3 (a se vedea {{Ill-wd|Q319400|3=aritmetica modulară}} ) este simplu. Dacă ''H'' este un subgrup al acestui grup, [[Ordin (teoria grupurilor)|ordinul]] său (numărul de elemente) trebuie să fie un [[divizor]] al ordinului lui ''G'' care este 3. Din moment ce 3 este prim, singurii săi divizori sunt 1 și 3, deci fie ''H'' este ''G'', fie ''H'' este grupul trivial. Pe de altă parte, grupul ''G'' = '''Z''' / 12 '''Z''' nu este simplu. Mulțimea ''H'' a claselor de congruență 0, 4 și 8 modulo 12 este un subgrup de ordinul 3 și este un subgrup normal deoarece orice subgrup al unui [[grup abelian]] este normal. Similar, grupul aditiv '''Z''' al [[Număr întreg|numerelor întregi]] nu este simplu; mulțimea numerelor întregi pari este un subgrup normal netrivial propriu. <ref>Knapp (2006), [{{Google books|plainurl=y|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z}} p. 170]</ref> 

Se poate folosi același tip de raționament pentru orice grup abelian, pentru a deduce că singurele grupuri simple abeliene sunt grupurile ciclice de ordin [[Număr prim|prim]]. Clasificarea grupurilor simple neabeliene este mult mai puțin banală. Cel mai mic grup simplu neabelian este [[Grup altern|grupul altern]] ''A''<sub>5</sub> de ordin 60, și orice grup simplu de ordin 60 este {{Ill-wd|Q742064|3=izomorf}} cu ''A''<sub>5</sub>.<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref> Al doilea cel mai mic grup simplu neabelian este grupul de proiecție special liniar {{Ill-wd|Q1914781}} de ordin 168 și se poate demonstra că orice grup simplu de ordin 168 este izomorf cu {{Ill-wd|Q1914781}}.<ref>Rotman (1995), p. 281</ref><ref>Smith & Tabachnikova (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic}} p. 144]</ref> 

=== Grupuri simple infinite ===
Grupul altern infinit, adică grupul permutărilor pare cu suport finit al numerelor întregi, <math>A_\infty </math>este simplu. Acest grup poate fi scris ca reuniunea crescătoare a grupurilor simple finite {{Math|''A''<sub>''n''</sub>}} în raport cu încorporările standard <math>A_n \rightarrow A_{n + 1}</math>. O altă familie de exemple de grupuri simple infinite este dată de {{Math|PSL<sub>''n''</sub>(''F'')}}, unde {{Math|''F''}} este un corp infinit și <math>n \ge 2</math>. 

Este mult mai dificilă construirea de grupuri infinite simple, ''finit generate''. Primul rezultat de existență este neexplicit; i se datorează lui {{Ill-wd|Q979194}} și constă din factori simpli ai {{Ill-wd|Q5760134|3=grupului Higman}}.<ref>{{Citation|last=Higman|first=Graham|title=A finitely generated infinite simple group|work=Journal of the London Mathematical Society|volume=26|issue=1|pages=61–64|year=1951|series=Second Series|doi=10.1112/jlms/s1-26.1.59|issn=0024-6107|mr=0038348|author-link=Graham Higman}}</ref> Printre exemplele explicite, care se dovedesc a fi finit prezentate, se numără {{Ill-wd|Q4150823|3=grupurile Thompson}} infinite ''T'' și ''V.'' Grupuri simple infinite finit prezentate fără torsiune au fost construite de Burger-Mozes.<ref>{{Citat revistă|nume=Burger|nume2=Mozes|prenume=M.|prenume2=S.|an=2000|titlu=Lattices in product of trees|url=|journal=Publ. Math. IHES|volum=92|număr=|pagini=151–194|doi=10.1007/bf02698916}}</ref> 

== Clasificare ==
Nu există încă nicio clasificare cunoscută pentru grupurile simple generale și nu există nici așteptări că s-ar putea realiza o astfel de clasificare. 

=== Grupuri simple finite ===
{{Ill-wd|Q840616|3=Grupurile simple finite}} sunt importante deoarece într-un anumit sens ele sunt „elementele constitutive” ale tuturor grupurilor finite, într-un fel similar cu modul în care [[Număr prim|numerele prime]] reprezintă elementele constitutive ale [[Număr întreg|numerelor întregi]]. Acest lucru este exprimat prin {{Ill-wd|Q2525646|3=teorema Jordan-Hölder}} care afirmă că orice două {{Ill-wd|Q2525646|3=serii de compoziții}} dintr-un anumit grup au aceeași lungime și aceiași factori, [[până la]] [[permutare]] și [[izomorfism]]. Într-un efort enorm de colaborare, [[Clasificarea grupurilor simple finite|clasificarea grupurilor simple finite]] a fost declarată realizată în 1983 de {{Ill-wd|Q1160901}}, deși au apărut unele probleme (în special în clasificarea {{Ill-wd|Q7269537|3=grupurilor quasithin}}, care au fost introduse în 2004). 

Pe scurt, grupurile simple finite sunt clasificate ca fiind situate într-una din cele 18 familii sau ca fiind unul dintre cele 26 de excepții: 

* Z<sub>''p''</sub> - {{Ill-wd|Q245462|3=grup ciclic}} de ordin prim 
* ''A''<sub>''n''</sub> - [[grup altern]] pentru <math>n \ge 5</math> 
*: Grupurile alterne pot fi considerate grupuri de tip Lie peste {{Ill-wd|Q3654641|3=corpul cu un element}}, care unește această familie cu următoarea și astfel toate familiile de grupuri simple finite neabeliene pot fi considerate a fi de tip Lie. 
* Una din cele 16 familii de {{Ill-wd|Q1406425|3=grupuri de tip Lie}} 
*: {{Ill-wd|Q2856369|3=Grupul Tits}} este considerat în general de această formă, deși în mod strict nu este de tip Lie, ci mai degrabă indexul 2 într-un grup de tip Lie. 
* Una dintre cele 26 de excepții, {{Ill-wd|Q2682286|3=grupurile sporadice}}, dintre care 20 sunt subgrupuri sau {{Ill-wd|Q7631847|3=subfactori}} ai {{Ill-wd|Q392663|3=grupului monster}} și sunt denumite „familia fericită”, în timp ce restul de 6 sunt numite {{Ill-wd|Q278338|3=paria}}. 

== Structura grupurilor simple finite ==
Faimoasa {{Ill-wd|Q909517|3=teoremă}} a lui {{Ill-wd|Q949521|3=Feit}} și [[John G. Thompson|Thompson]] afirmă că orice grup de ordin impar este {{Ill-wd|Q759832|3=rezolvabil}}. Prin urmare, orice grup simplu finit are ordin par dacă nu este ciclic de ordin prim. 

{{Ill-wd|Q2993334|3=Conjectura lui Schreier}} afirmă că grupul {{Ill-wd|Q3630548|3=automorfismelor externe}} ale oricărui grup simplu finit este rezolvabil. Acest lucru poate fi demonstrat folosind teorema de clasificare.

== Istoria grupurilor simple finite ==
Există două fire de evoluție în istoria grupurilor simple finite{{Mdash}} descoperirea și construirea unor grupuri și familii simple specifice, care au avut loc de la activitatea lui Galois din anii 1820 până la construirea Monsterului în 1981; și demonstrația că această listă este completă, care a început în secolul al XIX-lea, și s-a desfășurat foarte intens în perioada 1955–1983 (când s-a declarat inițial victoria), dar în general se acceptă că a luat sfârșit în 2004. În 2010, continuau încă activitățile de îmbunătățire a demonstrațiilor și înțelegerii; vezi {{Harvard citation|Silvestri|1979}} pentru istoria grupurilor simple în secolul al XIX-lea. 

=== Construcția ===
Grupurile simple au fost studiate cel puțin de la începutul [[Teoria lui Galois|teoriei Galois]], în care [[Évariste Galois]] a realizat că faptul că [[Grup altern|grupurile alterne]] de cinci sau mai multe puncte sunt simple (și prin urmare nu sunt rezolvabile), ceea ce a demonstrat în 1831, este motivul pentru care nu se pot rezolva ecuațiile de gradul 5 în radicali. Galois a construit, de asemenea, {{Ill-wd|Q2997419|3=grupul proiectiv special liniar}} al unui plan pe un corp finit prim, PSL(2, ''p''), și a remarcat că acestea erau simple pentru ''p'' diferit de 2 sau 3. Aceasta apare în ultima lui scrisoare către Chevalier<ref name="chevalier-letter">{{Citation|last=Galois|first=Évariste|title=Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier|url=http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/cb343487840/date1846|work={{Ill-wd|Q2259870}}|volume=XI|pages=408–415|year=1846|postscript=, PSL(2,''p'') și simplitatea discutate la p. 411; acțiune excepțională la 5, 7, sau 11 puncte discutată la pp. 411–412; GL(''ν'',''p'') discutat la p. 410|access-date=2009-02-04|archive-date=2021-04-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20210426030622/http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/cb343487840/date1846|dead-url=yes}}</ref> și este următorul exemplu de grupuri simple finite.<ref name="raw">{{Citation|last=Wilson|first=Robert|title=The finite simple groups|date=31 octombrie 2006|url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html|chapter=Chapter 1: Introduction|chapter-url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs_files/intro.ps|author-link=Robert Arnott Wilson|access-date=2019-05-07|archive-date=2011-05-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110522121819/http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html|dead-url=yes}}</ref> 

Următoarele descoperiri au fost făcute de [[Camille Jordan]] în 1870.<ref>{{Citation|last=Jordan|first=Camille|title={{Ill-wd|Q6623911|3=Traité des substitutions et des équations algébriques}}|year=1870|author-link=Camille Jordan}}</ref> Jordan a găsit 4 familii de grupuri simple de matrice peste [[Corp finit|corpuri finite]] de ordin prim, care sunt acum cunoscute drept {{Ill-wd|Q2285809|3=grupurile clasice}}. 

Aproximativ în același timp, s-a arătat că o familie de cinci grupuri, numită {{Ill-wd|Q934200|3=grupurile Mathieu}} și descrisă pentru prima oară de către {{Ill-wd|Q286161}} în 1861 și 1873, sunt și ele simple. Din moment ce aceste cinci grupuri au fost construite prin metode care nu ofereau infinit de multe posibilități, ele au fost numite „{{Ill-wd|Q2682286|3=sporadice}}” de [[William Burnside]] în manualul său din 1897. 

Mai târziu, rezultatele lui Jordan despre grupurile clasice au fost generalizate la corpuri finite arbitrare de către [[Leonard Eugene Dickson|Leonard Dickson]], în urma clasificării [[Grup Lie simplu|algebrelor simple complexe Lie]] de către {{Ill-wd|Q77304}}. Dickson a construit și grupurile-excepție de tip G<sub>2</sub> și {{Ill-wd|Q1054513|3=E<sub>6</sub>}}, dar nu și de tip F<sub>4</sub>, E<sub>7</sub> sau E<sub>8</sub> {{Harvard citation|Wilson|2009|p=2}}. În anii 1950, activitatea în domeniul grupurilor de tip Lie a fost continuată, [[Claude Chevalley]] oferind o construcție uniformă a grupurilor clasice și a grupurilor-excepție într-o lucrare din 1955. Aici erau omise anumite grupuri cunoscute (grupurile proiective unitare), care au fost obținute prin „răsucirea” construcției Chevalley. Restul grupurilor de tip Lie au fost produse de Steinberg, Tits și Herzig (care au produs <sup>3</sup>''D''<sub>4</sub>(''q'') și <sup>2</sup>''E''<sub>6</sub>(''q'')), precum și de către Suzuki și Ree ( {{Ill-wd|Q7306554|3=grupurile Suzuki-Ree}}). 

Aceste grupuri (grupurile de tip Lie, împreună cu grupurile ciclice, grupurile alternative și cele cinci grupuri-excepție Mathieu) au fost considerate listă completă, dar după o perioadă de liniște de aproape un secol de la lucrarea lui Mathieu, în 1964 a fost descoperit primul {{Ill-wd|Q1099545|3=grup Janko}}, iar restul de 20 de grupuri sporadice au fost descoperite sau enunțate în 1965-1975, culminând în 1981, când {{Ill-wd|Q2157373}} a anunțat că a construit „{{Ill-wd|Q392663|3=grupul Monster}}” al lui {{Ill-wd|Q68541|3=Bernd Fischer}}. Monsterul este cel mai mare grup simplu sporadic, având ordinul {{Formatnum|808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000}}. Monsterul are o reprezentare fidelă 196.883-dimensională în {{Ill-wd|Q3514494|3=algebra Griess}} 196.884-dimensională, ceea ce înseamnă că orice element al Monsterului poate fi exprimat ca o matrice de 196.883 pe 196.883.

=== Clasificare ===
Clasificarea completă este acceptată, în general, ca începând cu {{Ill-wd|Q909517|3=teorema Feit-Thompson}} din 1962/63, care a durat în mare parte până în 1983, dar a fost terminată abia în 2004. 

La scurt timp după construirea Monsterului în 1981, a fost furnizată o demonstrație de peste 10.000 de pagini, prin care teoreticienii grupurilor au {{Ill-wd|Q840616|3=enumerat cu succes toate grupurile simple finite}}, victoria fiind proclamată în 1983 de Daniel Gorenstein. Anunțul a fost prematur{{Mdash}} unele lipsuri au fost acoperite mai târziu, în special în clasificarea {{Ill-wd|Q7269537|3=grupurilor quasithin}}, care au fost înlocuite în cele dun urmă în 2004, printr-o clasificare a grupurilor quasithin pe 1.300 de pagini, care este acum acceptată ca fiind completă. 

== Teste de nesimplitate ==
''{{Ill-wd|Q1057919|3=Testul lui Sylow}}'': Fie ''n'' un număr întreg pozitiv, care nu este prim, și ''p'' un divizor prim al lui ''n.'' Dacă 1 este singurul divizor al lui ''n'' care este congruent cu 1 modulo ''p'', atunci nu există un grup simplu de ordin ''n''. 

Demonstrație: Dacă ''n'' este putere de număr prim, atunci grupul de ordin ''n'' are un {{Ill-wd|Q1195852|3=centru}} netrivial<ref>Vezi, de exemplu, demonstrația de la {{Ill-wd|Q286972|3=&#119901;-grup}}.</ref> și, prin urmare, nu este simplu. Dacă ''n'' nu este o putere de număr prim, atunci fiecare subgrup Sylow este propriu și, conform {{Ill-wd|Q1057919|3=celei de a doua teoreme a lui Sylow}}, se știe că numărul de ''p''-subgrupuri ale unui grup de ordin ''n'' este congruent cu 1 modulo ''p'' și divide ''n''. Întrucât 1 este singurul astfel de număr, atunci ''p''-subgrupul Sylow este unic și, prin urmare, este normal. Întrucât este un subgrup propriu, fără [[element neutru]], grupul nu este simplu. 

''Burnside'': Un grup neabelian simplu finit are ordinul divizibil cu cel puțin trei numere prime distincte. Aceasta rezultă din {{Ill-wd|Q1996305|3=teorema lui Burnside}}.

== Bibliografie ==

=== Note ===
<references/>

=== Cărți ===
{{refbegin}}
*{{Citation|last1=Wilson|first1=Robert A.|title=The finite simple groups|volume=251|year=2009|postscript=, [http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html 2007 preprint].|series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 251|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|isbn=978-1-84800-987-5|zbl=1203.20012|authorlink=Robert Arnott Wilson}}
* {{Citation|last1=Burnside|first1=William|title=Theory of groups of finite order|year=1897|publisher=[[Cambridge University Press]]|author1-link=William Burnside}}
* {{Citation|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Basic algebra|url=|volume=|year=2006|edition=|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-3248-9|last2=|first2=}} <bdi> {{Citation|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Basic algebra|url=|volume=|year=2006|edition=|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-3248-9|last2=|first2=}} </bdi>
* {{Citation|last=Rotman|first=Joseph J.|title=An introduction to the theory of groups|url=|volume=148|year=1995|series=Graduate texts in mathematics|edition=|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94285-8|last2=|first2=}} <bdi> {{Citation|last=Rotman|first=Joseph J.|title=An introduction to the theory of groups|url=|volume=148|year=1995|series=Graduate texts in mathematics|edition=|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94285-8|last2=|first2=}} </bdi>
* {{Citation|last=Smith|first=Geoff|title=Topics in group theory|url=|volume=|year=2000|series=Springer undergraduate mathematics series|edition=2|publisher=Springer|doi=|isbn=978-1-85233-235-8|last2=Tabachnikova|first2=Olga}} <bdi> {{Citation|last=Smith|first=Geoff|title=Topics in group theory|url=|volume=|year=2000|series=Springer undergraduate mathematics series|edition=2|publisher=Springer|doi=|isbn=978-1-85233-235-8|last2=Tabachnikova|first2=Olga}} </bdi>
{{refend}}

=== Articole ===
{{refbegin}}
* {{Citation 
| doi = 10.1007/BF00327738 
| title = Simple groups of finite order in the nineteenth century 
| date=September 1979 | last = Silvestri | first = R.
| journal = Archive for History of Exact Sciences 
| volume = 20
| pages = 313–356 
| issue = 3–4
| language = en
}}
{{refend}}

== Legături externe ==
* {{planetmath reference|id=3569|title=The alternating group A_n is simple}}

[[Categorie:Teoria grupurilor]]
[[Categorie:Pages with unreviewed translations]]