Vizualizare sursă pentru „Grup diedral”

[[Fișier:Snowflake8.png|thumb|[[Grup de simetrie |Grupul de simetrie]] al unui [[fulg de zăpadă]] este D<sub>6</sub>, o simetrie diedrală, la fel ca aceea a [[hexagon]]ului regulat]]
[[Fișier:Hexagon reflections.svg|thumb|Cele șase [[axă de simetrie |axe]] de [[simetrie de reflexie]] a [[hexagon]]ului regulat]]
În [[matematică]] un '''grup diedral'''{{efn|În terminologia din limba engleză termenul de ''dihedral group'' provine prin similitudine cu grupurile de simetrii ''terahedral group'', ''octahedral goup'' și ''icosahedral group'', explicație care se găsește în sursele în limba engleză. În limba română denumirile ultimelor trei grupuri sunt ''grup tetraedric'', ''grup octaedric'', respectiv ''grup icosaedric''. Similar cu acestea, grupul tratat de articolul de față, considerat grup de simetrii al unui poliedru abstract, ar trebui să se numească ''grup diedric'', însă termenul se întâlnește doar în cristalografie. Cvasitotalitatea materialelor algebrice traduc termenul drept ''grup diedral''. Wikipedia este obligată să folosească denumirea ''uzuală'', așa cum apare în surse, deși ea nu pare a fi cea corectă.}} este [[grup de simetrie |grupul de simetrii]] al unui [[poligon regulat]],<ref>{{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroup|title=Dihedral Group}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite book | last1=Dummit | first1=David S. | last2=Foote | first2=Richard M. | title=Abstract Algebra | publisher=[[John Wiley & Sons]] | year=2004 | edition=3rd | isbn=0-471-43334-9}}</ref> care include [[simetrie de rotație |rotații]] și [[simetrie de reflexie |reflexii]]. Grupurile diedrale sunt printre cele mai simple exemple de [[grup finit |grupuri finite]] și joacă un rol important în [[teoria grupurilor]], [[geometrie]] și [[chimie]].

Notația pentru grupul diedral diferă în [[geometrie]] față de cea din [[algebră abstractă |algebra abstractă]]. În geometrie {{math|D{{sub|''n''}}}} sau {{math|Dih{{sub|''n''}}}} se referă la simetriile unui {{math|''n''}}-gon, un grup de [[ordin (teoria grupurilor)|ordinul]] {{math|2''n''}}. În algebra abstractă, {{math|D{{sub|2''n''}}}} se referă la același grup diedral.<ref name="mathimages">{{en icon}} {{cite web|title=Dihedral Groups: Notation|url=http://mathforum.org/mathimages/index.php/Dihedral_Groups#Notation|website=Math Images Project|access-date=2016-06-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20160320105838/http://mathforum.org/mathimages/index.php/Dihedral_Groups#Notation#Notation|archive-date=2016-03-20|url-status=dead}}</ref> În acest articol se folosește convenția geometrică a notației.

== Definiție ==
=== Elemente ===
Un poligon regulat cu <math>n</math> [[latură (geometrie) |laturi]] are <math>2n</math> simetrii diferite: <math>n</math> simetrii de rotație și <math>n</math > simetrii de reflexie. De obicei, aici se consideră <math>n \ge 3</math>. Rotațiile și reflexiile asociate formează grupul diedral <math>\mathrm{D}_n</math>. Dacă <math>n</math> este impar, fiecare axă de simetrie conectează punctul de mijloc al unei laturi de [[vârf (geometrie) |vârful]] opus. Dacă <math>n</math> este par, există <math>n/2</math> axe de simetrie care leagă punctele de mijoc ale laturilor opuse și <math>n/2</math> axe de simetrie care leagă vârfuri opuse. În ambele cazuri, există <math>n</math> axe de simetrie și <math>2n</math> elemente în grupul de simetrie.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Introduction to Algebra|first=Peter Jephson|last=Cameron|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=9780198501954|page=95|url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA95}}</ref> Reflexia față de o axă de simetrie urmată de reflexia față de o altă axă de simetrie produce o rotație de două ori mai mare decât unghiul dintre aceste axe.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Glimpses of Algebra and Geometry|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=Gabor|last=Toth|edition=2nd|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387224558|page=98|url=https://books.google.com/books?id=IRwBCAAAQBAJ&pg=PA98}}</ref>

Următoarea imagine arată efectul celor șaisprezece elemente ale lui <math>\mathrm{D}_8</math> asupra unui {{ill-wd|Q250429}}:
[[Fișier:Dihedral8.png|550px]]

Primul rând arată efectul celor opt rotații, iar al doilea rând arată efectul celor opt reflexii, acționând în fiecare caz asupra indicatorului de oprire cu orientarea așa cum se arată în stânga sus.

=== Structura grupului ===
Ca pentru orice [[figură geometrică]], {{ill-wd| Q244761||compunerea}} a două simetrii ale unui poligon regulat este și ea o simetrie a acelui obiect. Compunerea simetriilor este o operație binară care dă simetriilor unui poligon structura algebrică a unui [[grup finit]].<ref name=lovett>{{en icon}} {{citation|title=Abstract Algebra: Structures and Applications|first=Stephen|last=Lovett|publisher=CRC Press|year=2015|isbn=9781482248913|page=71|url=https://books.google.com/books?id=jRUqCgAAQBAJ&pg=PA71}}</ref>

[[Fișier:Labeled Triangle Reflections.svg|thumb|Axele de reflexie etichetate S<sub>0</sub>, S<sub>1</sub> și S<sub>2</sub> rămân fixe în spațiu (pe pagină) și nu se mișcă ele însele atunci când se face o [[operație de simetrie]] (rotire sau reflexie) asupra triunghiului (acest lucru contează când se fac compuneri de simetrii)]]
[[Fișier:Two Reflection Rotation.svg|thumb|Compunerea acestor două reflexii este o rotație]]
Următoarea {{ill-wd| Q1546924}} arată efectul compunerii în grupul [[Grup diedric de ordinul 6|D<sub>3</sub>]] (simetriile unui [[triunghi echilateral]]). Cu r<sub>0</sub> se notează identitatea; cu r<sub>1</sub> și r<sub>2</sub> rotațiile în sens antiorar cu 120°, respectiv 240° și cu s<sub>0</sub>, s<sub>1</sub> și s<sub>2</sub> reflexiile față de cele trei axe prezentate în imaginea alăturată.

{| class=wikitable width=200
!||r<sub>0</sub>||r<sub>1</sub>||r<sub>2</sub>||s<sub>0</sub>||s<sub>1</sub>||s<sub>2</sub>
|-
!r<sub>0</sub>
| r<sub>0</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>2</sub> 
| s<sub>0</sub> || s<sub>1</sub> || s<sub>2</sub>
|-
!r<sub>1</sub>
| r<sub>1</sub> || r<sub>2</sub> || r<sub>0</sub> 
| s<sub>1</sub> || s<sub>2</sub> || s<sub>0</sub>
|-
!r<sub>2</sub>
| r<sub>2</sub> || r<sub>0</sub> || r<sub>1</sub> 
| s<sub>2</sub> || s<sub>0</sub> || s<sub>1</sub>
|-
!s<sub>0</sub>
| s<sub>0</sub> || s<sub>2</sub> || s<sub>1</sub> 
| r<sub>0</sub> || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub>
|-
!s<sub>1</sub>
| s<sub>1</sub> || s<sub>0</sub> || s<sub>2</sub> 
| r<sub>1</sub> || r<sub>0</sub> || r<sub>2</sub>
|-
!s<sub>2</sub>
| s<sub>2</sub> || s<sub>1</sub> || s<sub>0</sub> 
| r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>0</sub>
|}

De exemplu, {{mvar|s}}<sub>2</sub>{{mvar|s}}<sub>1</sub> = {{mvar|r}}<sub>1</sub> deoarece reflexia {{mvar|s}}<sub>1</sub> urmată de reflexia {{mvar|s}}<sub>2</sub> dă rotația cu 120°. Ordinea elementelor de compunere este de la dreapta la stânga, conform convenției că elementul acționează asupra expresiei din dreapta sa. Operația de compunere nu este [[comutativitate|comutativă]].<ref name=lovett/>

În general, grupul {{mvar|D<sub>n</sub>}} are elementele {{mvar|r}}<sub>0</sub>, ..., {{mvar|r}}<sub>''n''&minus;1</sub> și {{mvar|s}}<sub>0</sub>, ..., {{mvar|s}}<sub>''n''&minus;1</sub>, cu compunerea dată de formulele următoare:
:<math>\mathrm{r}_i\,\mathrm{r}_j = \mathrm{r}_{i+j}, \quad \mathrm{r}_i\,\mathrm{s}_j = \mathrm{s}_{i+j}, \quad \mathrm{s}_i\,\mathrm{r}_j = \mathrm{s}_{i-j}, \quad \mathrm{s}_i\,\mathrm{s}_j = \mathrm{r}_{i-j}.</math>

În toate cazurile adunarea și scăderea indicilor trebuie efectuate [[modulo]] {{mvar|n}}.

== Grupuri diedrale mici ==
[[Fișier:Regular hexagon symmetries.svg|thumb|350px|Exemple de subgrupuri dintr-o simetrie diedrică hexagonală]]
{{math|D{{sub|1}}}} este [[izomorfism |izomorf]] cu {{math|Z{{sub|2}}}}, {{ill-wd| Q245462||grupul ciclic}} de ordinul 2.
{{math|D{{sub|2}}}} este izomorf cu {{math|K{{sub|4}}}}, [[grupul lui Klein]].
{{math|D{{sub|1}}}} și {{math|D{{sub|2}}}} sunt excepționale prin faptul că:
* {{math|D{{sub|1}}}} și {{math|D{{sub|2}}}} sunt singurele [[grup abelian |grupuri abeliene]] diedrale. Celelalte, {{math|D{{sub|''n''}}}}, nu sunt abeliene.
* {{math|D{{sub|''n''}}}} este un [[subgrup]] al {{ill-wd| Q849512||grupului simetric}} {{math|S{{sub|''n''}}}} pentru {{math|''n'' ≥ 3}}. Deoarece {{math|2''n'' > ''n''!}}, {{math|D{{sub|''n''}}}} este prea mare pentru a fi un subgrup pentru {{math|''n'' {{=}} 1}} și {{math|''n'' {{=}} 2}}.
* Grupul de {{ill-wd| Q1139583||automorfisme interioare}} {{math|D{{sub|2}}}} este [[grup trivial |trivial]], în timp ce pentru alte valori pare ale lui {{mvar|n}}, aceasta este {{math|D{{sub|''n''}} / Z{{sub|2}}}}.

{{ill-wd| Q1012802|Graf ciclic (algebră)|Grafurile ciclice}} ale grupurilor diedrale constau dintr-un ciclu de ''n'' elemente și ''n'' cicluri de 2 elemente. Vârful (punctul) negru din grafurile ciclice de mai jos ale diferitelor grupuri diedrale reprezintă [[element neutru |elementul neutru]], iar celelalte vârfuri sunt celelalte elemente ale grupului. Un ciclu constă din puteri succesive ale oricăruia dintre elementele conectate la elementul neutru.
{| class=wikitable
|+ Grafuri ciclice
|-
! D<sub>1</sub> = [[Grup ciclic |Z<sub>2</sub>]] || D<sub>2</sub> = Z<sub>2</sub><sup>2</sup> = [[Grupul lui Klein |K<sub>4</sub>]] || D<sub>3</sub> || D<sub>4</sub> || D<sub>5</sub>
|-
| [[Fișier:GroupDiagramMiniC2.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD4.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD6.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD8.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD10.svg|100px]]
|-
| [[Fișier:GroupDiagramMiniD12.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD14.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD16.svg|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD18.png|100px]] || [[Fișier:GroupDiagramMiniD20.png|100px]]
|-
! D{{sub|6}} {{=}} D{{sub|3}} × Z{{sub|2}} || D{{sub|7}} || D<sub>8</sub> || D<sub>9</sub> || D{{sub|10}} {{=}} D{{sub|5}} × Z{{sub|2}}
|}

{| class=wikitable style="text-align:center; vertical-align:top;"
|-
! D<sub>3</sub> = [[Grup de simetrie|S]]<sub>3</sub>
! D<sub>4</sub>
|-
| [[Fișier:Symmetric group 3; cycle graph.svg|240px]]
| [[Fișier:Dih4 cycle graph.svg|240px]]
|}

== Grupul diedral ca grup de simetrie în spațiul bidimensional și grup de rotație în spațiul tridimensional ==
Un exemplu de grup abstract {{math|D}}<sub>''n''</sub>, și o modalitate obișnuită de a-l vizualiza este [[grup de izometrie|grupul de izometrie]] al [[spațiu euclidian|planului euclidian]] care păstrează originea fixă. Aceste grupuri formează una dintre cele două serii de [[grup punctual în spațiul bidimensional |grupuri punctuale discrete în spațiul bidimensional]]. {{math|D{{sub|''n''}}}} constă din {{math|''n''}} rotații de multipli de {{math|360°/''n''}} în jurul originii și reflexii față de {{math|''n''}} axe care trec prin origine, făcând unghiuri de multipli de {{math|180°/''n''}} una cu cealaltă. Acesta este grupul de simetrie al unui [[poligon regulat]] cu {{mvar|n}} laturi (pentru {{math|''n'' ≥ 3}}; aceasta se extinde la cazurile {{math|''n'' {{=}} 1}} și {{math|''n'' {{=}} 2}} în care avem un plan cu un punct deplasat față de „centrul” „1-gonului”, și un „2-gon”, adică un [[segment (geometrie) |segment]]).

{{math|D{{sub|''n''}}}} este {{ill-wd|Q734209||generat}} de o rotație {{math|r}} de ordinul {{math|''n''}} și o reflexie {{math|s}} de ordinul 2 astfel încât
:<math>\mathrm{srs} = \mathrm{r}^{-1} \, </math>

În termeni geometrici: în oglindă o rotație arată ca o rotație în sens invers.

În ceea ce privește [[număr complex |numerele complexe]]: operația corespunde înmulțirii cu <math>e^{2\pi i \over n}</math> și [[conjugată complexă |conjugării complexe]].

În formă matricială, punând
:<math>
  \mathrm{r}_1 = \begin{bmatrix}
    \cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\[4pt]
    \sin{2\pi \over n} &  \cos{2\pi \over n}
  \end{bmatrix}\qquad
  \mathrm{s}_0 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1
  \end{bmatrix}
</math>
și definind <math>\mathrm{r}_j = \mathrm{r}_1^j</math> și <math>\mathrm{s}_j = \mathrm{r}_j \, \mathrm{s}_0</math> pentru <math>j \in \{1,\ldots,n-1\}</math> se poate scrie regula produsului lui D<sub>''n''</sub> ca
:<math>\begin{align}
  \mathrm{r}_j \, \mathrm{r}_k &= \mathrm{r}_{(j+k) \text{ mod }n} \\
  \mathrm{r}_j \, \mathrm{s}_k &= \mathrm{s}_{(j+k) \text{ mod }n} \\
  \mathrm{s}_j \, \mathrm{r}_k &= \mathrm{s}_{(j-k) \text{ mod }n} \\
  \mathrm{s}_j \, \mathrm{s}_k &= \mathrm{r}_{(j-k) \text{ mod }n}
\end{align}</math>

Grupul diedral D<sub>2</sub> este generat de rotația {{math|r}} de 180° și reflexia {{math|s}} pe axa ''x''. Elementele lui D<sub>2</sub> pot fi apoi reprezentate ca {{math|{e,&nbsp;r,&nbsp;s,&nbsp;rs}<nowiki/>}}, unde {{mvar|e}} este elementul neutru sau transformarea nulă, iar {{math|rs}} este reflexia față de axa ''y''.

[[Fișier:Dihedral4.png|thumb|500px|Cele patru elemente ale D<sub>2</sub> (aici axa ''x'' este verticală)<br/>Identic (e), rotit cu 180° (r), reflectat (f), rotit și reflectat (rf)]]

D<sub>2</sub> este izomorf cu grupul lui Klein.

Pentru ''n'' > 2 operațiile de rotație și reflexie nu sunt comutative în general și D<sub>''n''</sub> nu este abelian. De exemplu, în D<sub>4</sub>, o rotație de 90° urmată de o reflexie dă un rezultat diferit de o reflexie urmată de o rotație de 90°.

[[Fișier:d8isNonAbelian.png|thumb|500px|D<sub>4</sub> nu este abelian (aici axa ''x'' este verticală)<br/>rotit cu 90°, reflectat, reflectat după ''y'', reflectat după ''y'' și rotit cu 90°]]

Astfel, dincolo de aplicarea lor evidentă la problemele de simetrie în plan, aceste grupuri sunt printre cele mai simple exemple de grupuri neabeliene și, ca atare, apar frecvent drept contraexemple ușoare ale teoremelor care sunt limitate la grupurile abeliene.

Elementele {{math|2''n''}} ale lui {{math|D{{sub|''n''}}}} pot fi scrise ca {{math|e}}, {{math|r}}, {{math|r{{sup|2}}}}, ... , {{math|r{{sup|''n''−1}}}}, {{math|s}}, {{math|rs}}, {{math|r{{sup|2}}s}}, ... , {{math|r{{sup|''n''−1}}s}} . Primele {{math|''n''}} elemente enumerate sunt rotații, iar restul de {{math|''n''}} elemente sunt reflexii față de axă (toate au ordinul&nbsp;2). Compunerea a două rotații sau două reflexii este o rotație; compunerea unei rotații și a unei reflexii este o reflexie.
{{-}}

==  Exemple de simetrie diedrală în spațiul bidimensional ==
<gallery mode=packed heights=150px>
Fișier:Imperial Seal of Japan.svg|Simetrie D<sub>16</sub> – Sigiliu imperial al Japoniei, reprezentând [[crizantemă |crizantema]] cu șaisprezece [[petală |petale]]
Fișier:Red Star of David.svg|Simetrie D<sub>6</sub> – [[Mișcarea Internațională de Cruce Roșie și Semilună Roșie#Magen_David_Adom |Steaua lui David Roșie]]
Fișier:Naval Jack of the Republic of China.svg|Simetrie D<sub>12</sub> – Drapelul naval al [[Taiwan]]ului (Soarele alb)
Fișier:Ashoka Chakra.svg|Simetrie D<sub>24</sub> – [[Ashoka Chakra]], cum apare pe [[drapelul Indiei]]
</gallery>

== Notă explicativă ==
{{notelist}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe ==
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20130222032517/http://demonstrations.wolfram.com/DihedralGroupNOfOrder2n/ Dihedral Group n of Order 2n] by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
* {{en icon}} [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group Dihedral group] at Groupprops
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroup|title=Dihedral Group}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroupD3|title=Dihedral Group D3}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroupD4|title=Dihedral Group D4}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroupD5|title=Dihedral Group D5}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DihedralGroupD6|title=Dihedral Group D6|author=Davis, Declan}}
* {{en icon}} [http://groupnames.org/#?dihedral Dihedral groups on GroupNames]

{{Portal|matematică}}

[[Categorie:Simetrie]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]