Vizualizare sursă pentru „Grup Lie”

În [[matematică]], un '''grup Lie''' (pronunțat {{IPAc-en|l|iː}}) este un [[Grup (matematică)|grup]] care este și {{Ill-wd|Q3552958|3=varietate diferențiabilă}}, cu proprietatea că operația de grup și simetrica ei sunt diferențiabile. Grupurile Lie sunt numite astfel în cinstea matematicianului norvegian [[Sophus Lie]], care a pus bazele teoriei [[Grup de automorfisme|grupurilor de transformare]] continue. 

În linii mari, un grup Lie este un grup continuu, adică unul ale cărui elemente sunt descrise de mai mulți parametri reali. Astfel, grupurile Lie oferă un model natural pentru conceptul de [[simetrie continuă]], cum ar fi [[simetrie de rotație |simetria de rotație]] [[tridimensional]]ă. Grupurile Lie sunt utilizate pe scară largă în multe părți ale matematicii și fizicii moderne. Motivația inițială a lui Lie pentru introducerea acestor grupuri era de a modela simetriile continue ale [[Ecuație diferențială|ecuațiilor diferențiale]], în același mod în care grupurile finite sunt folosite în [[teoria lui Galois]] pentru a modela simetriile discrete ale [[Ecuație polinomială|ecuațiilor algebrice]]. 

== Vedere generală ==
[[Fișier:Circle_as_Lie_group.svg|dreapta|miniatura| Mulțimea tuturor [[Număr complex|numerelor complexe]] de [[modul]] 1 (corespunzătoare punctelor de pe [[Cerc|cercul]] cu centrul în origine și rază 1 în [[planul complex]]) este un grup Lie în raport cu înmulțirea complexă: {{Ill-wd|Q2608380|3=grupul cerc}}. ]]
Grupurile Lie sunt {{Ill-wd|Q3552958|3=varietăți diferențiabile}} [[Smoothness|de clasă {{Math|C<sup>&infin;</sup>}}]] și, ca atare, pot fi studiate folosind [[Calcul diferențial|calculul diferențial]], spre deosebire de {{Ill-wd|Q1046291|3=grupurile topologice}} mai generale. Una dintre ideile cheie din teoria grupurilor Lie este aceea de a înlocui obiectul ''global'', grupul, cu versiunea sa ''locală'' sau liniarizată, pe care Lie îl numește „grup infinitezimal” și care de atunci a devenit cunoscut sub numele de {{Ill-wd|Q664495|3=algebră Lie}} a acestuia. 

Grupurile Lie joacă un rol enorm în [[Geometrie|geometria]] modernă, pe mai multe niveluri diferite. [[Felix Klein]] susținea în {{Ill-wd|Q315296|3=programul său Erlangen}} că se pot lua în considerare diverse „geometrii” prin specificarea unui grup de transformare adecvat care lasă anumite proprietăți geometrice {{Ill-wd|Q188211|3=invariante}}. Astfel, [[Geometrie euclidiană|geometria euclidiană]] corespunde cu alegerea grupului {{Ill-wd|Q852195|3=E(3)}} al transformărilor de conservare la distanță a spațiului Euclidian <math>\R^3</math>, {{Ill-wd|Q513175|3=geometria conformală}} corespunde lărgirii grupului la {{Ill-wd|Q301122|3=grupul conformal}}, în timp ce în [[Geometrie proiectivă|geometria proiectivă]] interesul îl constituie proprietățile invariabile în raport cu {{Ill-wd|Q2997419|3=grupul proiectiv}}. Această idee a dus mai târziu la noțiunea de {{Ill-wd|Q5511959|3=structură G}}, unde ''G'' este un grup Lie al simetriilor „locale” ale unei varietăți. 

Grupurile Lie (și algebrele lor Lie asociate) joacă un rol major în fizica modernă, grupul Lie având de obicei rolul unei simetrii a unui sistem fizic. Aici sunt deosebit de importante {{Ill-wd|Q763735|3=reprezentările}} grupului Lie (sau {{Ill-wd|Q1136782|3=algebrelor Lie}} ale acestora). Teoria reprezentării {{Ill-wd|Q7140499|3=este utilizată pe scară largă în fizica particulelor}}. Printre grupurile ale căror reprezentări au o importanță deosebită se numără {{Ill-wd|Q1256500|3=grupul de rotație SO(3)}} (sau {{Ill-wd|Q1256500|3=acoperirea sa dublă SU(2)}}), {{Ill-wd|Q18347901|3=grupul unitar special SU(3)}} și {{Ill-wd|Q7314229|3=grupul Poincaré}}. 

La nivel „global”, oricând un grup Lie {{Ill-wd|Q288465|3=acționează}} asupra unui obiect geometric, cum ar fi o {{Ill-wd|Q632814|3=varietate riemanniană}} sau [[Mulțime simplectică|simplectică]], această acțiune furnizează o măsură a rigidității și produce o [[structură algebrică]] bogată. Prezența simetriilor continue exprimate prin {{Ill-wd|Q17098482|3=acțiune de grup Lie}} asupra unei varietăți produce constrângeri puternice asupra geometriei sale și facilitează {{Ill-wd|Q17017346|3=analiza}} varietății. Acțiunile liniare asupra grupurilor Lie sunt deosebit de importante, și sunt studiate în [[Teoria reprezentării|teoria reprezentării]].

În anii 1940&#x2013;1950, {{Ill-wd|Q451627}}, {{Ill-wd|Q123474}}, și [[Claude Chevalley]] și-au dat seama că multe rezultate fundamentale referitoare la grupurile Lie pot fi dezvoltate complet algebric, dând naștere la teoria {{Ill-wd|Q1695400|3=grupurilor algebrice}} definite pe un [[Corp (matematică)|corp]] arbitrar. Această perspectivă a deschis noi posibilități în algebra pură, oferind o construcție uniformă pentru cele mai multe {{Ill-wd|Q840616|3=grupuri simple finite}}, precum și în [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]]. Teoria {{Ill-wd|Q1134435|3=formelor automorfe}}, o ramură importantă a [[Teoria numerelor|teoriei numerelor]] moderne, se ocupă în mare măsură de analoagele grupurilor Lie în {{Ill-wd|Q355356|3=inelele adelice}}; grupurile Lie {{Ill-wd|Q311627|3=''p''-adice}} joacă un rol important, prin intermediul conexiunilor lor cu reprezentările Galois din teoria numerelor. 

== Definiții și exemple ==
Un '''grup Lie real''' este un [[Grup (matematică)|grup]] care este și o varietate reală, în care operațiile de grup de [[Înmulțire (matematică)|multiplicare]] și găsire a simetricului sunt [[aplicație|aplicații]] netede. Această ultimă proprietate a multiplicării grupului 

: <math>\mu \colon G \rightarrow G\quad \mu(x,y)=xy</math>

înseamnă că {{Math|&mu;}} este o aplicație netedă, definită pe [[Varietate (geometrie)|varietatea produsului cartezian]] {{Math|''G'' × ''G''}} cu valori în {{Math|''G''}}''.'' Aceste două cerințe pot fi combinate cu unica cerință ca aplicația 

: <math>(x,y)\mapsto x^{-1}y </math> 

să fie o aplicație netedă definită pe varietatea produs cartezian cu valori în {{Math|''G''}}''.'' 

=== Primele exemple ===

* [[Inversarea matricilor|Matricele inversabile reale]] 2 × 2 formează un grup în raport cu [[înmulțirea matricilor |înmulțirea]], notat cu {{Nowrap|{{Ill-wd|Q524607|3=GL(2, '''R''')}}}} sau cu {{Math|GL<sub>2</sub>('''R''')}}: 

:: <math> \operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}. </math>
: Acesta este un grup tetradimensional, real, [[Spațiu compact|necompact,]] Lie; este o submulțime deschisă a lui <math>\R^4</math>. Acest grup este [[Mulțime conexă|neconex]]; are două componente conexe care corespund valorilor pozitive și negative ale [[Determinant (matematică)|determinantului]]. 

* Matricele de [[Rotație (matematică)|rotație]] formează un [[subgrup]] al lui {{Math|GL(2, '''R''')}}, notat cu {{Math|SO(2, '''R''')}}. El este în sine un grup Lie în sine: anume, un grup compact, [[unidimensional]], conex, care este [[Difeomorfism|difeomorf]] cu[[Cerc|cercul]]. Folosind unghiul de rotație {{Math|''&phi;''}} ca parametru, acest grup poate fi [[Ecuație parametrică|parametrizat]] după cum urmează: 

:: <math> \operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}:  \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}. </math>

: Adunarea unghiurilor corespunde multiplicării elementelor din {{Math|SO(2, '''R''')}}, iar găsirea unghiului invers corespunde operației de găsire a simetricului. Astfel, atât înmulțirea, cât și găsirea simetricului sunt aplicații diferențiabile. 

* {{Ill-wd|Q686291|3=Grupul afin de dimensiune 1}} este un grup Lie de matrice bidimensionale, constând din matrice reale, superior triunghiulare, de dimensiune {{Math|2 &times; 2}}, primul element de pe diagonală fiind pozitiv, iar cel de-al doilea fiind 1. Astfel, grupul constă din matrici de forma 

: <math> A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b\in\mathbb{R}.</math>

=== Exemplu de grup care nu este un grup Lie ===
Urmează un exemplu de grup cu un număr nenumărabil de elemente care nu este un grup Lie în cadrul unei anumite topologii. Grupul dat de 

: <math>H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},
</math><math> H = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) \right| \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right)\right| \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\}, </math> 

cu <math>a \in \R \setminus \Q</math> un [[număr irațional]] ''fix'', este un subgrup al [[Tor|torului]] <math>\mathbb T^2 </math> care nu este un grup Lie atunci când primește {{Ill-wd|Q660730|3=topologia de subspațiu}}.<ref>{{Harvnb|Rossmann|2001|loc=Capitolul 2.}}</ref> Dacă luăm orice vecinătate mică {{Math|''U''}} a unui punct {{Math|''h''}} din {{Math|''H''}}, de exemplu, porțiunea de {{Math|''H''}} din {{Math|''U''}} este neconexă. Grupul {{Math|''H''}} se înfășoară repetat în jurul torului și formează un subgrup [[Mulțime densă|dens]] al lui <math>\mathbb T^2 </math>. 
[[Fișier:Irrational_line_on_a_torus.png|dreapta|miniatura| O porțiune a grupului {{Math|''H''}} înăuntrul lui <math>\mathbb T^2 </math>. Mici vecinătăți ale elementului <math>h \in H</math>sunt neconexe în topologia de submulțime pe {{Math|''H''}} ]]
Grupul {{Math|''H''}} poate, totuși, să primească o topologie diferită, în care distanța dintre două puncte <math>h_1, h_2 \in H</math>este definită ca lungimea celei mai scurte căi ''în'' ''grupul H'' care leagă {{Math|''h''<sub>1</sub>}} de {{Math|''h''<sub>2</sub>}}. În această topologie, {{Math|''H''}} este identificat homeomorf cu [[dreapta reală]] prin identificarea fiecărui element cu numărul {{Math|''&theta;''}} din definiția lui {{Math|''H''}}. Cu această topologie, {{Math|''H''}} este doar grupul numerelor reale în raport cu acunarea și este, prin urmare, un grup Lie. 

Grupul {{Math|''H''}} este un exemplu de „subgrup Lie” al unui grup Lie care nu este închis.

=== Grupuri Lie matriciale ===
Fie {{Nowrap|GL(''n''; '''C''')}} denota grupul matricelor {{Nowrap|''n'' × ''n''}} inversabile cu elemente din '''C.''' Orice subgrup închis al lui {{Nowrap|GL(''n'', '''C''')}} este un grup Lie;<ref>{{Harvnb|Hall|2015}} Corolarul 3.45</ref> Grupurile Lie de acest fel se numesc '''grupuri Lie matriciale.''' Deoarece cele mai multe dintre exemplele interesante ale grupurilor Lie pot fi realizate ca grupuri Lie matriciale, unele manuale se concentrează doar asupra acestei clase, inclusiv a cărțile lui Hall<ref>{{Harvnb|Hall|2015}}</ref> și Rossmann.<ref>{{Harvnb|Rossmann|2001}}</ref> Restricționarea atenției asupra grupurile Lie matriciale simplifică definirea algebrei Lie și a aplicației exponențiale. Următoarele sunt exemple standard de grupuri Lie matriciale. 

* {{Ill-wd|Q2140900|3=Grupurile liniare speciale}} peste '''R''' și '''C,''' {{Nowrap|SL(''n'', '''R''')}} și {{Nowrap|SL(''n'', '''C''')}} constând din matrice {{Nowrap|''n'' × ''n''}} cu determinantul 1 și elemente din '''R''' sau '''C''' 
* {{Ill-wd|Q1500617|3=Grupurile unitare}} și grupurile unitare speciale, U''(n)'' și SU''(n),'' constând din matrice {{Nowrap|''n'' × ''n''}} complexe care satisfac {{Math|1=''U''<sup>*</sup> = ''U''<sup>&minus;1</sup>}} (și {{Math|1=det(''U'') = 1}} în cazul SU(''n'')) 
* [[Grup ortogonal|Grupurile ortogonale]] și grupurile ortogonale speciale, O(''n)'' și SO''(n),'' constând din matrice {{Nowrap|''n'' × ''n''}} reale care satisfac {{Math|1=''R''<sup>''T''</sup> = ''R''<sup>&minus;1</sup>}} (și {{Math|1=det(''R'') = 1}} în cazul SO(''n'')) 

Toate exemplele precedente se încadrează în categoria {{Ill-wd|Q2285809|3=grupurilor clasice}}. 

=== Concepte înrudite ===
Un '''grup Lie complex''' este definit în același mod folosind {{Ill-wd|Q578874|3=varietăți complexe}} în locul celor reale (exemplu: {{Nowrap|SL(2, '''C''')}}) și, similar, folosind o [[Spațiu complet|completare metrică]] alternativă a lui '''Q''', se poate defini un '''grup ''p-''adic Lie''' peste {{Ill-wd|Q311627|3=numerele ''p-''adice}}, un grup topologic în care fiecare punct are o vecinătate ''p-''adică. {{Ill-wd|Q3893331|3=A cincea problemă a lui Hilbert}} a pus întrebarea dacă înlocuirea varietăților diferențiabile cu cele topologice sau analitice poate da noi exemple. Răspunsul la această întrebare s-a dovedit a fi negativ: în 1952, {{Ill-wd|Q504857|3=Gleason}}, {{Ill-wd|Q931348|3=Montgomery}} și {{Ill-wd|Q1423262|3=Zippin}} au arătat că dacă {{Math|''G''}} este o varietate topologică cu operații continue de grup, atunci există o structură analitică exactă pe {{Math|''G''}}'','' care o transformă într-un grup Lie. Dacă mulțimii de bază i se permite să fie infinit dimensională (de exemplu, o {{Ill-wd|Q3554824|3=varietate Hilbert}}), atunci se ajunge la noțiunea de grup neliniar infinit-dimensional. Este posibil să se definească analoage ale multor {{Ill-wd|Q1406425|3=grupuri Lie pe corpuri finite}} și acestea oferă cele mai multe exemple de {{Ill-wd|Q840616|3=grupuri finite simple}}. 

Limbajul [[Teoria categoriilor|teoriei categoriilor]] oferă o definiție concisă pentru grupurile Lie: un grup Lie este un {{Ill-wd|Q765994|3=obiect de grup}} în [[Categorie (matematică)|categoria]] {{Ill-wd|Q765994|3=grupurilor}} de clasă {{Math|C<sup>&infin;</sup>}}. Acest lucru este important, deoarece permite generalizarea noțiunii de grup Lie la {{Ill-wd|Q7643409|3=supergrupurile Lie}}. 

=== Definiție topologică ===
Un grup Lie poate fi definit ca grup topologic (Hausdorff) care, în apropierea elementului neutru, arată ca un grup de transformare, fără a se face referire la varietăți diferențiate.<ref>{{Harvnb|T. Kobayashi–T. Oshima|loc=Definiția 5.3.}}</ref> În primul rând, se definește un '''grup imers liniar Lie,''' care este un subgrup ''G'' al grupului liniar general <math>GL(n, \Complex)</math> astfel încât 

# pentru o anumită vecinătate {{Math|''V''}} a [[element neutru|elementului neutru]] {{Math|''e''}} din {{Math|''G''}}, topologia pe {{Math|''V''}} este topologia de subspațiu a lui <math>GL(n, \Complex)</math>și {{Math|''V''}} este închisă în <math>GL(n, \Complex)</math>. 
# {{Math|''G''}} are cel mult multe un număr numărabil de componente conexe. 

(De exemplu, un subgrup închis al lui <math>GL(n, \Complex)</math>; adică, un grup Lie matricial satisface condițiile de mai sus. ) 

Atunci, un ''grup Lie'' este definit ca un grup topologic care (1) este izomorf la nivel local în apropierea elementului neutru cu un grup Lie imers liniar și (2) are cel mult un număr numărabil de componente conexe. Demonstrarea că definiția topologică este echivalentă cu cea uzuală este complexă.

== Note ==
<references/>
==Bibliografie==
* {{citation|authorlink=John Frank Adams|first=John Frank|last= Adams|title=Lectures on Lie Groups|series=Chicago Lectures in Mathematics|isbn= 978-0-226-00527-0|year=1969|publisher=Univ. of Chicago Press|location=Chicago | mr=0252560}}.
*{{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the history of Lie groups and algebraic groups | url=https://books.google.com/books?isbn=0821802887 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-0288-5 | mr=1847105 | year=2001 | volume=21}}
* {{citation|first=Nicolas|last= Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras}}. Capitolele 1&ndash;3 {{isbn|3-540-64242-0}}, Capitolele 4&ndash;6 {{isbn|3-540-42650-7}}, Capitolele 7&ndash;9 {{isbn|3-540-43405-4}}
*{{cite book|ref=harv|last1=Bäuerle|first1=G.G.A|last2=de Kerf|first2=E.A.|last3=ten Kroode|first3=A. P. E.|title=Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics|year=1997|series=Studies in mathematical physics|volume=7|editor1=A. van Groesen|editor2=E.M. de Jager|publisher=North-Holland|isbn=978-0-444-82836-1|url=http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582|via={{Ill-wd|Q2571518}}|subscription=yes}}
* {{citation|last=Chevalley|first=Claude|title=Theory of Lie groups|isbn=978-0-691-04990-8|year=1946|publisher=Princeton University Press|location=Princeton}}.
* {{Ill-wd|Q949132}} (1957) ''Lie Groups'', Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
* {{Ill-wd|Q1711970}} (1940) ''A History of Geometrical Methods'', pp 304–17, [[Oxford University Press]] ({{Ill-wd|Q2137023}} 2003).
* {{Fulton-Harris}}
* Robert Gilmore (2008) ''Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists'', [[Cambridge University Press]] {{isbn|9780521884006}} {{doi|10.1017/CBO9780511791390}}.
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666|doi=10.1007/978-3-319-13467-3}}.
* F. Reese Harvey (1990) ''Spinors and calibrations'', {{Ill-wd|Q2076913}}, {{isbn|0-12-329650-1}}.
*{{Citation | last1=Hawkins | first1=Thomas | title=Emergence of the theory of Lie groups | url=https://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1 | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | isbn=978-0-387-98963-1 | mr=1771134 | year=2000 | doi=10.1007/978-1-4612-1202-7}} [https://www.jstor.org/stable/2695575 Borel's review]
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | authorlink=Sigurður Helgason (mathematician) | title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-2848-9 |mr=1834454 | year=2001 | volume=34 | doi=10.1090/gsm/034}}
* {{citation|last=Knapp|first=Anthony W.|authorlink=Anthony Knapp|title=Lie Groups Beyond an Introduction|edition= 2nd|series=Progress in Mathematics|volume=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|year= 2002|isbn=978-0-8176-4259-4}}.
* T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
* {{cite journal |author=Nijenhuis, Albert |authorlink=Albert Nijenhuis |title=Review: ''Lie groups'', by P. M. Cohn |journal={{Ill-wd|Q2928101}} |year=1959  |volume=65 |issue=6 |pages=338–341 |doi=10.1090/s0002-9904-1959-10358-x}}
* {{citation|last=Rossmann|first= Wulf |title=Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups|series= Oxford Graduate Texts in Mathematics|publisher= Oxford University Press|isbn= 978-0-19-859683-7|year=2001}}. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
*{{cite book |first=David H. |last=Sattinger |first2=O. L. |last2=Weaver |year=1986 |title=Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-96240-3 | mr=0835009 |doi=10.1007/978-1-4757-1910-9}}
* {{citation|authorlink=J.-P. Serre|first=Jean-Pierre|last=Serre|title= Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University|series=Lecture notes in mathematics|volume= 1500|publisher=Springer|isbn= 978-3-540-55008-2|year=1965}}.
*{{cite book |authorlink=John Stillwell |first=John |last=Stillwell |year=2008 |title=Naive Lie Theory |publisher=Springer |isbn=978-0387782140 |doi=10.1007/978-0-387-78214-0|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] }}
* Heldermann Verlag [http://www.heldermann.de/JLT/jltcover.htm Journal of Lie Theory]
*{{Citation | last1=Warner | first1=Frank W. | title=Foundations of differentiable manifolds and Lie groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=New York Berlin Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90894-6 |mr=0722297 | year=1983 | volume=94|doi=10.1007/978-1-4757-1799-0}}
* {{citation|first=Willi-Hans|last=Steeb|title=Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition | publisher=World Scientific Publishing | year=2007|isbn=978-981-270-809-0 | mr=2382250 | doi=10.1142/6515}}.
*[http://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces] Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Simetrie]]
[[Categorie:Varietăți multidimensionale]]
[[Categorie:Pagini cu legături spre conținut disponibil doar pe bază de abonament]]
[[Categorie:Grupuri Lie|  ]]