Vizualizare sursă pentru „Grup Coxeter”

În [[matematică]], un '''grup Coxeter''', numit după [[Harold Scott MacDonald Coxeter |H.S.M. Coxeter]], este un [[grup (matematică) |grup abstract]] care admite o  descriere formală în funcție de [[Reflexie (matematică) |reflexii]] (sau oglindiri). Grupurile Coxeter finite sunt chiar [[grup de reflexie |grupurile de reflexie]] euclidiene finite. Un exemplu este [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] al [[poliedru regulat |poliedrelor regulate]]. Totuși, nu toate grupurile Coxeter sunt finite și nu toate pot fi descrise în funcție de [[Simetrie (geometrie) |simetrii]] și reflexii euclidiene. Grupurile Coxeter au fost introduse în 1934 ca abstracții ale grupurilor de reflexie,{{Harv|Coxeter|1934}} iar grupurile Coxeter finite au fost clasificate în 1935{{Harv|Coxeter|1935}}.

Grupurile Coxeter au aplicații în multe domenii ale matematicii. Exemple de grupuri finite Coxeter sunt grupurile de simetrie ale [[politop regulat |politopurilor regulate]] și [[grup Weyl |grupurile Weyl]] din [[algebră Lie simplă |algebrele Lie simple]]. Exemple de grupuri Coxeter infinite sunt grupurile triunghiului corespunzătoare [[Teselare|teselărilor regulate]] ale [[spațiu euclidian |planului euclidian]] și [[Spațiu hiperbolic |hiperbolic]], și grupurile Weyl infinit-dimensionale ale [[algebră Kac–Moody |algebrelor Kac–Moody]].

Articolul se bazează în special pe două surse: {{Harv|Humphreys|1992}} și {{Harv|Davis|2007}}.

== Definiție ==
În mod formal, un ''grup Coxeter'' poate fi definit ca un [[grup (matematică) |grup]] cu [[prezentarea unui grup |prezentarea]]:
:<math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>
unde <math>m_{ii}=1</math> și <math>m_{ij}\geq 2</math> pentru <math>i\neq j</math>.
Condiția <math>m_{i j}=\infty</math> însemnă că nu ar trebui impusă nicio relație de forma <math>(r_ir_j)^m</math>.

Perechea <math>(W,S)</math> unde <math>W</math> este un grup Coxeter cu generatorii <math>S=\{r_1, \dots , r_n\}</math> este numită ''sistem Coxeter''. De reținut că în general <math>S</math> ''nu'' este determinat unic de <math>W</math>. De exemplu, grupurile Coxeter de tip <math>B_3</math> și <math>A_1\times A_3</math> sunt [[izomorfism|izomorfe]] dar sistemele Coxeter nu sunt echivalente (v. mai jos).

Din definiția de mai sus se pot trage imediat o serie de concluzii.
* Relația <math>m_{ii} = 1</math> înseamnă că <math>(r_ir_i)^1 = (r_i)^2 = 1</math> pentru toți <math>i</math>&nbsp;; adică generatorii sunt [[involuție (matematică)|involuții]].
* Dacă <math>m_{ij} = 2</math>, atunci generatorii <math>r_i</math> și <math>r_j</math> sunt comutativi. Aceasta rezultă observând că
::<math>xx = yy = 1</math>,
: care, împreună cu
::<math>xyxy = 1</math>
: implică
::<math>xy = x(xyxy)y = (xx)yx(yy) = yx</math>.
:Alternativ, deoarece generatorii sunt involuții, <math>r_i = r_i^{-1}</math>, prin urmare <math>(r_ir_j)^2=r_ir_jr_ir_j=r_ir_jr_i^{-1}r_j^{-1}</math>, iar asta este același lucru cu a fi [[comutator (matematică)|comutator]].
* Pentru a evita redundanța dintre relații, este necesară presupunerea că <math>m_{ij} = m_{ji}</math>. Aceasta rezultă observând că
::<math>yy = 1</math>,
: care, împreună cu
::<math>(xy)^m = 1</math>
: implică
::<math>(yx)^m = (yx)^myy = y(xy)^my = yy = 1</math>.
:Alternativ, <math>(xy)^k</math> și <math>(yx)^k</math> sunt [[element conjugat|elemente conjugate]], deoarece <math>y(xy)^k y^{-1} = (yx)^k yy^{-1}=(yx)^k</math>.

=== Matricile Coxeter și Schläfli ===
O ''matrice Coxeter'' este o [[matrice simetrică]] <math>n\times n</math>, cu intrările <math>m_{ij}</math>. Orice matrice simetrică cu intrări diagonale exclusiv 1 și intrări nediagonale din mulțimea <math>\{2,3,\ldots\} \cup \{\infty\}</math> este o matrice Coxeter.

Matricea Coxeter poate fi codificată convenabil printr-o [[diagramă Coxeter–Dynkin|diagramă Coxeter]], conform următoarelor reguli.
* [[Vârf (geometrie)|Vârfurile]], care formează [[nod (teoria grafurilor) |nodurile]] [[graf]]ului sunt etichetate cu indicii generatorului.
* Vârfurile <math>i</math> și <math>j</math> sunt adiacente [[dacă și numai dacă]] <math>m_{ij}\geq 3</math>.
* O [[latură (geometrie)|latură]] (legătură) este etichetată cu valoarea <math>m_{ij}</math> ori de câte ori valoarea este <math>4</math> sau mai mare.

În particular, doi generatori sunt comutativi dacă și numai dacă nu sunt conectați printr-o latură. Mai mult, dacă un graf Coxeter are două sau mai multe componente conectate, grupul asociat este [[produs direct de grupuri|produsul direct]] al grupurilor asociate componentelor individuale. Astfel, [[mulțimi disjuncte#Reuniuni_și_partiții_disjuncte |reuniunea disjunctă]] a grafurilor Coxeter produce un produs direct al grupurilor Coxeter.

Matricea Coxeter, <math>M_{ij}</math>, este legată de <math>n \times n</math> matricea Schläfli <math>C</math> cu intrări <math>C_{ij} = -2\cos(\pi/M_{ij})</math>, dar elementele sunt modificate, fiind proporționale cu [[produs scalar |produsul scalar]] al perechilor de generatori. Matricea Schläfli este utilă deoarece [[vectori și valori proprii|valorile proprii]] determină dacă grupul Coxeter este de ''tip finit'' (toate pozitive), ''tip afin'' (toate nenegative, cel puțin un zero) sau ''tip nedefinit'' (altfel). Tipul [[expresie nedefinită|nedefinit]] este uneori subdivizat în continuare, de ex. în grupuri hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice.

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Exemple
|-
!Grup Coxeter
! A<sub>1</sub>×A<sub>1</sub>
! A<sub>2</sub>
! B<sub>2</sub>
! H<sub>2</sub>
! G<sub>2</sub>
! <math>{\tilde{I}}_1</math>
! A<sub>3</sub>
! B<sub>3</sub>
! D<sub>4</sub>
! <math>{\tilde{A}}_3</math>
|-
![[Diagramă Coxeter]]
|{{CDD|node|2|node}}
|{{CDD|node|3|node}}
|{{CDD|node|4|node}}
|{{CDD|node|5|node}}
|{{CDD|node|6|node}}
|{{CDD|node|infin|node}}
|{{CDD|node|3|node|3|node}}
|{{CDD|node|4|node|3|node}}
|{{CDD|node|3|node|split1|nodes}}
|{{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}
|-
!Matrice Coxeter
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  2 \\
 2 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 \\
 3 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  4 \\
 4 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  5 \\
 5 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  6 \\
 6 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  \infty \\
 \infty &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 \\
 3 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  4 &  2 \\
 4 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 2 \\
 3 &  1 &  3 & 3 \\
 2 &  3 &  1 & 2\\
 2 &  3 &  2 & 1 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 3 \\
 3 &  1 &  3 & 2 \\
 2 &  3 &  1 & 3\\
 3 &  2 &  3 & 1 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|-
!Matrice Schläfli
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 2 &  0 \\
 0 &  2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -1 \\
 -1 &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -\sqrt2 \\
 -\sqrt2 &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -\phi \\
 -\phi &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -\sqrt3 \\
 -\sqrt3 &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -2 \\
 -2 &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &  -1    &  \ \,0 \\
 -1    &  \ \,2 &  -1 \\
 \ \,0 &  -1    &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,\ \ 2 &  -\sqrt{2} &  \ \,0 \\
 -\sqrt{2} &  \ \,\ \ 2 &     -1 \\
 \ \,\ \ 0 &     \ \,-1 &  \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &    -1 & \ \,0 & \ \,0 \\
    -1 & \ \,2 &    -1 &    -1 \\
 \ \,0 &    -1 & \ \,2 & \ \,0 \\
 \ \,0 &    -1 & \ \,0 & \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>\left [
\begin{smallmatrix}
 \ \,2 &    -1  & \ \,0 &    -1 \\
    -1 &  \ \,2 &    -1 & \ \,0 \\
 \ \,0 &     -1 & \ \,2 &    -1 \\
    -1 &  \ \,0 &    -1 & \ \,2 
\end{smallmatrix}\right ]</math>
|}

== Exemplu ==
Graful <math>A_n</math> în care [[nod (teoria grafurilor)|nodurile]] de la 1 la ''n'' sunt plasate într-un rând, cu fiecare nod conectat printr-o [[muchie (teoria grafurilor)|muchie]] cu vecinii săi imediați dă naștere la [[grup simetric |grupul simetric]] ''S''<sub>''n''+1</sub>; generatorii corespund transpozițiilor (1 2), (2 3), ... , (''n'' ''n''+1). Două transpoziții neconsecutive comută întotdeauna, în timp ce (''k'' ''k''+1) (''k''+1 ''k''+2) dă [[permutare ciclică |permutarea ciclică]] (''k'' ''k''+2 ''k''+1). Desigur, acest lucru arată doar că ''S<sub>n+1</sub>'' este [[grup factor |grupul factor]] din grupul Coxeter descris de graf, dar nu este prea dificil să se verifice dacă egalitatea este adevărată.

== Conexiunea cu grupurile de reflexie  ==
Grupurile Coxeter sunt profund legate de grupurile de reflexie. Simplu spus, grupurile Coxeter sunt grupuri ''abstracte'' (date printr-o prezentare), în timp ce grupurile de reflexie sunt grupuri ''concrete'' (date ca subgrupuri ale [[grup liniar |grupurilor liniare]] sau diverse generalizări). Grupurile Coxeter au provenit din studiul grupurilor de reflexie&nbsp;— ele sunt o [[abstractizare (matematică)|abstractizare]]: un grup de reflexie este un subgrup al unui grup liniar generat de reflexii (care are [[ordin de simetrie|ordinul]] 2), în timp ce un grup Coxeter este un grup abstract generat de involuții (elemente de ordinul 2, abstracție din reflexii), și ale cărei relații au o anumită formă (<math>(r_ir_j)^k</math>, corespunzând intersecțiilor [[hiperplan]]elor la un unghi de <math>\pi/k</math>, cu <math>r_ir_j</math> fiind de ordinul ''k'', extras dintr-o rotație de <math>2\pi/k</math>).

Grupul abstract al unui grup de reflexie este un grup Coxeter, în timp ce invers, un grup de reflexie poate fi văzut ca o [[reprezentare liniară]] a unui grup Coxeter. Pentru grupurile de reflexie ''finite'', aceasta produce o corespondență exactă: fiecare grup finit Coxeter admite o reprezentare fidelă ca un grup de reflecție finit al unui spațiu euclidian. Însă pentru grupurile Coxeter infinite, un grup Coxeter poate să nu admită o reprezentare ca grup de reflecție.

Din punct de vedere istoric, {{Harv|Coxeter|1934}} a demonstrat că fiecare grup de reflexie este un grup Coxeter (adică, are o prezentare în care toate relațiile sunt de forma <math>r_i^2</math> sau <math>(r_ir_j)^k</math>). Prin această lucrare a introdus noțiunea de grup Coxeter, în timp ce în {{Harv|Coxeter|1935}} a demonstrat că fiecare grup finit Coxeter are o reprezentare ca grup de reflexie și a clasificat grupurile finite Coxeter.

== Grupuri Coxeter finite ==
[[Fișier:Finite coxeter.svg|500px|thumb|Grafuri Coxeter ale grupurilor Coxeter finite]]

=== Clasificare ===
Grupurile Coxeter finite au fost clasificate în {{Harv|Coxeter|1935}} conform diagramelor Coxeter–Dynkin. Toate sunt reprezentate de grupurile de reflexie a spațiilor euclidiene finite dimensional.

Grupurile finite Coxeter constau din trei familii cu un singur parametru, de rang crescător <math>A_n, B_n, D_n,</math> o familie cu un singur parametru de dimensiunea doi, <math>I_2(p),</math> și șase grupuri excepționale: <math>E_6, E_7, E_8, F_4, H_3</math> și <math>H_4.</math> Produsul a multe grupuri Coxeter finite din această listă este și el un grup Coxeter și toate grupurile Coxeter finite se formează astfel.

=== Grupuri Weyl ===
Multe, dar nu toate dintre acestea, sunt [[grup Weyl|grupuri Weyl]], iar orice grup Weyl poate fi realizat ca grup Coxeter. Grupurile Weyl sunt familiile <math>A_n, B_n,</math> și <math>D_n,</math> iar excepțiile <math>E_6, E_7, E_8, F_4</math> și <math>I_2(6)</math> sunt notate în notația grupurilor Weyl cu <math>G_2.</math> Excepțiile <math>H_3</math> și <math>H_4</math> nu sunt grupuri Weyl, iar familia excepțională <math>I_2(p)</math> coincide cu unul dintre grupurile Weyl (anume, <math>I_2(3) \cong A_2, I_2(4) \cong B_2,</math> and <math>I_2(6) \cong G_2</math>).

Acest lucru poate fi demonstrat prin compararea [[restricție (matematică) |restricțiilor]] asupra diagramelor Dynkin ([[orientare (teoria grafurilor)|neorientate]]) cu restricțiile asupra diagramelor Coxeter ale grupurilor finite: formal, [[diagramă Coxeter–Dynkin|graful Coxeter]] poate fi obținut din diagrama Dynkin ștergând orientarea legăturilor și înlocuind fiecare legătură dublă cu o legătură etichetată „4” și fiecare legătură triplă cu o legătură etichetată „6”. De asemenea, de reținut că fiecare grup Coxeter finit generat este un [[grup automat]].<ref name="BrinkAndHowlett">{{en icon}} {{citation |last=Brink |first=Brigitte |last2=Howlett |first2=RobertB. |title=A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups |journal=Mathematische Annalen |volume=296 |issue=1 |pages=179–190 |year=1993 |doi=10.1007/BF01445101 | postscript = . |zbl=0793.20036}}</ref> Diagramele Dynkin au restricția suplimentară conform căreia singurele etichete ale legăturilor permise sunt „2”, „3”, „4” și „6”, ceea ce dă rezultatele de mai sus. Geometric, aceasta corespunde cu [[teorema de restricție cristalografică]], iar faptul că politopurile excluse nu umplu spațiul sau nu pavează planul&nbsp;— pentru <math>H_3</math>, [[dodecaedru]]l (dualul [[icosaedru]]lui) nu umplu spațiul; pentru <math>H_4</math> [[120-celule]] (dualul lui 600-celule) nu umplu spațiul; pentru <math>I_2(p)</math> un ''p''-gon nu pavează planul, cu excepția <math>p=3, 4</math> sau <math>6</math> (dalele [[triunghi]]ulare, [[pătrat]]e și respectiv [[hexagon]]ale).

De reținut și că diagramele Dynkin (orientate) ''B<sub>n</sub>'' și ''C<sub>n</sub>'' generează același grup Weyl (deci grup Coxeter), deoarece acestea diferă ca grafuri ''orientate'', dar sunt la fel ca grafuri ''neorientate''- orientarea contează pentru sistemele de generatori, dar nu pentru grupul Weyl; aceasta corespunde cu [[hipercub]]ul și [[ortoplex]]ul care sunt politopuri diferite, dar au același grup de simetrie.

=== Proprietăți ===
În tabelul următor sunt date unele proprietăți ale grupurilor Coxeter finite ireductibile. Ordinea grupurilor reductibile poate fi calculată din produsul ordinelor subgrupurilor lor ireductibile.

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
!Rang<br/>''n''||Simbol<br/>grup||Simbol<br/>alternativ||[[Notația Coxeter]]||[[Diagramă Coxeter–Dynkin|Diagramă<br/>Coxeter]]|| data-sort-type="number"|Reflexii<br/>''m''={{frac|1|2}}''nh''<ref>Coxeter, ''Regular polytopes'', §12.6 The number of reflections, equation 12.61</ref>||data-sort-type="number"|Număr Coxeter<br/>''h''||data-sort-type="number"|[[Ordin (teoria grupurilor)|Ordin]] ||Structura grupului<ref name="wilson">{{en icon}} {{Citation | last1=Wilson | first1=Robert A. | title=The finite simple groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 251 | isbn=978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2 | year=2009 |chapter = Chapter 2 | volume=251}}</ref> || [[Politop uniform|politopuri]] asociate
|-
!1 ||''A''<sub>1</sub> 
| ''A''<sub>1</sub> || [ ]|| {{CDD|node}} || 1 ||2 || 2 || <math>S_2</math> || { }
|-
!2 ||''A''<sub>2</sub> 
| ''A''<sub>2</sub> || [3]|| {{CDD|node|3|node}} || 3 ||3 || 6 || <math>S_3\cong D_6\cong \operatorname{GO}^-_2(2)\cong \operatorname{GO}^+_2(4)</math> || [[triunghi echilateral|{3}]] 
|-
!3 ||''A''<sub>3</sub> 
| ''A''<sub>3</sub> || [3,3]|| {{CDD|node|3|node|3|node}} || 6 ||4 || 24 || <math>S_4</math> || [[tetraedru|{3,3}]] 
|-
!4 ||''A''<sub>4</sub> 
| ''A''<sub>4</sub> || [3,3,3]|| {{CDD|node|3|node|3|node|3|node}} || 10 ||5 || 120 || <math>S_5</math> || [[5-celule|{3,3,3}]] 
|-
!5 ||''A''<sub>5</sub> 
| ''A''<sub>5</sub> || [3,3,3,3]|| {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}} || 15 ||6 || 720 || <math>S_6</math> || [[5-simplex|{3,3,3,3}]] 
|-
!''n'' ||''A''<sub>''n''</sub> || ''A''<sub>''n''</sub> || [3<sup>''n''−1</sup>]|| {{CDD|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}} || ''n''(''n'' + 1)/2 ||''n'' + 1 || (''n'' + 1)! || <math>S_{n+1}</math> || [[simplex|''n''-simplex]] 
|-
!2 ||''B''<sub>2</sub>
| ''C''<sub>2</sub> || [4]|| {{CDD|node|4|node}} || 4 ||4 || 8 || <math>C_{2}\wr S_{2} \cong D_8\cong \operatorname{GO}^-_2(3)\cong \operatorname{GO}^+_2(5)</math> || [[pătrat|{4}]]
|-
!3 ||''B''<sub>3</sub>
| ''C''<sub>3</sub> || [4,3]|| {{CDD|node|4|node|3|node}}|| 9 ||6 || 48 || <math>C_{2}\wr S_{3}\cong S_4\times 2</math> || [[cube|{4,3}]] / [[octaedru|{3,4}]] 
|-
!4 ||''B''<sub>4</sub>
| ''C''<sub>4</sub> || [4,3,3]|| {{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}|| 16 ||8 || 384 || <math>C_{2}\wr S_{4}</math> || -[[tesseract|{4,3,3}]] / [[16-celule|{3,3,4}]] 
|-
!5 ||''B''<sub>5</sub>
| ''C''<sub>5</sub> || [4,3,3,3]|| {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node}} || 25 || 10 || 3840 || <math>C_{2}\wr S_{5}</math> || [[5-cub|{4,3,3,3}]] / [[5-ortoplex|{3,3,3,4}]] 
|-
!''n'' ||''B''<sub>''n''</sub>|| ''C''<sub>''n''</sub> || [4,3<sup>''n''−2</sup>]|| {{CDD|node|4|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}|| ''n''<sup>2</sup> ||2''n'' || 2<sup>''n''</sup> ''n''! || <math>C_{2}\wr S_{n}</math> || [[hipercube|''n''-cub]] / [[ortoplex|''n''-ortoplex]] 
|-
!4 ||''D''<sub>4</sub> 
| ''B''<sub>4</sub> || [3<sup>1,1,1</sup>]|| {{CDD|nodes|split2|node|3|node}}|| 12 ||6 || 192 || <math>C_{2}^3 S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_3</math> || [[16-celule|h{4,3,3}]] / [[16-celule|{3,3<sup>1,1</sup>}]]
|-
!5 ||''D''<sub>5</sub> 
| ''B''<sub>5</sub> || [3<sup>2,1,1</sup>]|| {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node}} || 20 ||8 || 1920 || <math>C_{2}^4 S_{5}</math>|| [[5-semicub|h{4,3,3,3}]] / [[5-ortoplex|{3,3,3<sup>1,1</sup>}]]
|-
!''n'' ||''D''<sub>''n''</sub> || ''B''<sub>''n''</sub> || [3<sup>''n''−3,1,1</sup>]|| {{CDD|nodes|split2|node|3}}...{{CDD|3|node|3|node}}|| ''n''(''n'' − 1) ||2(''n'' − 1) || 2<sup>''n''&minus;1</sup> ''n''! || <math>C_{2}^{n-1} S_{n}</math> || [[semihipercub|''n''-semicub]] / [[ortoplex|''n''-ortoplex]]
|-
!6 ||[[#Clasificare|''E''<sub>6</sub>]]
|''E''<sub>6</sub> || [3<sup>2,2,1</sup>]|| {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}} || 36 ||12 || 51840 (72x6!) 
|
<math>\operatorname{GO}_6^{-}(2) \cong \operatorname{SO}_5(3) \cong \operatorname{PSp}_4(3) \colon 2 \cong \operatorname{PSU}_4(2) \colon 2</math>
|
[[Politop 2 21|2<sub>21</sub>]], [[Politop 1 22|1<sub>22</sub>]] 
|-
!7 ||[[#Clasificare|''E''<sub>7</sub>]]
|''E''<sub>7</sub> || [3<sup>3,2,1</sup>]|| {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}|| 63 ||18 || 2903040 (72x8!) || <math> \operatorname{GO}_7(2)\times 2 \cong \operatorname{Sp}_6(2)\times 2 </math>|| [[Politop 3 21|3<sub>21</sub>]], [[Politop 2 31|2<sub>31</sub>]], [[Politop 1 32|1<sub>32</sub>]] 
|-
!8 ||[[#Clasificare|''E''<sub>8</sub>]]
| ''E''<sub>8</sub> || [3<sup>4,2,1</sup>]|| {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}|| 120 ||30 || 696729600 (192x10!) || <math>2\cdot\operatorname{GO}_8^{+}(2)</math>||[[Politop 4 21|4<sub>21</sub>]], [[Politop 2 41|2<sub>41</sub>]], [[Politop 1 42|1<sub>42</sub>]] 
|-
!4 ||[[#Clasificare|''F''<sub>4</sub>]]
|''F''<sub>4</sub> || [3,4,3]|| {{CDD|node|3|node|4|node|3|node}} || 24 ||12 || 1152 ||<math>\operatorname{GO}^+_4(3)\cong 2^{1+4}\colon(S_3 \times S_3)</math>|| [[24-celule|{3,4,3}]] 
|-
!2 ||[[#Clasificare|''G''<sub>2</sub>]]
|| – (''D''{{subsuper|p=6|b=2}}) || [6]|| {{CDD|node|6|node}} || 6 ||6 || 12 || <math>D_{12}\cong \operatorname{GO}^-_2(5)\cong \operatorname{GO}^+_2(7)</math>|| [[hexagon|{6}]] 
|-
!2 ||''H''<sub>2</sub> 
|| ''G''<sub>2</sub> || [5]||{{CDD|node|5|node}} || 5 || 5 || 10 || <math>D_{10}\cong \operatorname{GO}^-_2(4)</math>|| [[pentagon|{5}]] 
|-
!3 ||''H''<sub>3</sub> 
| ''G''<sub>3</sub> 
|| [3,5]|| {{CDD|node|5|node|3|node}} || 15 ||10 || 120 || <math>2\times A_5</math>|| [[icosaedru|{3,5}]] / [[dodecaedru|{5,3}]] 
|-
!4 ||''H''<sub>4</sub> 
| ''G''<sub>4</sub> || [3,3,5]|| {{CDD|node|5|node|3|node|3|node}} || 60 ||30 || 14400 || <math>2\cdot(A_5\times A_5)\colon 2</math>{{efn|un subgrup indice 2 al <math>\operatorname{GO}^+_4(5)</math>}}|| [[120-celule|{5,3,3}]] / [[600-celule|{3,3,5}]] 
|-
!2 ||''I''<sub>2</sub>(''n'') 
|| ''D''{{subsuper|p=''n''|b=2}}|| [''n'']|| {{CDD|node|n|node}} || ''n'' ||''n'' || 2''n'' 
|
<math>D_{2n}</math>

<math>\cong \operatorname{GO}^-_2(n-1)</math> când ''n'' = ''p''<sup>''k''</sup> + 1, ''p'' prim
<math>\cong \operatorname{GO}^+_2(n+1)</math> când ''n'' = ''p''<sup>''k''</sup> − 1, ''p'' prim

| [[Poligon regulat|{''p''}]] 
|}
{{Notelist}}

=== Grupuri de simetrie ale politopurilor regulate ===
Toate [[grup de simetrie |grupurile de simetrie]] ale [[politop regulat |politopurilor regulate]] sunt grupuri Coxeter finite. De reținut că [[politop dual |politopul dual]] are același grup de simetrie.

Există trei serii de politopuri regulate în toate dimensiunile. Grupul de simetrie al unui ''n''-[[simplex]] regulat este [[grup simetric |grupul simetric]] ''S''<sub>''n''+1</sub>, cunoscut și ca grupul Coxeter de tip ''A<sub>n</sub>''. Grupul de simetrie al ''n''-[[cub]]ului și al dualului său, ''n''-[[ortoplex]]ul, este ''B<sub>n</sub>'', este cunoscut ca [[grup hiperoctaedric |grupul hiperoctaedric]].

Politopurile regulate excepționale din două, trei și patru dimensiuni corespund altor grupuri Coxeter. În două dimensiuni, [[grup diedral |grupurile diedrale]], care sunt grupurile de simetrie ale poligoanelor regulate, formează seria ''I''<sub>2</sub>(''p''). În trei dimensiuni, grupul de simetrie al dodecaedrului regulat și al dualului său, icosaedrul regulat, este ''H''<sub>3</sub>, cunoscut sub numele de [[grup icosaedric complet |grupul icosaedric complet]]. În patru dimensiuni, există trei politopuri regulate particulare, [[24-celule]], [[120-celule]] și [[600-celule]]. Primul are grupul de simetrie ''F''<sub>4</sub>, iar celelalte două sunt duale și au grupul de simetrie ''H''<sub>4</sub>.

Grupurile Coxeter de tip ''D<sub>n</sub>'', ''E''<sub>6</sub>, ''E''<sub>7</sub> și ''E''<sub>8</sub> sunt grupurile de simetrie ale anumitor politopuri semiregulate.
{{:Familii de politopuri}}

== Grupuri Coxeter afine ==
[[Fișier:Affine coxeter.svg|400px|thumb|Diagramele Coxeter pentru grupurile Coxeter afine]]
[[Fișier:Stiefel diagram for G2.png|thumb|Diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori <math>G_2</math>]]
''Grupurile Coxeter afine'' formează o a doua serie importantă de grupuri Coxeter. Acestea nu sunt ele însele finite, dar fiecare conține un subgrup abelian normal astfel încât grupul factor corespunzător este finit. În fiecare caz grupul factor este el însuși un grup Coxeter, iar graful Coxeter al grupului Coxeter afin este obținut din graful Coxeter al grupului factor adăugând un alt vârf și una sau două muchii suplimentare. De exemplu, pentru ''n''&nbsp;≥&nbsp;2, graful format din ''n''+1 vârfuri într-un cerc este obținut așa din ''A<sub>n</sub>'' , iar grupul Coxeter corespunzător este grupul Weyl afin al ''A<sub>n</sub> '' ([[grupul simetric afin]]). Pentru ''n''&nbsp;=&nbsp;2, acest lucru poate fi reprezentat ca un subgrup al grupului de simetrie al pavării regulate a planului cu triunghiuri echilaterale.

În general, fiind dat sistem de generatori, se poate construi ''diagrama [[Eduard Stiefel|Stiefel]]'' asociată, constând din hiperplanele ortogonale pe generatori împreună cu unele translații ale acestor hiperplane. Grupul Coxeter afin (sau grupul Weyl afin) este apoi grupul generat de reflexiile (afine) pe toate hiperplanele din diagramă.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Secțiunea 13.6</ref> Diagrama Stiefel împarte planul în infinit de numeroase componente conexe numite ''nișe'', iar grupul Coxeter afin acționează liber și tranzitiv asupra nișelor, la fel cum grupul Weyl obișnuit acționează liber și tranzitiv asupra camerelor Weyl. Figura din dreapta ilustrează diagrama Stiefel pentru sistemul de generatori <math>G_2</math>.

Presupunând că <math>R</math> este un sistem de generatori ireductibil de rang <math>r>1</math> fie <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_r</math> o colecție de generatori simpli. Fie și ca <math>\alpha_{r+1}</math> să fie generatorul superior. Atunci grupul Coxeter afin este generat de reflexiile obișnuite (liniare) pe hiperplanele perpendiculare pe <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_r</math>, împreună cu o reflexie afină dată de translația hiperplanului perpendicular pe <math>\alpha_{r+1}</math>. Graful Coxeter pentru grupul Weyl afin este diagrama Coxeter–Dynkin pentru <math>R</math>, împreună cu un nod suplimentar asociat cu <math>\alpha_{r+1}</math>. În acest caz o nișă a diagramei Stiefel poate fi obținută luând camera Weyl fundamentală și divizând-o printr-o translație a hiperplanului perpendiculară pe <math>\alpha_{r+1}</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Capitolul 13, Exercițiile 12 și 13</ref>

Lista grupurilor Coxeter afine este următoarea:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Simbol<br/>grup ||Simbol<br/>[[Ernst Witt|Witt]]||Notație<br/>Coxeter||[[Diagramă Coxeter–Dynkin|Diagramă<br/>Coxeter]]||Teselări uniforme asociate
|-
!<math>{\tilde{A}}_n</math> 
||<math>P_{n+1}</math> || [3<sup>[''n'']</sup>] || {{CDD|node|split1|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>sau<br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab}}...{{CDD|3ab|nodes|3ab|branch}}||[[Fagure simplectic]]
|-
!<math>{\tilde{B}}_n</math> 
||<math>S_{n+1}</math> || [4,3<sup>''n'' − 3</sup>,3<sup>1,1</sup>]  || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}||[[Fagure semihipercubic]]
|-
!<math>{\tilde{C}}_n</math> 
||<math>R_{n+1}</math> || [4,3<sup>''n''−2</sup>,4]  || {{CDD|node|4|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|4|node}}||[[Fagure hipercubic]]
|-
!<math>{\tilde{D}}_n</math> 
||<math>Q_{n+1}</math> || [ 3<sup>1,1</sup>,3<sup>''n''−4</sup>,3<sup>1,1</sup>] || {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3}}...{{CDD|3|node|split1|nodes}}||[[Fagure semihipercubic]]
|-
!<math>{\tilde{E}}_6</math> 
||<math>T_{7}</math> || [3<sup>2,2,2</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3a|nodea}} sau {{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}||[[Fagure 2 22|2<sub>22</sub>]]
|-
!<math>{\tilde{E}}_7</math> 
||<math>T_{8}</math> || [3<sup>3,3,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}} sau {{CDD|nodes|3ab||nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}||[[Fagure 3 31|3<sub>31</sub>]], [[Fagure 1 33|1<sub>33</sub>]]
|-
!<math>{\tilde{E}}_8</math> 
||<math>T_{9}</math> || [3<sup>5,2,1</sup>] || {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}} ||[[Fagure 5 21|5<sub>21</sub>]], [[Fagure 2 51|2<sub>51</sub>]], [[Fagure 1 52|1<sub>52</sub>]]
|-
!<math>{\tilde{F}}_4</math> 
||<math>U_{5}</math> || [3,4,3,3]|| {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}} ||[[Fagure 16-celule]]<br/>[[Fagure 24-celule]]
|-
!<math>{\tilde{G}}_2</math> 
||<math>V_{3}</math> || [6,3] || {{CDD|node|6|node|3|node}} ||[[Pavare hexagonală]] și<br/>[[Pavare triunghiulară]]
|-
! <math>{\tilde{I}}_1</math> 
||<math>W_{2}</math> || [∞] || {{CDD|node|infin|node}} || [[Apeirogon]]
|}

În fiecare caz indicele simbolului grupului este mai mic cu 1 decât numărul de noduri, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la graful unui grup finit.

== Grupuri Coxeter hiperbolice ==
Există un număr infinit de [[Diagramă Coxeter–Dynkin#Grupuri_Coxeter_hiperbolice|grupuri Coxeter hiperbolice]] descriind grupurile de reflexie în [[geometrie hiperbolică|spațiul hiperbolic]], incluzând în special grupurile triunghiulare hiperbolice.

== Omologie ==
Deoarece un grup Coxeter <math>W</math> este generat de multe elemente finite de ordinul 2, ''abelianizarea'' sa este un [[grup abelian elementar|2-grup abelian elementar]], adică este izomorf pentru suma directă a mai multor copii ale [[grup ciclic |grupului ciclic]] <math>Z_2</math>. Acest lucru poate fi reafirmat în termenii primului grup de omologie din <math>W</math>.

[[Multiplicatorul Schur]] <math>M(W)</math>, egal cu al doilea grup de omologie din <math>W</math>, a fost calculat în {{Harv|Ihara|Yokonuma|1965}} pentru grupuri de reflexie finite și în {{Harv|Yokonuma|1965}} pentru grupurile de reflexie afine, mai unificat în {{Harv|Howlett|1988}}. În toate cazurile, multiplicatorul Schur este și el un 2-grup abelian elementar. Pentru fiecare familie infinită <math>\{W_n\}</math> de grupuri Weyl finite sau afine, rangul <math>M(W_n)</math> se stabilizează pe măsură ce <math>n</math> tinde spre infinit.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation |first=James E. |last=Humphreys |title=Reflection Groups and Coxeter Groups |url=https://books.google.com/books?id=ODfjmOeNLMUC |orig-year=1990 |date=1992 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-43613-7 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volume=29 |zbl=0725.20028}}
* {{en icon}} {{citation | title = The Geometry and Topology of Coxeter Groups
|first = Michael W. | last = Davis | year = 2007 | url = http://www.math.osu.edu/~mdavis/davisbook.pdf | isbn = 978-0-691-13138-2 |zbl=1142.20020 }}

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{citation |first=Anders |last=Björner |first2=Francesco |last2=Brenti |title=Combinatorics of Coxeter Groups |url=https://books.google.com/books?id=1TBPz5sd8m0C |year=2005 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-27596-1 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=231 |zbl=1110.05001}}
* {{en icon}} {{citation |first=Nicolas |last=Bourbaki |author-link=Nicolas Bourbaki |title=Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6 |url=https://books.google.com/books?id=2CSYFcgAlRMC |year=2002 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-42650-9 |series=Elements of Mathematics |zbl=0983.17001}}
* {{en icon}} {{Citation
|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter
|first=H. S. M.
|last=Coxeter
|title=Discrete groups generated by reflections
|journal=Annals of Mathematics
|volume=35
|year=1934
|issue=3
|pages=588–621
|jstor=1968753
|doi=10.2307/1968753
|citeseerx=10.1.1.128.471
}}
* {{en icon}} {{Citation
|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter
|first=H. S. M.
|last=Coxeter
|title=The complete enumeration of finite groups of the form <math>r_i^2=(r_ir_j)^{k_{ij}}=1</math>
|journal=J. London Math. Soc.
|series=1 |volume=10 |issue=1 |doi=10.1112/jlms/s1-10.37.21
|year=1935
|pages=21–25
}}
* {{en icon}} {{citation |first2=Clark T. |last2=Benson |first=Larry C. |last=Grove |title=Finite Reflection Groups |url=https://books.google.com/books?id=525Gh4uzjnIC |year=1985 |publisher=Springer |series=Graduate texts in mathematics |volume=99 |isbn=978-0-387-96082-1 }}
* {{en icon}} {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn= 978-3319134666}}
* {{en icon}} {{citation |first=Richard |last=Kane |title=Reflection Groups and Invariant Theory |url=https://books.google.com/books?id=KmL1uuiMyFUC&pg=PP10 |year=2001 |publisher=Springer |series=CMS Books in Mathematics |isbn=978-0-387-98979-2 |zbl=0986.20038 }}
* {{en icon}} {{citation |first=Howard |last=Hiller |title=Geometry of Coxeter groups |url=https://books.google.com/books?id=7jzvAAAAMAAJ |year=1982 |publisher=Pitman |isbn=978-0-273-08517-1 |series=Research Notes in Mathematics |volume=54 |zbl=0483.57002}}
* {{en icon}} {{Citation
 |first1      = S.
 |last1       = Ihara
 |first2      = Takeo
 |last2       = Yokonuma
 |title       = On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups
 |year        = 1965
 |journal     = J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1
 |volume      = 11
 |pages       = 155–171
 |zbl         = 0136.28802
 |url         = http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/6049/1/jfs110203.pdf
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20131023064852/http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/6049/1/jfs110203.pdf
 |archive-date = 2013-10-23
}}
* {{en icon}} {{Citation
|title=On the Schur Multipliers of Coxeter Groups
|first=Robert B.
|last=Howlett 
|journal=J. London Math. Soc.
|year=1988
|series = 2
|volume=38
|issue=2
|pages=263–276
|doi=10.1112/jlms/s2-38.2.263  |zbl=0627.20019
}}
* {{en icon}} {{citation| first =Ernest B. |last=Vinberg|title=Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension|journal=Trudy Moskov. Mat. Obshch. |volume=47|year=1984}}
* {{en icon}} {{Citation
|first = Takeo
|last = Yokonuma
|title = On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups
|year = 1965
|journal = J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1
|volume = 11
|pages = 173–186 |zbl=0136.28803
|hdl = 2261/6049
}}

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{springer|title=Coxeter group|id=p/c026980}}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=CoxeterGroup  | title=Coxeter group }}
* {{en icon}} {{Citation|url=http://www.jenn3d.org/index.html|title= Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators}}

{{Portal|matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Grupuri Coxeter| ]]