Vizualizare sursă pentru „Grafic logaritmic”

[[Fișier:LogLog exponentials.svg|thumb|240px|Grafic logaritmic al ''y''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;(albastru), ''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;(verde) și ''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;(roșu).<br/>De notat gradațiile scării logaritmice de pe fiecare dintre axe și că ''punctul de interceptare'' este acolo unde ''x'' și ''y'' sunt 1.]]
În [[știință]] și [[inginerie]], un '''grafic logaritmic''' este un grafic bidimensional pentru date numerice, care utilizează [[scară logaritmică |scări logaritmice]] pe axele orizontale și verticale. Într-un grafic logaritmic [[Monom |monoamele]]&nbsp;— relații de forma <math>y=ax^k</math>&nbsp;— apar ca [[dreaptă |drepte]], cu exponentul puterii corespunzând [[pantă |pantei]], iar coeficientul constant corespunzând ''punctului de interceptare'' (valoarea lui ''y'' pentru ''x''&nbsp;=&nbsp;1). Astfel, aceste grafice sunt foarte utile pentru recunoașterea acestor relații și estimarea valorilor. Pentru logaritm se poate utiliza orice bază, deși cel mai frecvent se utilizează baza 10 ([[logaritm zecimal |logaritmii zecimali]]).

== Relațiile cu monoamele ==
Fiind dată ecuația formată dintr-un singur monom <math>y=ax^k,</math> luând logaritmul ecuației (în orice bază) rezultă:
:<math>\log y = k \log x + \log a.</math>
Punând <math>X = \log x</math> și <math>Y = \log y,</math> corespunzătoare graficului logaritmic, rezultă ecuația:
:<math>Y = mX + b</math>
unde ''m''&nbsp;=&nbsp;''k'' este panta dreptei, iar ''b''&nbsp;=&nbsp;log&nbsp;''a'' este punctul de interceptare.<ref>{{en icon}} [http://www.intmath.com/Exponential-logarithmic-functions/7_Graphs-log-semilog.php M. Bourne ''Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper'' (www.intmath.com)]</ref>

== Ecuații ==
Ecuația unei drepte dintr-un grafic logaritmic este
:<math> \log_{10}F(x) = m \log_{10}x + b, </math>
:<math> F(x) = x^m\cdot10^b, </math>
unde ''m'' este panta, iar ''b'' este punctul de interceptare.

=== Obținerea pantei dintr-un grafic logaritmic ===
[[Fișier:Slope of log-log plot.PNG|thumb|240px|Obținrea pantei într-un grafic logaritmic folosind raporturi]]
Pentru a obține din grafic panta se aleg două puncte pe axa ''x'', fie ele ''x''<sub>1</sub> și ''x''<sub>2</sub>. Folosind ecuația de mai sus:
:<math> \log[F (x_1)] = m \log (x_1) + b, </math>
și
:<math> \log[F (x_2)] = m \log(x_2) + b. </math>

Panta ''m'' se obține din diferența:
:<math> m = \frac { \log (F_2) - \log (F_1)} { \log(x_2) - \log(x_1) } = \frac {\log (F_2/F_1)}{\log(x_2/x_1)}, </math>
unde ''F''<sub>1</sub> este o prescurtare pentru ''F''(''x''<sub>1</sub>) iar ''F''<sub>2</sub> una pentru ''F''(''x''<sub>2</sub>). Figura din dreapta ilustrează formula. Se observă că panta din exemplul figurii este ''negativă''. Formula dă și ea o pantă negativă, așa cum se poate vedea din următoarea proprietate a logaritmului:
:<math> \log(x_1/x_2) = -\log(x_2/x_1). </math>

=== Obținerea funcției dintr-un grafic logaritmic ===
[[Fișier:SolarSystem Radii and Period (math).svg|thumb|300px|Ilustrație a modului în care poate fi derivată relația <math>y = k x^n</math>]]
Pentru a obține forma funcției ''F''(''x'') folosind graficul său logaritmic (presupus) cunoscut se folosește o procedură inversă față de cea de mai sus. Se alege un ''punct fix'' (''x''<sub>0</sub>, ''F''<sub>0</sub>), unde ''F''<sub>0</sub> este prescurtarea pentru ''F''(''x''<sub>0</sub>), undeva pe dreapta din graficul de mai sus, și un alt ''punct arbitrar'' (''x''<sub>1</sub>, ''F''<sub>1</sub>) de pe același grafic. Apoi, din formula pantei de mai sus se calculează
:<math> m = \frac {\log (F_1 / F_0)}{\log(x_1 / x_0)} </math>
ceea ce duce la
:<math> \log(F_1 / F_0) = m \log(x_1 / x_0) = \log[(x_1 / x_0)^m ].</math>

De notat că 10<sup>log<sub>10</sub>(''F''<sub>1</sub>)</sup> = ''F''<sub>1</sub>. Prin urmare, inversând logaritmii se obține:
: <math> \frac{F_1}{F_0} = \left(\frac{x_1}{x_0}\right)^m </math>
sau
: <math>F_1 = \frac{F_0}{x_0^m} \, x^m, </math>
ceea ce înseamnă că
: <math> F(x) = \mathrm{constanta}\cdot x^m. </math>

Cu alte cuvinte, ''F'' este proporțional cu ''x'' la puterea pantei dreptei din graficul său logaritmic. Mai exact, o dreaptă dintr-un grafic logaritmic care conține punctele (''F''<sub>0</sub>,&nbsp;''x''<sub>0</sub>) și (''F''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>1</sub>) va corespunde funcției:
:<math> F(x) = {F_0}\left(\frac{x}{x_0} \right)^\frac {\log (F_1/F_0)}{\log(x_1/x_0)}, </math>

Desigur, este adevărat și inversul: orice funcție de forma
:<math> F(x) = \mathrm{constanta} \cdot x^m</math>
va avea ca reprezentare într-un grafic logaritmic o dreaptă, cu panta&nbsp;''m''.

=== Calculul ariei de sub un segment de dreaptă dintr-un grafic logaritmic ===
Pentru a calcula aria de sub un [[segment (geometrie) |segment de dreaptă]] dintr-un grafic logaritmic (sau estimarea unei arii de sub o porțiune a unei linii aproape drepte) se ia funcția definită anterior
: <math> F(x) = \mathrm{constanta}\cdot x^m. </math>
și se integrează. Deoarece se face o integrală definită (între două puncte finale definite), aria A din grafic ia forma
: <math> A(x) = \int_{x_0}^{x_1} F(x) \, dx = \frac{\mathrm{constanta}}{m+1}\cdot x^{m+1}: [x_0,x_1] </math>

Rearanjand ecuația originală și introducând valorile din punctele fixe, se constată că
: <math> \mathrm{constanta} = \frac{F_0}{x_0^m} </math>

Înlocuind înapoi în integrală, se obține pentru A de la ''x''<sub>0</sub> la ''x''<sub>1</sub>
: <math> A = \frac{F_0/x_0^m}{m+1}\cdot (x_1^{m+1}-x_0^{m+1}) </math>

: <math> \log A = \log \left[\frac{F_0 / x_0^m}{m+1}\cdot (x_1^{m+1}-x_0^{m+1})\right] = \log \frac{F_0}{m+1} - \log \frac{1}{x_0^m} + \log (x_1^{m+1}-x_0^{m+1}) </math>

: <math> \log A = \log \frac{F_0}{m+1} + \log \left(\frac{x_1^{m+1}-x_0^{m+1}}{x_0^m}\right) = \log \frac{F_0}{m+1} + \log \left(\frac{x_1^m}{x_0^m}\cdot x_1 - \frac{x_0^{m+1}}{x_0^m}\right) </math>

Prin urmare: <math> A = \frac{F_0}{m+1} \cdot \left[x_1 \cdot \left(\frac {x_1}{x_0}\right)^m - x_0\right] </math>

Pentru ''m''&nbsp;=&nbsp;−1, integrala devine <math display="block"> A_{(m=-1)} = \int_{x_0}^{x_1} F(x) = \int_{x_0}^{x_1} \frac {\mathrm{constanta}}{x} = \frac{F_0}{x_0^{-1}} \int_{x_0}^{x_1} \frac {1}{x} = F_0 \cdot x_0 \cdot \ln x: [x_0,x_1] </math>

: <math> A_{(m=-1)} = F_0 \cdot x_0 \cdot \ln \frac{x_1}{x_0}</math>

== Aplicații ==
Aceste grafice sunt utile atunci când parametrii ''a'' și ''b'' trebuie determinați din datele numerice. Astfel de cerințe apar frecvent în [[economie]].

Un exemplu este estimarea necesarului de finanțare bazat pe teoria inventarului, în care se poate presupune că cererea de bani la momentul ''t'' este dată de
:<math>M_t = AR_t^bY_t^cU_t,</math>
unde ''M'' este suma reală de [[ban]]i deținută de public, ''R'' este {{ill-wd| Q7317264||rata rentabilității}} pentru un activ alternativ, cu randament mai mare, ''Y'' este {{ill-wd| Q2576257||venitul real}} al publicului, ''U'' este un termen de eroare presupus a avea o {{ill-wd| Q826116}}, ''A'' este un parametru de scară care trebuie estimat, iar ''b'' și ''c'' sunt parametrii de [[Elasticitate (economie) |elasticitate]] care trebuie estimați. Prin logaritmare se obține
:<math>m_t = a + br_t + cy_t + u_t,</math>
unde ''m'' = log ''M'', ''a'' = log ''A'', ''r'' = log ''R'', ''y'' = log ''Y'', iar and ''u'' = log ''U'' cu ''u'' având o distribuție normală. Această ecuație poate fi tratată prin [[metoda celor mai mici pătrate]].

Alt exemplu din economie este estimarea [[funcție Cobb-Douglas |funcției Cobb–Douglas]] a unei firme, care este partea dreaptă a ecuației
:<math>Q_t=AN_t^{\alpha}K_t^{\beta}U_t,</math>
în care ''Q'' este cantitatea care poate fi produsă pe lună, ''N'' este numărul de ore de muncă angajate în producție pe lună, ''K'' este numărul de ore fizice ocupate pe lună, ''U'' este un termen de eroare presupus a fi distribuit logaritmic normal, iar ''A'', <math>\alpha</math> și <math>\beta</math> sunt parametri care trebuie să fie estimați. Logaritmând se obține ecuația de [[regresie liniară]]
:<math>q_t = a + \alpha n_t + \beta k_t + u_t</math>
unde ''q'' = log ''Q'', ''a'' = log ''A'', ''n'' = log ''N'', ''k'' = log ''K'', iar ''u'' = log ''U''.

Regresia logaritmică poate fi folosită și pentru a estima {{ill-wd| Q1412452||dimensiunea fractală}} a unui [[fractal]] natural.

Însă judecata inversă&nbsp;— observând că datele apar aproximativ ca o dreaptă pe o scară logaritmică și concluzionând că datele urmează o lege exprimată prin puteri&nbsp;— este invalidă.<ref name=clauset>{{en icon}} {{cite journal|author1=Clauset, A. |author2=Shalizi, C. R. |author3=Newman, M. E. J. |year=2009| title=Power-Law Distributions in Empirical Data| journal=SIAM Review |volume=51 |issue=4 |pages=661–703 |arxiv=0706.1062 |bibcode=2009SIAMR..51..661C| doi=10.1137/070710111}}</ref>

De fapt, pe o scară logaritmică multe alte forme de funcții apar aproximativ liniare. Simpla evaluare a {{ill-wd| Q2034239||calității potrivirii}} unei {{ill-wd| Q10860130||regresii liniare}} cu datele înregistrate folosind {{ill-wd| Q192830||coeficientul de determinare}} (''R''<sup>2</sup>) poate fi invalidă, deoarece ipotezele modelului de regresie liniară, cum ar fi eroarea gaussiană, pot să nu fie satisfăcute. În plus, testele de potrivire ale formei logaritmice pot avea {{ill-wd|Q1199823||putere statistică}} scăzută, deoarece probabilitatea ca aceste teste să respingă relații exprimate prin puteri în favoarea altor forme de funcții, mai adevărate, este scăzută. În timp ce graficele logaritmice simple pot fi utile în detectarea posibilelor legi exprimate prin puteri și au fost folosite de [[Vilfredo Pareto|Pareto]] începând din anii 1890, validarea ca legi exprimate prin puteri necesită statistici mai sofisticate.<ref name=clauset/>

Graficele logaritmice sunt extrem de utile atunci când datele sunt obținute prin varierea variabilei de control de-a lungul unei funcții exponențiale, caz în care variabila de control ''x'' este reprezentată mai natural pe o scară logaritmică, astfel încât punctele de date sunt distanțate uniform în loc să fie îngrămădite la capătul inferior. Variabila de ieșire ''y'' poate fi fie reprezentată liniar, obținând un [[grafic semilogaritmic]] (log&nbsp;''x'', ''y''), fie poate fi luat și logaritmul său, rezultând un grafic logaritmic (log&nbsp;''x'', log&nbsp;''y'').

Un {{ill-wd|Q245627}} (care este un grafic al [[răspuns în frecvență |răspunsului în frecvență]] al unui sistem) este și el un grafic logaritmic.

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://sites.google.com/site/nonnewtoniancalculus/ Non-Newtonian calculus website]
* {{en icon}} M. Bourne, [http://www.intmath.com/Exponential-logarithmic-functions/7_Graphs-log-semilog.php ''Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper''] la www.intmath.com

[[Categorie:Grafice de funcții]]
[[Categorie:Scări logaritmice de măsură]]

[[de:Logarithmenpapier#Doppeltlogarithmisches Papier]]