Vizualizare sursă pentru „Gradul unei varietăți algebrice”

{{Note de subsol2}}
În [[matematică]] '''gradul''' unei {{ill-wd| Q3554813||varietăți afine}} sau [[varietate proiectivă |varietăți proiective]] de [[dimensiune (matematică) |dimensiunea]] {{mvar|''n''}} este numărul punctelor de [[intersecție (matematică) |intersecție]] ale varietății cu {{mvar|''n''}} [[hiperplan]]e aflate în [[poziția generală]].{{efn|În cazul afin, ipoteza poziției generale implică faptul că nu există un punct de intersecție la infinit.}} Pentru o {{ill-wd| Q648995||mulțime algebrică}}, punctele de intersecție trebuie numărate cu [[multiplicitate]]a intersecțiilor, datorită posibilității de existență a intersecțiilor multiple. Pentru varietăți (ireductibile), dacă se iau în considerare multiplicitățile și, în cazul afin, [[punct de la infinit|punctele de la infinit]], ipoteza ''poziției generale'' poate fi înlocuită de condiția mult mai slabă că intersecția varietății are [[dimensiune (matematică) |dimensiunea]] zero (adică constă dintr-un număr finit de puncte). Aceasta este o generalizare a [[teorema lui Bézout |teoremei lui Bézout]]{{efn|Pentru demonstrație a se vedea {{ill-wd|Q5761236||polinoame Hilbert: gradul unei varietăți proiective și teorema lui Bézout}}}}.

Gradul nu este o proprietate intrinsecă a varietății deoarece depinde de o încorporare specifică a ei într-un [[spațiu afin]] sau {{ill-wd|Q877775}}.

Gradul unei [[hipersuprafață |hipersuprafețe]] este egal cu [[gradul unui polinom |gradul total]] al ecuației sale definitorii. O generalizare a teoremei lui Bézout afirmă că, dacă o intersecție a hipersuprafețelor proiective {{math|''n''}} are [[codimensiune]]a {{math|''n''}}, atunci gradul intersecției este produsul gradelor hipersuprafețelor.

Gradul unei varietăți proiective este evaluarea la {{math|1}} a [[numărător]]ului {{ill-wd|Q5761236||seriilor Hilbert}} ale [[inel de coordonate omogene |inelului coordonatelor]]. Rezultă că, având în vedere ecuațiile varietății, gradul poate fi calculat dintr-o {{ill-wd| Q1551631}} a [[Ideal (teoria inelelor)|idealelor]] acestor ecuații.

== Definiție ==
Pentru o varietate ''V'' încorporată în a spațiul proiectiv ''P''<sup>''n''</sup> și definită peste un [[corp algebric închis]] ''K'', gradul ''d'' al ''V'' este numărul punctelor de intersecție ale ''V'', definită peste ''K'', cu un {{ill-wd| Q728435||subspațiu liniar}} ''L'' în poziția generală, astfel încât
:<math>\dim(V) + \dim(L) = n.</math>

Aici dim(''V'') este [[Dimensiunea unei varietăți algebrice |dimensiunea]] lui ''V'', iar [[codimensiune]]a lui ''L'' va fi egală cu această dimensiune. Gradul ''d'' este o cantitate extrinsecă, nu una intrinsecă, ca cea a lui ''V''. De exemplu, o [[dreaptă proiectivă]] are o [[curbă normală rațională|încorporare de gradul ''n'']] (esențial unică) în ''P''<sup>''n''</sup>.

== Proprietăți ==
Gradul unei hipersuprafețe ''F'' = 0 este același cu [[Monom |gradul total]] al [[Polinom omogen |polinomului omogen]] ''F'' care îl definește (în cazul în care ''F'' are factori repetați, în cadrul teoriei intersecției numărarea intersecțiilor de face ținând cont de multiplicitate, ca în teorema lui Bézout).

== Alte abordări ==
Pentru o abordare mai sofisticată, {{ill-wd| Q17098493||sistemul liniar de divizori}} care definește încorporarea ''V'' poate fi legat de {{ill-wd| Q1509762||fibratul de drepte}} sau [[fascicul inversabil |fasciculul inversabil]] care definește încorporarea prin spațiul său de secțiuni. {{ill-wd| Q844128||Fasciculul de drepte canonic}} al ''P''<sup>''n'' </sup> revine la ''V''. Gradul determină prima {{ill-wd| Q1069818}}. Gradul poate fi calculat și în inelul coomologiilor lui ''P''<sup>''n''</sup>, sau {{ill-wd| Q5105523||inelul Chow}}, cu clasa unui hiperplan intersectând clasa lui ''V'' de un număr adecvat de ori.

== Extinderea teoremei lui Bézout ==
Gradul poate fi folosit pentru a generaliza teorema lui Bézout într-un mod așteptat la intersecțiile hipersuprafețelor ''n'' în ''P''<sup>''n''</sup>.

== Note explicative ==
{{Notelist}}
<!-- 
== Note ==
<references />
-->
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Varietăți algebrice]]