Vizualizare sursă pentru „Gradul unei extinderi de corp”

{{Note de subsol2}}
În [[matematică]], în special în [[corp (matematică) |teoria corpurilor]], '''gradul unei extinderi de corp''' este o măsură aproximativă a „dimensiunii” [[extindere de corp |extinderii corpului]]. Conceptul joacă un rol important în multe domenii ale matematicii, inclusiv [[algebră abstractă |algebra abstractă]] și [[teoria numerelor]], practic în orice domeniu care tratează [[corp (matematică) |corpurile]].

== Definiție și notații ==
Fie ''E''/''F'' o extindere de corp. Atunci ''E'' poate fi considerat un [[spațiu vectorial]] peste ''F'' (corpul scalarilor). [[Dimensiune (spațiu vectorial) |Dimensiunea]] acestui spațiu vectorial se numește '''gradul extinderii corpului''' și este notat cu [E:F].

Gradul poate fi finit sau infinit, corpul fiind numit ''extindere finită'', respectiv ''extindere infinită''. O extindere ''E''/''F'' se mai spune uneori că este, simplu, ''finită'' dacă este o extindere finită; acest lucru nu trebuie confundat cu [[corp finit |corpurile finite]] (corpuri cu un număr finit de elemente, chiar multe).

Gradul nu trebuie confundat cu [[Grad de transcendență |gradul de transcendență]] al unui corp; de exemplu, corpul '''Q'''(''X'') al [[funcție rațională |funcțiilor raționale]] are grad infinit peste '''Q''', dar gradul său de transcendență este 1.

== Formula de înmulțire pentru grade ==
Având în vedere trei câmpuri dispuse într-o succesiune verticală (turn), de exemplu "K", un subcorp al lui, "L", care este la rândul său un subcorp al lui "M", există o relație simplă între gradele ale celor trei extinderi "L"/"K", "M"/"L" și "M"/"K":
: <math>[M:K] = [M:L] \cdot [L:K].</math>
Cu alte cuvinte, gradul de la „jos” la „sus” este produsul gradelor de la „jos” la „mijloc” și apoi de la „mijloc” la „sus”. Este destul de analog cu [[teorema lui Lagrange (teoria grupurilor) |Teorema Lagrange]] în [[teoria grupurilor]], care corelează ordinea unui grup cu ordinea și {{ill-wd| Q1464168||indicele}} unui subgrup. [[Teoria lui Galois]] arată că această analogie este mai mult decât o simplă coincidență.

Formula este valabilă atât pentru extinderile finite, cât și pentru cele infinite. În cazul extinderilor infinite produsul este interpretat în sensul produselor de [[număr cardinal |numere cardinale]]. În special, aceasta înseamnă că dacă ''M''/''K'' este finită, atunci atât ''M''/''L'', cât și ''L''/''K'' sunt finite.

Dacă ''M''/''K'' este finită, atunci formula impune restricții puternice asupra tipurilor de corpuri care pot apărea între ''M'' și ''K'', prin simple considerații aritmetice. De exemplu, dacă gradul [''M'':''K''] este un [[număr prim]] ''p'', atunci pentru orice corp intermediar ''L'' pot exista unul din două cazuri: fie [''M'':''L''] = ''p'' și [''L'':''K''] = 1, caz în care ''L'' este egal cu ''K'', fie [''M'':''L''] = 1 și [''L'':''K''] = ''p'', caz în care ''L'' este egal cu ''M''. Prin urmare, nu există corpuri intermediare (în afară de ''M'' și ''K'' însele).
 
=== Demonstrația formulei de înmulțire în cazul finit ===
Fie ''K'', ''L'' și ''M'' un turn de corpuri cu dimensiunile din formula de mai sus, și fie ca ambele ''d'' = [''L'':''K''] și ''e'' = [''M'':''L''] să fie finite. Aceasta înseamnă că se poate selecta o [[bază (algebră liniară) |bază]] {''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''d''</sub>} pentru ''L'' peste ''K'' și o bază {''w''<sub>1</sub>, ..., ''w''<sub>''e''</sub>} pentru ''M'' peste ''L''. Se va arăta că elementele ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub>, din gama ''m'': 1, 2, ..., ''d'' și gama ''n'': 1, 2, ..., ''e'' formează o bază pentru ''M''/''K''; deoarece există tocmai ''de'' din ele, acest lucru demonstrează că dimensiunea lui ''M''/''K'' este ''de'', ceea ce este rezultatul dorit.

În primul rând se verifică {{ill-wd| Q209812||spațiul vectorial generat}} ''M''/''K''. Dacă ''x'' este un element oarecare din ''M'', atunci deoarece ''w''<sub>''n''</sub> formează o bază pentru ''M'' peste ''L'', există elemente ''a''<sub>''n''</sub> în ''L'' astfel încât
: <math> x = \sum_{n=1}^e a_n w_n = a_1 w_1 + \cdots + a_e w_e.</math>
Atunci, deoarece ''u''<sub>''m''</sub> formează o bază pentru ''L'' peste ''K'', există elemente ''b''<sub>''m'',''n''</sub> în ''K'' astfel încât pentru orice ''n'',
: <math> a_n = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m = b_{1,n} u_1 + \cdots + b_{d,n} u_d.</math>

Acum, folosind [[distributivitate]]a și [[asociativitate]]a înmulțirii în ''M'' se vede că
: <math> x = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n),</math>
fapt care arată că ''x'' este o combinație liniară de ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub> și coeficienții din ''K''; altfel spus, aceștia generează ''M'' peste ''K''.

În al doilea rând trebuie verificat dacă acestea sunt {{ill-wd| Q27670||independente liniar}} peste ''K''. Pentru asta se presupune că
: <math> 0 = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n)</math>
pentru niște coeficienți ''b''<sub>''m'',''n''</sub> în ''K''. Folosind din nou distributivitatea și asociativitatea, termenii se pot grupa:
: <math> 0 = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n,</math>
și se vede că termenii dintre paranteze trebuie să fie zero, deoarece ei sunt elemente din ''L'', iar ''w''<sub>''n''</sub> este independentă liniar peste ''L''. Adică
: <math> 0 = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m </math>
pentru orice ''n''. Atunci, deoarece coeficienții ''b''<sub>''m'',''n''</sub> sunt din ''K'', iar ''u''<sub>''m''</sub> este independentă liniar peste ''K'', trebuie ca ''b''<sub>''m'',''n''</sub> = 0 pentru orice ''m'' și ''n''. Asta arată că elementele ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub> sunt independente liniar peste ''K'', aceasta fiind concluzia demonstrației.

=== Demonstrația formulei de înmulțire în cazul infinit ===
În acest caz se pornește cu bazele ''u''<sub>&alpha;</sub> și ''w''<sub>&beta;</sub> ale ''L''/''K'', respectiv ''M''/''L'', unde &alpha; provine din mulțimea de indecși ''A'', iar &beta; din mulțimea de indecși ''B''. Folosind o argumentație identică cu cea de mai sus, se găsește că produsul ''u''<sub>&alpha;</sub>''w''<sub>&beta;</sub> formează o bază pentru ''M''/''K''. Acestea sunt indexate de [[produs cartezian |produsul cartezian]] ''A'' &times; ''B'', care prin definiție are {{ill-wd|Q4049983||cardinalitatea}} egală cu produsul cardinalităților ''A'' și ''B''.

== Exemple ==
* [[Număr complex |Numerele complexe]] sunt o extindere de corp [[număr real |numerelor reale]] cu gradul ['''C''':'''R'''] = 2, ca urmare nu există corpuri netriviale între ele.
* Extinderea de corp '''Q'''({{radic|2}}, {{radic|3}}), obținută prin adăugarea {{radic|2}} și {{radic|3}} la corpul [[număr rațional |numerelor raționale]] '''Q''' are gradul 4, adică ['''Q'''({{radic|2}}, {{radic|3}}):'''Q'''] = 4. Corpul intermediar '''Q'''({{radic|2}}) are gradul 2 peste '''Q'''; din formula de înmulțire se obține ['''Q'''({{radic|2}}, {{radic|3}}):'''Q'''({{radic|2}})] = 4/2 = 2.
* Corpul finit (corpul Galois) '''GF'''(125) = '''GF'''(5<sup>3</sup>) are gradul 3 peste subcorpul său '''GF'''(5). Mai general, dacă ''p'' este un număr prim iar ''n'', ''m'' sunt întregi pozitivi cu ''n'' fiind un divizor al lui ''m'', atunci ['''GF'''(''p''<sup>''m''</sup>):'''GF'''(''p''<sup>''n''</sup>)] = ''m''/''n''.
* Extinderea de corp '''C'''(''T'')/'''C''', unde '''C'''(''T'') este corpul [[funcție rațională |funcțiilor raționale]] peste '''C''', are un grad infinit deoarece este o extindere pur transcendentă. Asta reiese din observația că elementele 1, ''T'', ''T''<sup>2</sup> etc. sunt independente liniar peste '''C'''.
* Extinderea de corp '''C'''(''T''<sup>2</sup>) are și ea un grad infinit peste '''C'''. Totuși, dacă '''C'''(''T''<sup>2</sup>) este văzut ca un subcorp al '''C'''(''T''), atunci de fapt ['''C'''(''T''):'''C'''(''T''<sup>2</sup>)] = 2. Mai general, dacă ''X'' și ''Y'' sunt {{ill-wd| Q266237||curbe algebrice}} peste corpul ''K'', iar ''F'' : ''X'' &rarr; ''Y'' este un [[morfism]] [[funcție surjectivă |surjectiv]] între ele de grad ''d'', atunci [[Corpul funcțiilor unei varietăți algebrice|corpurile funcțiilor]] ''K''(''X'') și ''K''(''Y'') sunt ambele de grad infinit peste ''K'', dar gradul [''K''(''X''):''K''(''Y'')] se dovedește a fi egal cu ''d''.

== Generalizare ==
Fiind date două [[Corp (matematică)|inele cu diviziune]] ''E'' și ''F'' cu ''F'' conținut în ''E'' iar înmulțirea și adunarea în ''F'' fiind restricționate la operațiile din ''E'', se consideră ''E'' ca fiind un spațiu vectorial peste ''F'' în două moduri: cu scalarii acționând [[la stânga și la dreapta |la stânga]], dând o dimensiune [''E'':''F'']<sub>s</sub> și cu scalarii acționând [[la stânga și la dreapta |la dreapta]], dând o dimensiune [''E'':''F'']<sub>d</sub>. Cele două dimensiuni nu trebuie să fie la fel. Ambele dimensiuni satisfac însă o formulă de înmulțire pentru șirurile de inele cu diviziune; demonstrația de mai sus se aplică nemodificată scalarilor cu acțiune la stânga.
<!--
== Note ==
<references />
-->

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | author=Jacobson, N. | authorlink=Nathan Jacobson| title=Basic Algebra I | publisher=W. H. Freeman and Company | year=1985 | isbn=0-7167-1480-9 | page=215}} Demonstrația formulei de înmulțire.
* {{en icon}} {{cite book | author=Jacobson, N. | authorlink=Nathan Jacobson| title=Basic Algebra II | publisher=W. H. Freeman and Company | year=1989 | isbn=0-7167-1933-9 | page=465}} Scurtă discuție a cazului infinit dimensional.
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Teoria corpurilor]]