Vizualizare sursă pentru „Functor”

În [[matematică]], un '''functor''' este o [[aplicație]] între [[Categorie (matematică)|categorii]]. Functorii au fost analizați pentru prima oară în {{Ill-wd|Q212803|3=topologia algebrică}}, unde obiectele algebrice (cum ar fi {{Ill-wd|Q662830|3=grupul fundamental}}) sunt asociate [[Spațiu topologic|spațiilor topologice]], iar aplicațiile dintre aceste obiecte algebrice sunt asociate aplicațiilor [[Funcție continuă|continue]] între spații. În prezent, functorii sunt utilizați în întreaga matematică modernă cu referire la diferite categorii. Astfel, functorii sunt importanți în toate domeniile matematicii cărora li se aplică [[teoria categoriilor]]. 

Cuvântul ''functor'' a fost împrumutat de matematicieni de la [[Filozof|filozoful]] [[Rudolf Carnap]],<ref>{{en icon}} {{Citation|last=Mac Lane|first=Saunders|title=Categories for the Working Mathematician|page=30|year=1971|place=New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-90035-1|author-link=Saunders Mac Lane}}</ref> care îl folosea în contextul [[Lingvistică|lingvisticii]];<ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref> vezi [[cuvânt gramatical]].

== Definiție ==
Fie ''C'' și ''D'' [[Categorie (matematică)|categorii]]. Un '''functor''' ''F de'' la ''C'' la ''D'' este o aplicație care{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 19, def. 1.2}} 

* asociază fiecărui obiect {{Math|''X''}} din ''C'' un obiect {{Math|''F''(''X'')}} din ''D'', 
* asociază fiecărui morfism <math>f \colon X \rightarrow Y</math> din ''C'' un morfism <math>F(f) \colon F(X) \rightarrow F(Y)</math>din ''D,'' astfel încât următoarele două condiții să fie valabile: 
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! </math> pentru orice obiect {{Math|''X''}} din ''C'', 
** <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) </math> pentru orice morfisme <math>f \colon X \rightarrow Y</math>și <math>g \colon Y \rightarrow Z</math>din ''C.'' 

Adică functorii trebuie să conserve [[Morfism|morfismul identitate]] și {{Ill-wd|Q244761|3=compoziția}} de morfisme. 

=== Covarianță și contravarianță ===
Există multe construcții în matematică care ar fi functori, cu excepția faptului că „inversează morfismele” și „se compun invers”. Atunci se definește un '''functor contravariant''' ''F de'' la ''C'' la ''D'' ca o aplicație care 

* asociază fiecărui obiect {{Math|''X''}} din ''C'' un obiect {{Math|''F''(''X'')}} din ''D'', 
* asociază fiecărui morfism <math>f \colon X \rightarrow Y</math>din ''C'' un morfism <math>F(f) \colon F(Y) \rightarrow F(X)</math> din ''D,'' astfel încât următoarele două condiții să fie valabile: 
** <math>F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! </math>pentru orice obiect {{Math|''X''}} din ''C'', 
** <math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g) </math>pentru orice morfisme <math>f \colon X \rightarrow Y</math>și <math>g \colon Y \rightarrow Z</math>din ''C.'' 

Functorii contravarianți inversează direcția compoziției. 

Functorii obișnuiți se numesc și '''functori covarianți''' pentru a-i distinge de cei contravarianți. Functorii contravarianți se pot defini și ca functori ''covarianți'' pe {{Ill-wd|Q7098616|3=categoria opusă}} {{Math|''C''<sup>op</sup>}}.{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} Unii autori preferă să scrie toate expresiile covariant. Adică, în loc să spună că <math>F \colon C \rightarrow D</math> este un functor contravariant, ei scriu pur și simplu <math>F \colon C^{\operatorname{op}} \rightarrow D</math> (sau uneori <math>F \colon C \rightarrow D^{\operatorname{op}}</math>) și îl numesc functor. 

Functorii contravarianți sunt numiți, uneori, și ''cofunctori''.<ref name="Popescu1979">{{Citat carte|nume=Popescu|prenume=Nicolae|nume2=Popescu|prenume2=Liliana|titlu=Theory of categories|dată=1979|editură=Springer|locul-publicării=Dordrecht|isbn=9789400995505|pagină=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&pg=PA12&lpg=PA12&dq=cofunctor+covariant&source=bl&ots=chOYWtfcML&sig=kMIB_LRvPB0AAJpFvG4wRgqMrj0&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiDlY6ywqTMAhVqlYMKHeY0CfAQ6AEIKzAC#v=onepage&q=cofunctor%20covariant&f=false|data-accesării=23 April 2016}}</ref> 

Există o convenție referitoare la „vectori”{{Mdash}} adică [[Câmp vectorial|câmpuri vectoriale]], elemente ale spațiului secțiunilor {{Math|&Gamma;(''TM'')}} al unui {{Ill-wd|Q746550|3=fibrat tangent}} {{Math|''TM''}}{{Mdash}} drept „contravariant” și la „covectori”{{Mdash}} adică {{Ill-wd|Q2608202|3=1-forme}}, elemente ale spațiului secțiunilor {{Math|&Gamma;(''T<sup>*</sup>M'')}} al unui fibrat cotangent {{Math|''T<sup>*</sup>M''}}{{Mdash}} drept „covariant”. Această terminologie își are originea în fizică, iar raționamentul său are legătură cu poziția indicilor („sus” și „jos”) în {{Ill-wd|Q673253|3=expresii}} precum <math>x^i = \Lambda^i_j x^j </math> pentru <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x} </math> sau <math>\omega_i = \Lambda^j_i \omega_j </math>pentru <!-- FORMULĂ! --> În acest formalism se observă că simbolul transformării de coordonate <math>\Lambda^i_j</math> (reprezentând matricea {{Math|'''&Lambda;'''<sup>''T''</sup>}}) acționează asupra vectorilor din bază „în același mod” ca și pe „coordonatele covectorului”: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j </math>în vreme ce acționează „în sens invers” pe „coordonatele vectorului” (dar „în același mod” ca și pe covectorii din bază: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j </math>). Această terminologie este contrară celei utilizate în teoria categoriilor, deoarece covectorii sunt cei care au în general ''pullback'', și sunt astfel ''contravarianți,'' în timp ce, în general, vectorii sunt ''covarianți'', deoarece asupra acestora se poate face ''push forward.'' 

=== Functorul opus ===
Orice functor <math>F \colon C \rightarrow D</math>induce '''functorul opus''' <math>F^{\operatorname{op}} \colon C^{\operatorname{op}} \rightarrow D^{\operatorname{op}}</math>unde {{Math|''C''<sup>op</sup>}} și {{Math|''D''<sup>op</sup>}} sunt {{Ill-wd|Q7098616|3=categoriile opuse}} ale lui {{Math|''C''}}, respectiv {{Math|''D''}}.<ref>{{Citation|last=Mac Lane|first=Saunders|title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|year=1992|publisher=Springer|isbn=978-0-387-97710-2|last2=Moerdijk|first2=Ieke|author-link=Saunders Mac Lane|author-link2=Ieke Moerdijk}}</ref> Prin definitie, {{Math|''F''<sup>op</sup>}} mapează obiectele și morfismele identic cu {{Math|''F''}}. Întrucât {{Math|''C''<sup>op</sup>}} nu coincide drept categorie cu {{Math|''C''}}, și analog pentru {{Math|''D''}}, {{Math|''F''<sup>op</sup>}} este distinct de {{Math|''F''}}. De exemplu, când se face compunerea lui <math>F \colon C_0 \rightarrow C_1</math>cu <math>G \colon C^\operatorname{op}_1 \rightarrow C_2</math>, trebuie folosit fie <math>G \circ F^\operatorname{op}</math>, fie <math>G^\operatorname{op} \circ F</math>. Conform proprietății categoriilor opuse, <math>\left(F^\operatorname{op}\right)^\operatorname{op} = F</math>. 

=== Bifunctori și multifunctori ===
Un '''bifunctor''' (cunoscut și ca un '''functor binar''') este un functor al cărui domeniu este o {{Ill-wd|Q13443840|3=categorie produs}}. De exemplu, {{Ill-wd|Q5887297|3=functorul Hom}} este de tipul {{Nowrap|''C<sup>op</sup>'' × ''C'' → '''Set'''}} . Acesta poate fi văzut ca un functor cu ''două'' argumente. {{Ill-wd|Q5887297|3=Functorul Hom}} este un exemplu natural; este contravariant într-un argument, covariant în celălalt. 

Un '''multifunctor''' este o generalizare a conceptului de functor la ''n'' variabile. De exemplu, un bifunctor este un multifunctor cu {{Nowrap|1=''n'' = 2}}. 

== Exemple ==
'''{{Ill-wd|Q843237|3=Diagrama}}''': pentru categoriile ''C'' și ''J'', o diagramă de tip ''J'' în ''C'' este un functor covariant <math>D \colon J \rightarrow C</math>. 

'''{{Ill-wd|Q7241077|3=Prefasciculul de teoria categoriilor}}''': Pentru categoriile ''C'' și ''J'', un ''J-''prefascicul pe ''C'' este un functor contravariant <math>D \colon C \rightarrow J</math>. 

'''Prefascicul:''' Dacă ''X'' este un [[spațiu topologic]], atunci [[Mulțime deschisă|mulțimile deschise]] din ''X'' formează o {{Ill-wd|Q474715|3=mulțime parțial ordonată}} Open(''X'') în raport cu incluziunea. Ca orice mulțime parțial ordonată, Open(''X'') formează o categorie mică prin adăugarea unei singure săgeți {{Nowrap|''U'' → ''V''}} [[dacă și numai dacă]] <math>U \subseteq V </math>. Functorii contravarianți pe Open(''X'') se numesc ''{{Ill-wd|Q595298|3=prefascicule}}'' pe ''X.'' De exemplu, atribuind fiecărei mulțimi deschise ''U'' {{Ill-wd|Q744960|3=algebra asociativă}} a funcțiilor continue cu valori reale pe ''U'', se obține un prefascicul de algebre pe ''X.''

'''Functor constantă:''' functorul {{Nowrap|''C'' → ''D''}} care asociază fiecărui obiect din ''C'' un obiect fix ''X'' din ''D'' și oricărui morfism din ''C'' morfismul identitate pe ''X.'' Un astfel de functor se numește un functor ''constant'' sau de ''selecție''. 

'''Endofunctor''': un functor care mapează o categorie la aceeași categorie; de exemplu, {{Ill-wd|Q48842893|3=functorul polinomial}}. 

'''Functorul identitate''': în categoria ''C'', scrisă 1<sub>''C''</sub> sau id<sub>''C''</sub>, mapează un obiect la sine însuși și un morfism la sine însuși. Functorul identitate este un endofunctor. 

'''Functor diagonal''': {{Ill-wd|Q1208187|3=functorul diagonal}} este definit ca functorul de la ''D'' la categoria functorilor ''D''<sup>''C''</sup> care asociază fiecărui obiect din ''D'' functorul constant la acel obiect. 

'''Functor limită''': Pentru o {{Ill-wd|Q843237|3=categorie index}} fixă ''J'', dacă fiecare functor {{Nowrap|''J'' → ''C''}} are o {{Ill-wd|Q1322614|3=limită}} (de exemplu dacă ''C'' este completă), atunci functorul limită {{Nowrap|''C''<sup>''J''</sup> → ''C''}} atribuie fiecărui functor limita sa. Existența acestui functor poate fi demonstrată arătând că este {{Ill-wd|Q357858|3=adjunctul la dreapta}} al {{Ill-wd|Q1208187|3=functorului diagonal}} și invocând {{Ill-wd|Q357858|3=teorema functorului adjunct Freyd}}. Aceasta necesită o versiune adecvată a [[Axioma alegerii|axiomei alegerii]]. Observații similare se aplică [[Colimit functor|functorului colimită]] (care este covariant). 

'''Mulțimi ale părților:''' Functorul mulțimii părților {{Nowrap|''P'' : '''Set''' → '''Set'''}} asociază fiecărei mulțimi {{Ill-wd|Q205170|3=mulțimea părților}} ei, și fiecărei funcții <math>f \colon X \rightarrow Y</math>aplicația care asociază lui <math>U \subseteq X </math>imaginea sa <math>f(U) \subseteq Y </math>. Se poate considera și functorul contravariant al mulțimii părților care asociază pe <math>f \colon X \rightarrow Y</math>aplicației care asociază <math>V \subseteq Y </math> [[Imaginea unei funcții|imaginii sale inverse]]

<!-- FORMULĂ! -->'''{{Visible anchor|Spațiu vectorial dual}}:''' aplicația care atribuie fiecărui [[spațiu vectorial]] {{Ill-wd|Q752487|3=dualul}} său, și fiecărei [[Transformare liniară|aplicații liniare]]{{Mdash}} duala sau transpusa ei este un functor contravariant aplicat pe categoria tuturor spațiilor vectoriale pe un [[Corp (matematică)|corp]] fix, către el însuși. 

'''Grupul fundamental:''' Considerând categoria {{Ill-wd|Q1419329|3=spațiilor topologice orientate}}, adică spațiile topologice cu puncte distincte, obiectele sunt perechile {{Nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, unde ''X'' este un spațiu topologic și ''x''<sub>0</sub> este un punct din ''X.'' Un morfism de la {{Nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} la {{Nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} este dat de o aplicație [[Funcție continuă|continuă]] {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} cu {{Nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}} . 

Pe orice spațiu topologic ''X'' cu punct distinctiv ''x''<sub>0</sub>, se poate defini {{Ill-wd|Q662830|3=grupul fundamental}} bazat în ''x''<sub>0</sub>, notat {{Nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}. Acesta este [[Grup (matematică)|grupul]] claselor de {{Ill-wd|Q746083|3=omotopie}} a buclelor bazate în ''x''<sub>0</sub>. Dacă {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} este un morfism al {{Ill-wd|Q1419329|3=spațiilor orientate}}, atunci fiecare buclă din ''X'' cu punctul de bază ''x''<sub>0</sub> poate fi compusă cu ''f'' pentru a obține o buclă în ''Y'' cu punctul de bază ''y''<sub>0</sub>. Această operație este compatibilă cu [[Relație de echivalență|relația de echivalență]] a omotopiei și cu compoziția buclelor și se obține un [[Morfism de grupuri|omomorfism de grup]] de la {{Nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} la {{Nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} . Se obține astfel un functor de la categoria spațiilor topologice orientate la {{Ill-wd|Q3912012|3=categoria grupurilor}}. 

În categoria spațiilor topologice (fără punct distinctiv), se iau în considerare clasele de omotopie ale curbelor generice, dar ele nu pot fi compuse decât dacă drept capăt un punct comun. Astfel, una este '''groupoidul fundamental''' în locul grupului fundamental, iar această construcție este functorială. 

'''Algebra funcțiilor continue:''' un functor contravariant de la categoria [[Topologie|spațiilor topologice]] (cu aplicațiile continue ca morfisme) la categoria {{Ill-wd|Q744960|3=algebrelor asociative}} reale este dat atribuind fiecărui spațiu topologic ''X'' algebra C(''X'') a tuturor funcțiilor continue definite pe acel spațiu. Orice aplicație continuă {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} induce un {{Ill-wd|Q3882299|3=omomorfism algebric}} {{Nowrap|C(''f'') : C(''Y'') → C(''X'')}} prin regula {{Nowrap|1=C(''f'')(''φ'') = ''φ'' ∘ ''f''}} pentru orice ''φ'' din C(''Y''). 

'''Fibrate tangente și cotangente:''' Aplicațiile care asociază fiecărei {{Ill-wd|Q3552958|3=varietăți diferențiabile}} la {{Ill-wd|Q746550|3=tangenta}} sa și la fiecărei {{Ill-wd|Q868473|3=aplicații derivabile}} [[Derivată|derivata]] sa este un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile la categoria {{Ill-wd|Q658429|3=fibratelor vectoriale}}. 

Făcând aceste construcții punctual rezultă {{Ill-wd|Q909601|3=spațiul tangent}}, un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile orientate la categoria spațiilor vectoriale reale. Analog, {{Ill-wd|Q1713076|3=spațiul cotangent}} este un functor contravariant, în esență, compoziția spațiului tangent cu [[#Dual vector space|spațiul dual]] de mai sus. 

'''Produse tensoriale:''' Dacă cu ''C'' se notează categoria spațiilor vectoriale peste un corp fix, cu [[Transformare liniară|aplicațiile liniare]] ca morfisme, atunci {{Ill-wd|Q1163016|3=produsul tensorial}} <math>V \otimes W </math>definește un functor {{Nowrap|''C'' × ''C'' → ''C''}} care este covariant în ambele argumente.<ref>{{Citation|last=Hazewinkel|first=Michiel|title=Algebras, rings and modules|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-1-4020-2690-4|last2=Gubareni|first2=Nadezhda Mikhaĭlovna|last3=Gubareni|first3=Nadiya|last4=Kirichenko|first4=Vladimir V.|author-link=Michiel Hazewinkel|author-link2=Nadezhda Mikhaĭlovna|author-link3=Nadiya Gubareni|author-link4=Vladimir V. Kirichenko}}</ref> 

Două consecințe importante ale [[Axiomă|axiomelor]] functorilor sunt:

* ''F'' transformă orice {{Ill-wd|Q621542|3=diagramă comutativă}} din ''C'' într-o diagramă comutativă din ''D''; 
* dacă ''f'' este un [[izomorfism]] în ''C'', atunci ''F''(''f'') este un izomorfism în ''D.'' 

Se pot compune functori, adică dacă ''F'' este un functor de la ''A'' la ''B'' și ''G'' este un functor de la ''B'' la ''C,'' atunci se poate forma functorul compus {{Nowrap|''G'' ∘ ''F''}} de la ''A'' la ''C.'' Compoziția functorilor este asociativă acolo unde este definită. Identitatea compoziției functorilor este functorul identitate. Aceasta arată că functorii pot fi considerați morfisme în categoriile de categorii, de exemplu în {{Ill-wd|Q5051852|3=categoria categoriilor mici}}. 

O categorie mică cu un singur obiect este același lucru ca un [[monoid]]: morfismele unei categorii cu un singur obiect pot fi considerate ca elemente ale monoidului, iar compoziția din categorie este considerată operația monoidului. Functorii între categoriile cu un singur obiect corespund [[Homomorfism|omomorfismelor]] monoidului. Deci, într-un sens, functorii dintre categoriile arbitrare sunt un fel de generalizare a omomorfismelor de monoid la categorii cu mai mult de un obiect.

== Relația cu alte concepte de categorii ==
Fie <math>\mathcal{C}</math>și <math>\mathcal{D}</math> categorii. Colecția tuturor functorilor <math>\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}</math> formează obiectele unei categorii: {{Ill-wd|Q2007878|3=categoria functorilor}}. Morfismele din această categorie sunt {{Ill-wd|Q1442189|3=transformări naturale}} între functori. 

Functorii sunt adesea definiți prin {{Ill-wd|Q1417809|3=proprietăți universale}}; exemple sunt {{Ill-wd|Q1163016|3=produsul tensorial}}, {{Ill-wd|Q1142861|3=suma scalară}} și {{Ill-wd|Q1778193|3=produsul scalar}} al grupurilor sau spațiilor vectoriale, construcția grupurilor și modulelor libere, limitele {{Ill-wd|Q906015|3=directe}} și {{Ill-wd|Q2634828|3=inverse}}. Conceptele de {{Ill-wd|Q1322614|3=limită și colimită}} generalizează mai multe dintre cele de mai sus. 

Construcțiile universale dau adesea naștere unor perechi de {{Ill-wd|Q357858|3=functori adjuncți}}. 

== Implementări pe calculator ==
Functorii apar uneori în [[Programare funcțională|programarea funcțională]]. De exemplu, limbajul de programare [[Haskell]] are o {{Ill-wd|Q1375130|3=clasă}} <code>Functor</code>  unde <code id="mwAcM">fmap</code> este o [[Polimorfism (inginerie software)|funcție politipică]] folosită pentru a mapa {{Ill-wd|Q190686|3=funcțiile}} (''morfisme'' pe ''Hask'', categoria tipurilor Haskell)<ref>Nu este clar întru totul că tipurile de date Haskell formează o categorie. Vezi https://wiki.haskell.org/Hask pentru mai multe detalii.</ref> între tipuri existente la funcții între unele tipuri noi.<ref>Vezi https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell pentru mai multe informații.</ref>

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==

* {{Citation|last=Jacobson|first=Nathan|title=Basic algebra|volume=2|year=2009|series=|edition=2nd|publisher=Dover|isbn=978-0-486-47187-7|ref=harv|author-link=Nathan Jacobson}}. 

== Legături externe ==

* {{Springer|title=Functor|id=p/f042140}} <bdi> {{Springer|title=Functor|id=p/f042140}} </bdi>
* André Joyal, [http://ncatlab.org/nlab CatLab], un proiect wiki dedicat expunerii matematicii categorice 
* {{Citat web|nume=Hillman|first1=Chris|postscript=:|titlu=A Categorical Primer}} {{Citat web|nume=Hillman|first1=Chris|postscript=:|titlu=A Categorical Primer}} {{Citat web|nume=Hillman|first1=Chris|postscript=:|titlu=A Categorical Primer}}introducerea formală în teoria categoriilor. 
* J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=2015-04-21 }} 
* Stanford Encyclopedia of Philosophy: „[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ Category Theory] " - de Jean-Pierre Marquis. Bibliografie extensivă. 
* [http://www.mta.ca/~cat-dist/ Lista conferințelor academice de teoria categoriilor] 
* Baez, John, 1996, „[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html The Tale of ''n-''categories]” [http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html .] O introducere informală în categoriile de ordin superior. 
* [http://wildcatsformma.wordpress.com/ WildCats] este un pachet de [[teoria categoriilor]] pentru {{Ill-wd|Q81294}}. Manipularea și vizualizarea obiectelor, [[Morfism|morfismelor]], categoriilor, functorilor, {{Ill-wd|Q1442189|3=transformărilor naturale}}, {{Ill-wd|Q1417809|3=proprietăților universale}}. 
* [https://www.youtube.com/user/TheCatsters Catsters], un canal YouTube despre teoria categoriilor. 
* [http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events Arhivă video] de discuții înregistrate referitoare la categorii, logică și fundamentele fizicii. 
* [http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Pagină interactivă] care generează exemple de construcții categorice în categoria mulțimilor finite. 
[[Categorie:Matematică]]