Vizualizare sursă pentru „Funcție rațională”

În [[matematică]] o '''funcție rațională''' este orice [[funcție]] numerică care poate fi definită printr-o [[Fracție algebrică#Fracție_rațională|fracție rațională]], care este o [[fracție algebrică]] în care atât [[numărător]]ul, cât și numitorul sunt [[polinom |polinoame]]. [[Coeficient|Coeficienții]] polinoamelor nu trebuie să fie neapărat [[număr rațional |numere raționale]], aceștia putând fi din orice [[corp (matematică) |corp]] {{mvar|K}}. În acest caz, se vorbește despre o funcție rațională și o fracție rațională ''peste K''. Valorile [[variabilă|variabilelor]] pot fi din orice corp {{mvar|L}} care-l conține pe {{mvar|K}}. Apoi, [[domeniu de definiție |domeniul]] funcției este mulțimea valorilor variabilelor pentru care numitorul nu este nul, iar [[codomeniu]]l este {{mvar|L}}.

Mulțimea funcțiilor raționale peste corpul {{mvar|K}} este un corp, [[corpul fracțiilor]] [[inel (matematică)|inelului]] [[polinom |funcțiilor polinomiale]] peste {{mvar|K}}.

== Definiții ==
O funcție <math>f</math> se numește funcție rațională dacă poate fi scrisă sub forma unui [[raport]] 
:<math> f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, </math>
unde <math>P</math> și <math>Q</math> sunt funcții polinomiale, iar <math>Q</math> nu este polinomul nul. Domeniul de definiție al funcției <math>f</math> este mulțimea tuturor valorilor variabilei <math>x</math> pentru care numitorul <math>Q(x)</math> nu este nul.

Totuși, dacă <math>\textstyle P</math> și <math>\textstyle Q</math> au [[cel mai mare divizor comun]] polinomul neconstant <math> \textstyle R </math>, atunci punând <math> \textstyle P = P_1R </math> și <math> \textstyle Q = Q_1R </math> se obține o funcție rațională
:<math> f_1(x) = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}, </math>
care poate avea domeniul de definiție mai mare ca domeniul de definiție al lui <math> f</math> și este egală cu <math> f(x)</math> pe domeniul de definiție al lui <math> f.</math> Se obișnuiește să se identifice <math> f</math> cu <math> f_1</math>, adică să se extindă "prin continuitate" domeniul lui <math> f</math> la cel al <math> f_1 .</math> Se poate defini o fracție rațională ca o [[clasă de echivalență]] a fracțiilor de polinoame, unde două fracții <math>\frac{A(x)}{B(x)}</math> și <math>\frac{C(x)}{D(x)}</math> sunt considerate echivalente dacă <math>A(x)D(x)=B(x)C(x)</math>. În acest caz <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math> este echivalentă cu <math>\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}.</math>

O '''funcție rațională proprie''' este o funcție rațională în care <math>P</math> și <math>Q</math> sunt polinoame reale, iar [[gradul unui polinom |gradul]] lui <math>P</math> este mai mic decât gradul lui <math>Q.</math><ref>{{en icon}} Martin J. Corless, Art Frazho, ''Linear Systems and Control'', p. 163, CRC Press, 2003 {{isbn|0203911377}}.</ref><ref>{{en icon}} Malcolm W. Pownall, ''Functions and Graphs: Calculus Preparatory Mathematics'', p. 203, Prentice-Hall, 1983 {{isbn|0133323048}}</ref>

O funcție rațională <math> f</math> se numește '''funcție rațională simplă''' dacă are una din formele:

# <math> f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0, </math> cu <math>a_i \in \mathbb{R}</math> pentru <math>i=\overline{0,n}</math>;
# <math> f(x)=\frac{A}{(x-a)^n}, </math> unde <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și <math>A \in \mathbb{R}</math>;
# <math> f(x)=\frac{Bx+C}{(ax^2 + bx + c)^n}, </math> unde <math>n \in \mathbb{N}^*,</math> <math>a,b,c,B,C \in \mathbb{R}</math> și <math>b^2-4ac<0.</math><ref>{{Citat carte|an=2007|titlu=Matematică. Manual pentru clasa a XII-a|pagină=244|editură=CARMINIS|authors=Marius Burtea, Georgeta Burtea|isbn=978-973-123-018-4}}</ref><ref>{{Citat carte|an=1990|titlu=Matematică. Manual pentru clasa a XII-a. Elemente de analiză matematică|pagină=41|editură=Didactică și pedagogică|authors=Nicu Boboc, Ion Colojoară|isbn=973-30-0643-2}}</ref> 

=== Grad ===
Există mai multe definiții neechivalente ale gradului unei funcții raționale.

De obicei gradul unei funcții raționale este cel mai mare dintre gradele polinoamelor sale constitutive {{mvar|P}} și {{mvar|Q}}, după reducerea fracției. Dacă gradul {{mvar|f}} este {{mvar|d}}, atunci ecuația
:<math>f(z) = w \,</math>
are {{mvar|d}} soluții distincte în {{mvar|z}} cu excepția câtorva valori ale {{mvar|w}}, ''valori critice'', unde coincid unele soluții sau sunt eliminate (la [[infinit]]) (asta se întâmplă când funcția se poate simplifica cu numitorul). 

În cazul coeficienților [[număr complex |complecși]], o funcție rațională de gradul întâi este o ''[[transformare Moebius |transformare Möbius]]''.

[[Gradul unei varietăți algebrice |Gradul]] graficului unei funcții raționale nu este gradul definit mai sus, ci este cea mai mare [[valoare (matematică) |valoare]] dintre gradul numărătorului și gradul numitorului mărit cu unu.

În unele contexte, cum ar fi în [[analiză asimptotică |analiza asimptotică]], gradul unei funcții raționale este diferența dintre gradele numărătorului și numitorului.

În analiza și sinteza rețelelor o funcție rațională de gradul doi (adică raportul a două polinoame de grad cel mult doi) se numește adesea o '''funcție bipătrată'''.<ref>{{en icon}} Glisson, Tildon H., ''Introduction to Circuit Analysis and Design'', Springer, 2011 ISBN {{ISBN|9048194431}}.</ref>

== Exemple ==
{{Imagine multiplă
 | header = Exemple de funcții raționale
 | align = right
 | direction = vertical
 | width = 300
 | image1 = RationalDegree3.svg
 | alt1 = Funcție rațională de gradul 3
 | caption1 = Funcție rațională de gradul 3 cu un grafic de gradul 3: <math>y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>
 | image2 = RationalDegree2byXedi.svg
 | alt2 = Funcție rațională de gradul 2
 | caption2 = Funcție rațională de gradul 2, cu un grafic de gradul 3: <math>y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>
}}

Funcția rațională 
:<math>f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}</math>
nu este definită în
:<math>x^2=5 \iff x=\pm \sqrt{5}.</math>

Ea tinde [[asimptotă|asimptotic]] spre <math>\tfrac{x}{2}</math> când <math>x\to \infty.</math>

Funcția rațională 
:<math>f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}</math>
este definită pentru toate [[număr real |numerele reale]], dar nu și pentru toate [[număr complex |numerelor complexe]], deoarece dacă ''x'' ar fi o rădăcină pătrată a lui <math>-1</math> (ex. ±[[unitatea imaginară|''i'']]), atunci, fomat, calculul poate duce la [[împărțirea cu zero]]
:<math>f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0},</math>
operație [[expresie nedefinită|nedefinită]].

O funcție constantă, cum ar fi <math>f(x)=\pi</math> este o funcție rațională, deoarece constantele sunt polinoame. Funcția în sine este rațională chiar dacă valoarea {{mvar|f}}(''x'') este irațională pentru toți ''x''.

Toate funcțiile polinomiale <math>f(x) = P(x)</math> sunt funcții raționale cu <math>Q(x)=1.</math> O funcție care nu poate fi scrisă în această formă, cum ar fi <math>f(x)=\sin(x),</math> nu este o funcție rațională. Însă adjectivul "irațional" nu este folosit pentru funcții.

Funcția rațională <math>f(x) = \tfrac{x}{x}</math> este 1 pentru orice ''x'' cu excepția lui 0. Suma, produsul sau câtul (cu excepția împărțirii cu un polinom nul) a două funcții raționale este ea însăși o funcție rațională. Totuși, procesul de reducere la forma standard poate duce involuntar la eliminarea unor astfel de singularități, cu excepția cazului în care aceasta se face cu atenție. Utilizarea definiției funcțiilor raționale drept [[clasă de echivalență |clase de echivalență]] se învârte în jurul acesteia, deoarece ''x''/''x'' este echivalent cu 1/1.

== Serii Taylor ==
Coeficienții unei [[serie Taylor |serii Taylor]] a oricărei funcții raționale satisfac o [[relație de recurență | relație de recurență liniară]], care poate fi aflată prin egalarea funcției raționale cu o serie Taylor cu coeficienți nedeterminați și gruparea termenilor după eliminarea numitorului.

De exemplu,
:<math>\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

Înmulțind cu numitorul și dezvoltând,
:<math>1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math>
:<math>1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

După ajustarea indicilor sumei puterilor lui ''x'' se obține
:<math>1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.</math>

Adunând termenii asemenea se obține
:<math>1 = 2a_0 + (2a_1 - a_0)x + \sum_{k=2}^{\infty} (a_{k-2} - a_{k-1} + 2a_k) x^k.</math>

Deoarece acest lucru este valabil pentru toate ''x'' din raza de convergență a seriei originale Taylor, calculul merge după cum urmează. Deoarece [[termen constant |termenul constant]] din stânga trebuie să fie egal cu termenul constant din dreapta, rezultă că
:<math>a_0 = \frac{1}{2}.</math>

Apoi, din moment ce nu există puteri ale lui ''x'' în stânga, toți coeficienții din dreapta trebuie să fie zero, din care rezultă că
:<math>a_1 = \frac{1}{4}</math>
:<math>a_k = \frac{1}{2} (a_{k-1} - a_{k-2})\quad \text{pentru}\ k \ge 2.</math>

Invers, orice secvență care satisface o recurență liniară determină o funcție rațională atunci când este utilizată drept coeficienți ai unei serii Taylor. Acest lucru este util în rezolvarea unor astfel de recurențe, deoarece folosind [[descompunere în fracții simple |descompunerea în fracții simple]] orice funcție rațională proprie se poate scrie ca o sumă de factori de forma <math>1 / (ax+b)</math> și dezvolta ca o [[serie geometrică]], oferind o formulă explicită pentru coeficienții Taylor; aceasta este metoda [[funcție generatoare exponențială|generării funcției]].

== Algebra abstractă și noțiunile geometrice == 
În [[algebră abstractă |algebra abstractă]] conceptul de polinom este extins pentru a include expresii formale în care coeficienții polinomului pot fi preluați din orice corp. În această abordare, Fiind dat un corp {{mvar|F}} și fie {{mvar|X}} o '''expresie rațională''' nedeterminată, element din corpul fracțiilor inelului polinomial {{mvar|F}}[''X'']. Orice expresie rațională poate fi scrisă ca un cât a două polinoame {{mvar|P}}&nbsp;/&nbsp;{{mvar|Q}} cu {{mvar|Q}}&nbsp;≠&nbsp;0, deși această reprezentare nu este unică. {{mvar|P}}&nbsp;/&nbsp;{{mvar|Q}} este echivalent cu {{mvar|R}}&nbsp;/&nbsp;{{mvar|S}} pentru polinoamele {{mvar|P}}, {{mvar|Q}}, {{mvar|R}} și {{mvar|S}} când <math>PS=QR.</math> Însă din moment ce {{mvar|F}}[''X''] este un [[inel factorial]], există o [[fracție ireductibilă |reprezentare unică]] pentru orice expresie rațională {{mvar|P}}&nbsp;/&nbsp;{{mvar|Q}} cu {{mvar|P}} și {{mvar|Q}} având cel mai mic grad și {{mvar|Q}} fiind un [[polinom monic]] ([[polinom unitar |unitar]]). Acest lucru este similar cu modul în care o [[fracție]] de numere întregi poate fi întotdeauna scrisă în mod unic cu numere mai mici prin reducerea factorilor comuni.

Corpul expresiilor raționale este notat {{mvar|K}}(''X''). Acest corp este generat peste {{mvar|F}} de (elementul transcendent) ''X'', deoarece {{mvar|K}}(''X'') nu conține niciun subcorp propriu care conține atât {{mvar|F}}, cât și elementul ''X''.

=== Funcții raționale complexe ===
[[Fișier:Julia set f(z)=1 over az5+z3+bz.png|thumb|[[Mulțime Julia]] pentru <math>f(z)=\frac{1}{ az^5+z^3+bz}</math>]]
În analiza complexă o funcție rațională
:<math>f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}</math>
este raportul dintre două polinoame cu coeficienți complecși, unde {{mvar|Q}} nu este nul iar {{mvar|P}} și {{mvar|Q}} nu au factori comuni (asta evită cazul ca {{mvar|f}} să aibă valoarea nedeterminată 0/0).

Domeniul lui {{mvar|f}} este mulțimea numerelor complexe astfel încât <math>Q(z) \ne 0,</math> iar codomeniul său este mulțimea numerelor complexe {{mvar|w}} astfel încât <math>P(z) \ne wQ(z).</math>

Orice funcție rațională poate fi extinsă în mod natural la o funcție al cărei domeniu și codomeniu sunt întreaga [[sfera Riemann |sferă Riemann]] (dreapta proiectivă complexă). Iterarea funcțiilor raționale ([[aplicație|aplicații]])<ref>{{en icon}} [https://www.matem.unam.mx/~omar/no-wandering-domains.pdf Iteration of Rational Functions by Omar Antolín Camarena]</ref> pe sfera Riemann creează [[sistem dinamic|sisteme dinamice discrete]].

Funcțiile raționale sunt exemple reprezentative ale [[funcție meromorfă|funcțiilor meromorfe]].

=== Noțiunea de funcție rațională pe o varietate algebrică === 
Ca și funcțiile polinomiale, expresiile raționale pot fi și ele generalizate la ''n'': ''X''<sub>1</sub>,&nbsp;...&nbsp;, ''X''<sub>''n''</sub> nedeterminate în corpul fracțiilor {{mvar|F}}[''X''<sub>1</sub>,&nbsp;...&nbsp;, ''X''<sub>''n''</sub>], notate cu {{mvar|F}}(''X''<sub>1</sub>,&nbsp;...&nbsp;, ''X''<sub>''n''</sub>).

O versiune extinsă a ideii abstracte de funcție rațională este utilizată în [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]]. Acolo [[corpul funcțiilor unei varietăți algebrice |corpul funcțiilor varietății algebrice]] {{mvar|V}} este format din corpul fracțiilor din [[varietate afină|varietățile afine]] al lui {{mvar|V}} (mai exact spus, al mulțimii Zariski deschise dense din {{mvar|V}}). Elementele sale "f" sunt considerate funcții regulate în sensul geometriei algebrice pe mulțimile deschise nevide {{mvar|U}} și pot fi, de asemenea, văzute ca [[morfism]]e la [[dreaptă proiectivă|dreapta proiectivă]].

== Aplicații ==
Funcțiile raționale sunt utilizate în [[analiza numerică]] pentru [[interpolare]]a și [[aproximare]]a funcțiilor, de exemplu [[aproximare Padé |aproximarea Padé]] introdusă de [[Henri Padé]]. Aproximările funcțiilor raționale sunt potrivite pentru [[software]] numerice. La fel ca polinoamele, ele pot fi evaluate direct și pot aborda probleme mai diverse decât polinoamele.

Funcțiile raționale sunt utilizate pentru aproximarea sau modelarea ecuațiilor mai complexe din știință și tehnică, inclusiv [[câmp (fizică)|câmpuri]] și [[forță|forțe]] în fizică, [[spectroscopie]] în [[chimie analitică|chimia analitică]] și [[chimie fizică]], [[cinetică enzimatică|cinetica enzimatică]] în [[biochimie]], [[circuit electric |circuite electrice]], [[aerodinamică]], concentrații [[medicament]]oase in vivo, [[funcție de undă |funcții de undă]] pentru [[atom]]i și [[moleculă |molecule]], [[optică]] și [[fotografie]] pentru a îmbunătăți rezoluția imaginii și [[sunet]]e în [[acustică]].

În [[procesarea semnalelor]] se folosește [[transformată Laplace |transformata Laplace]] (pentru sistemele în timp continuu) sau [[transformata Z]] (pentru sistemele în timp discret) ale [[răspuns la impuls |răspunsului la impuls]] ale celor mai utilizate [[sistem liniar invariant în timp |sistemelor liniare invariante în timp]] (filtre) cu [[filtru cu răspuns infinit la impuls |răspuns infinit la impuls]] sunt funcții raționale în [[numere complexe]].

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{springer|id=Rational_function&oldid=17805|title=Rational function}}
* {{en icon}} {{Citation|last1=Press|first1=W.H.|last2=Teukolsky|first2=S.A.|last3=Vetterling|first3=W.T.|last4=Flannery|first4=B.P.|year=2007|title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|publication-place=New York|isbn=978-0-521-88068-8|chapter=Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=124}}{{Legătură nefuncțională|date=august 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes |url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=124 }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Rational_functions Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph]

[[Categorie:Funcții raționale| ]]
[[Categorie:Varietăți algebrice]]
[[Categorie:Funcții meromorfe]]