Vizualizare sursă pentru „Funcție meromorfă”

[[Fișier:Gamma abs 3D.png|thumb|[[Funcția gamma]] este meromorfă pe tot [[planul complex]]]]
În domeniul matematic al [[analiză complexă |analizei complexe]] o '''funcție meromorfă''' pe o [[mulțime deschisă |submulțime deschisă]] {{mvar|D}} a [[planul complex |planului complex]] este o [[funcție]] care este [[funcție olomorfă |olomorfă]] pe întreaga {{mvar|D}} ''cu excepția'' unei [[mulțime |mulțimi]] de [[punct izolat |puncte izolate]], care sunt [[pol (matematică) |poli]] ai funcției.<ref name=Hazewinkel_2001>{{en icon}} {{cite encyclopedia |editor=Hazewinkel, Michiel |year=2001 |orig-year=1994 |article=Meromorphic function |chapter-url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/m063460 |encyclopedia=Enciclopedia Matematicii |title-link=Enciclopedia Matematicii |publisher=Springer Science+Business Media B.V. ; Kluwer Academic Publishers |ISBN=978-1-55608-010-4 }}{{Legătură nefuncțională|date=decembrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} <!-- {{springer|title=Meromorphic function|id=p/m063460}} --></ref> Termenul provine din {{gr|μέρος}} = ''parte''.{{efn|Termenul ''meros'' ([[wikt:μέρος|μέρος]]) înseamnă „parte”, prin contrast cu ''holos'' ([[wikt:ὅλος|ὅλος]]), care înseamnă „tot”.}}

Fiecare funcție meromorfă pe {{mvar|D}} poate fi exprimată ca raport între două funcții olomorfe (unde [[numitor]]ul nu este constant 0) definite pe {{mvar|D}}: orice pol trebuie să coincidă cu un [[zero al unei funcții |zero]] al numitorului.

== Descriere euristică ==
Intuitiv, o funcție meromorfă este un raport dintre două funcții olomorfe. O astfel de funcție va fi olomorfă, eventual cu excepția punctelor în care numitorul fracției este zero. Dacă numitorul este zero în ''z'' iar numărătorul nu, atunci valoarea funcției se va fi infinită; dacă ambele părți au zero în ''z'', atunci trebuie comparată [[multiplicitate]]a acestor zerouri.

Din punct de vedere algebric, dacă domeniul funcției este [[conexitate |conex]], atunci mulțimea funcțiilor meromorfe este [[corp (matematică) |corpul]] [[fracție |fracțiilor]] al [[Domeniu de integritate|domeniului de integritate]] al mulțimii funcțiilor olomorfe. Acest fapt este analog cu relația dintre [[număr rațional |numerele raționale]] și [[număr întreg |cele întregi]].

== Utilizare prealabilă, alternativă ==
Atât domeniul de studiu în care este folosit termenul, cât și semnificația precisă a termenului s-au schimbat în secolul al XX-lea. În anii 1930, în [[teoria grupurilor]], o ''funcție meromorfă'' era o funcție dintr-un grup {{mvar|G}} pe el însuși, care conserva produsul în grup. Imaginea acestei funcții a fost numită ''automorfism'' al lui {{mvar|G}}.<ref>{{de icon}} {{cite book |last=Zassenhaus |first=Hans |year=1937 |title=Lehrbuch der Gruppentheorie |publisher=B. G. Teubner Verlag |location=Leipzig; Berlin |edition=1st |pages=29, 41}}</ref> Similar, o ''funcție omomorfă'' a fost o funcție între grupuri care conservă produsul, în timp ce ''omomorfismul'' a fost imaginea unui omomorfism. Această formă a termenului este acum învechită, iar termenul înrudit ''meromorf'' nu mai este folosit în teoria grupurilor. Termenul ''endomorfism'' este acum folosit pentru funcția în sine, fără un nume special dat imaginii funcției.

O funcție meromorfă nu este neapărat un endomorfism, deoarece punctele complexe din polii săi nu sunt în domeniul său, dar pot fi în codomeniul său.

== Proprietăți ==
Deoarece polii unei funcții meromorfe sunt izolați, ei formează o [[mulțime numărabilă]].<ref name=Lang_1999/> Mulțimea polilor poate fi infinită, un exemplu fiind funcția <math>f(z) = \csc z = \frac{1}{\sin z}.</math>

Folosind {{ill-wd| Q485287||prelungirea analitică}} pentru a elimina [[singularitate eliminabilă |singularitățile]], funcțiile meromorfe pot fi adunate, scăzute, înmulțite, iar câtul <math>f/g</math> poate fi format, cu excepția cazului în care <math>g(z) = 0</math> pe o componentă conexă]] a lui {{mvar|D}}. Astfel, dacă {{mvar|D}} este conex, funcțiile meromorfe formează un [[corp (matematică) |corp]], de fapt o [[extindere de corp]] a [[număr complex |numerelor complexe]].

=== În dimensiuni superioare ===
La {{ill-wd| Q2052951||funcțiile de mai multe variabile complexe}} o funcție meromorfă este definită ca fiind local un cât de două funcții olomorfe. De exemplu, <math>f(z_1, z_2) = z_1 / z_2</math> este o funcție meromorfă pe [[spațiu afin |spațiul afin]] complex [[bidimensional]]. Aici nu mai este adevărat că fiecare funcție meromorfă poate fi privită ca o funcție olomorfă cu valori în [[sfera Riemann]]: există o mulțime de „nedeterminări” ale [[codimensiune |codimensiunii]] doi (în exemplul dat, această mulțime constă din originea <math>(0, 0)</math>).

Spre deosebire de dimensiunea unu, în dimensiuni mai mari există [[varietate complexă |varietăți complexe]] compacte pe care nu există funcții meromorfe neconstante, de exemplu, majoritatea {{ill-wd| Q5156610||torurilor complexe}}.

== Exemple ==
* Toate [[funcție rațională |funcțiile raționale]],<ref name=Lang_1999>{{en icon}} {{cite book |last=Lang |first=Serge |author-link=Serge Lang |year=1999 |title=Complex analysis |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin; New York |edition=4th |isbn=978-0-387-98592-3}}</ref> de exemplu
:<math> f(z) = \frac{z^3 - 2z + 10}{z^5 + 3z - 1},</math>
sunt meromorfe pe tot planul complex.
* Funcțiile
:<math> f(z) = \frac{e^z}{z} \quad</math> și <math>\quad f(z) = \frac{\sin{z}}{(z-1)^2} </math>
precum și [[funcția gamma]] și [[funcția zeta Riemann]] sunt meromorfe pe tot planul complex.<ref name=Lang_1999/>
* Funcția
:<math> f(z) = e^\frac{1}{z} </math>
este definită pe întregul plan complex, cu excepția originii, 0. Totuși, 0 nu este un pol al acestei funcții, mai degrabă o [[singularitate aparentă]]. Astfel, această funcție nu este meromorfă pe tot planul complex. Totuși, este meromorfă (chiar olomorfă) pe <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math>.
* {{ill-wd| Q2520206||Logaritmul complex}}
:<math> f(z) = \ln(z) </math>
nu este meromorf pe tot planul complex, întrucât nu poate fi definit pe întregul plan complex excluzând doar un set de puncte izolate.<ref name=Lang_1999/>
* Funcția 
:<math> f(z) = \csc\frac{1}{z} = \frac1{\sin\left(\frac{1}{z}\right)} </math>
nu este meromorfă pe întregul plan, deoarece punctul <math>z = 0</math> este un [[punct de acumulare (matematică) |punct de acumulare]] de poli, prin urmare nu este o [[singularitate izolată]].<ref name=Lang_1999/>
* Funcția
:<math> f(z) = \sin \frac 1 z </math>
nu este meromorfă, deoarece are o singularitate în 0.

== Pe suprafețe Riemann ==
Pe o {{ill-wd| Q753035||suprafață Riemann}} orice punct admite o vecinătate deschisă care este biolomorfă cu o submulțime deschisă a planului complex. Astfel noțiunea de funcție meromorfă poate fi definită pentru fiecare suprafață Riemann.

Dacă {{mvar|D}} este întreaga sferă Riemann, corpul funcțiilor meromorfe este pur și simplu corpul funcțiilor raționale de o variabilă peste corpul complex, deoarece se poate demonstra că orice funcție meromorfă de pe sferă este rațională.

Pentru orice suprafață Riemann o funcție meromorfă este aceeași cu o funcție olomorfă care se aplică pe sfera Riemann și care nu este funcția constantă egală cu ∞. Polii corespund acelor numere complexe care sunt aplicate la ∞.

Pe o suprafață Riemann necompactă, orice funcție meromorfă poate fi realizată ca un cât de două funcții olomorfe (definite global). În schimb, pe o suprafață compactă Riemann orice funcție olomorfă este constantă, în timp ce întotdeauna există funcții meromorfe neconstante.

== Note explicative ==
{{notelist|1}}

== Note ==
<references responsive/>

{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Funcții matematice]]
[[Categorie:Analiză complexă]]
[[Categorie:Geometrie riemanniană]]