Vizualizare sursă pentru „Funcție hiperbolică”

[[Fișier:sinh cosh tanh.svg|300px|thumb|Sinus, cosinus și tangentă hiperbolică]]
În [[matematică]], '''funcțiile hiperbolice''' sunt analoagele [[funcție trigonometrică |funcțiilor trigonometrice]], dar definite folosind [[hiperbolă |hiperbola]] în locul [[cerc]]ului. La fel cum punctele {{math|(cos ''t'', sin ''t'')}} formează un [[cerc unitate |cerc [cu raza de o] unitate]], punctele {{math| (ch ''t'', sh ''t'')}} formează jumătatea dreaptă a unei [[hiperbolă unitate |hiperbole unitate]]. De asemenea, la fel cum derivatele lui {{math|sin ''t''}} și {{math|cos ''t''}} sunt {{math|cos ''t''}} și {{math|–sin ''t''}}, derivatele lui {{math|sh ''t''}} și {{math|ch ''t''}} sunt {{math|cosh ''t''}} și {{math|+sinh ''t''}}.

Funcțiile hiperbolice apar în calculele [[unghi]]urilor și [[metrică |distanțelor]] din [[geometrie hiperbolică]]. Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor [[ecuație diferențială |ecuații diferențiale]] liniare (cum ar fi ecuația care definește un [[lănțișor]]), ecuații cubice și [[ecuația lui Laplace]] în [[coordonate carteziene]]. Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale [[fizică |fizicii]], inclusiv [[teoria electromagnetică]], [[transfer de căldură |transferul de căldură]], [[dinamica fluidelor]] și [[relativitatea restrânsă]].

Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba engleză<ref name=LTR>Remus Răduleț și colab. ''Lexiconul Tehnic Român'', ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „''funcții hiperbolice''”</ref> însă în prezent există o tendință de aliniere.<ref name=G><!-- Lect.dr. -->Octavian Mircia Gurzău, [http://users.utcluj.ro/~gurzau/an%20I%20AR%20sem.ii/curs_var_2017.pdf ''Curs scurt de matematici speciale'']], [[Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca]], 2017, accesat 2021-03-29 </ref> De asemenea, în literatura română funcțiile secantă hiperbolică, cosecantă hiperbolică și în bună măsură cotangentă hiperbolică nu se folosesc, fiind exprimate comod prin funcțiile cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică.

Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-29|website=Math Vault}}</ref><ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Hyperbolic Functions|url=https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Funcția !! Notația în<br/>limba română<br/>actuală<ref name=G/><br/>anterioară<ref name=LTR/> !! Notația în<br/>limba engleză<ref name=D>{{en icon}} (1999) ''Collins Concise Dictionary'', 4th edition, HarperCollins, Glasgow, {{ISBN|0 00 472257 4}}</ref><br/>variante !! Funcția inversă !! Notația în<br/>limba română<ref name=G/> !! Notația în<br/>limba engleză<ref name=D/> 
|-
| sinus hiperbolic || sinh<br/>sh || sinh || arcsinus hiperbolic<br/>argument sinus hiperbolic || arcsinh, arcsh<br/>argsinh, argsh || arcsinh<br/>arsinh<br/>asinh
|-
| cosinus hiperbolic || cosh<br/>ch || cosh || arccosinus hiperbolic<br/>argument sinus hiperbolic || arccosh, arcch<br/>argcosh, argch || arccosh<br/>arcosh<br/>acosh
|-
| tangentă hiperbolică || tanh<br/>th || tanh || arctangentă hiperbolică<br/>argument tangentă hiperbolică || arctanh<br/>argth || arctanh<br/>artanh<br/>atanh
|-
| cotangentă&nbsp;hiperbolică || coth<br/>cth || coth || arccotangentă hiperbolică<br/>argument&nbsp;cotangentă&nbsp;hiperbolică || arccoth<br/>argcth || arccoth<br/>arcoth<br/>acoth
|-
| secantă hiperbolică || – || sech || arcsecantă hiperbolică || – || arcsech<br/>arsech<br/>asech

|-
| cosecantă hiperbolică || – || cosech<br/>csch || arccosecantă hiperbolică || – || arccsch<br/>arcsch<br/>acsch
|}

[[Fișier:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|O „rază” în hiperbola unitate {{math|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}} în punctul {{math|(cosh ''a'', sinh ''a'')}}, unde {{mvar|a}} este dublul ariei dintre rază, hiperbolă și axa {{mvar|x}}. În punctele de pe hiperbolă sub axa {{mvar|x}} aria este considerată negativă (v. o [[:Fișier:HyperbolicAnimation.gif|animație]] de comparație cu funcțiile trigonometrice)]]

[[Argumentul unei funcții|Argumentul]] unei funcții hiperbolice este un [[număr real]], numit [[unghi hiperbolic]]. Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria [[sector hiperbolic |sectorului său hiperbolic]]. Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui [[triunghi hiperbolic]] drept care acoperă acest sector.

În [[analiza complexă]], funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt [[funcție întreagă |funcții întregi]]. Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt [[funcție meromorfă |meromorfe]] în întregul plan complex.

[[Teorema Lindemann–Weierstrass]] afirmă că funcțiile hiperbolice au o [[număr transcendental |valoare transcendentală]] pentru orice [[număr algebric |valoare algebrică]] nenulă a argumentului.<ref>{{en icon}} {{Cite book | jstor=10.4169/j.ctt5hh8zn| title=Irrational Numbers| volume=11| last1=Niven| first1=Ivan| year=1985| publisher=[[Mathematical Association of America]]| isbn=9780883850381}}</ref>

Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de [[Vincenzo Riccati]] și [[Johann Heinrich Lambert]].<ref>{{en icon}} Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100.</ref> Riccati a folosit {{math|''Sc.''}} și {{math|''Cc.'' }} (din {{it|sinus/cosinus circulare}}) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și {{math|''Sh.''}} și {{math|''Ch.''}} (din {{it|sinus/cosinus hyperbolico}}) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi.<ref>{{en icon}} Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii.</ref> Abrevierile {{math|sh}}, {{math|ch}}, {{math|th}}, {{math|cth }} sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.

== Definiții ==
[[Fișier:sinh cosh tanh.svg|thumb|<span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span> și <span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[Fișier:csch sech coth.svg|thumb|<span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span> și <span style="color:#0000b3;">coth</span>]]
Există diferite moduri echivalente de a defini funcțiile hiperbolice.

=== Definirea cu funcția exponențială ===
[[Fișier:Hyperbolic and exponential; sinh.svg|thumb|{{math|sinh ''x''}} este jumătate din diferența dintre {{math|''e<sup>x</sup>''}} și {{math|''e''<sup>−''x''</sup>}}]]
[[Fișier:Hyperbolic and exponential; cosh.svg|thumb|{{math|cosh ''x''}} este media aritmetică a {{math|''e<sup>x</sup>''}} și {{math|''e''<sup>−''x''</sup>}}]]
Folosind [[funcție exponențială |funcția exponențială]]:<ref name=":1" /><ref name=":2">{{en icon}} {{Cite web|title=Hyperbolic Functions|url=https://www.mathsisfun.com/sets/function-hyperbolic.html|access-date=2020-08-29|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
* Sinusul hiperbolic:
*:<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Cosinusul hiperbolic:
*:<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Tangenta hiperbolică:
*:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
  = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>
* Cotangenta hiperbolică, pentru {{math|''x'' ≠ 0}}:
*:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
  = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>
* Secanta hiperbolică:
*:<math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
  = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}</math>
* Cosecanta hiperbolică, pentru {{math|''x'' ≠ 0}}:
*:<math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
  = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}</math>

=== Definirea prin ecuații diferențiale ===
Funcțiile hiperbolice pot fi definite ca soluții ale [[ecuație diferențială |ecuațiilor diferențiale]]: sinusul și cosinusul hiperbolic sunt soluția unică {{math|(''s'',''c'')}} a sistemului:
:<math>\begin{align}
c'(x)&=s(x)\\
s'(x)&=c(x)\end{align}</math>
astfel încât 
{{math|1=''s''(0) = 0}} și {{math|1=''c''(0) = 1}}.

([[condiție inițială |Condițiile inițiale]] <math>s(0) = 0</math> și <math>c(0) = 1</math> sunt necesare deoarece orice pereche de funcții de forma <math>(ae^x+be^{-x},ae^x-be^{-x})</math> este o soluție a celor două ecuații diferențiale.)

De asemenea, sinh&nbsp;''x'' și cosh&nbsp;''x'' sunt unica soluție a ecuației {{math|1=''f''&thinsp;″(''x'') = ''f''&thinsp;(''x'')}},
astfel încât {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 1}}, {{math|1=''f''&thinsp;′(0) = 0}} pentru cosinusul hiperbolic și {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 0}}, {{math|1=''f''&thinsp;′(0) = 1}} pentru sinusul hiperbolic.

=== Definirea prin relații trigonometrice în planul complex  ===
Funcțiile hiperbolice pot fi deduse din [[funcțiile trigonometrice]] de argument [[număr complex |complex]]:
* Sinusul hiperbolic:<ref name=":1" />
*:<math>\sinh x = -i \sin (i x)</math>
* Cosinusul hiperbolic:<ref name=":1" />
*:<math>\cosh x = \cos (i x)</math>
* Tangenta hiperbolică:
*:<math>\tanh x = -i \tan (i x)</math>
* Cotangenta hiperbolică:
*:<math>\coth x = i \cot (i x)</math>
* Secanta hiperbolică:
*:<math>\operatorname{sech} x = \sec (i x)</math>
* Cosecanta hiperbolică:
*:<math>\operatorname{csch} x = i \csc (i x)</math>
unde {{mvar|i}} este [[unitatea imaginară]] cu {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.

Definițiile de mai sus sunt legate de definițiile exponențiale prin [[formula lui Euler]]<!-- (v. [[#Funcții hiperbolice pentru numere complexe |mai jos]]) -->.

== Proprietăți caracteristice ==
=== Cosinusul hiperbolic ===
Se poate arăta că aria de sub curba cosinusului hiperbolic (pe un interval finit) este întotdeauna egală cu lungimea arcului corespunzătoare acelui interval:<ref>{{en icon}} {{cite book
 |title=Golden Integral Calculus
 |first1=Bali  |last1=N.P.
 |publisher=Firewall Media
 |year=2005
 |isbn=81-7008-169-6
 |page=472
 |url=https://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&pg=PA472
}}</ref>
:<math>\text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}</math>

=== Tangenta hiperbolică  ===
Tangenta hiperbolică este unica soluție a ecuației diferențiale 
{{math|1=''f''&thinsp;′ = 1 − ''f''&thinsp;<sup>2</sup>}}, cu {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 0}}.<ref>{{en icon}} {{cite book |title=Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C++, Java And Symbolicc++ Programs (3rd Edition) |author1=Willi-hans Steeb |edition= |publisher=World Scientific Publishing Company |year=2005 |isbn=978-981-310-648-2 |page=281 |url=https://books.google.com/books?id=-Qo8DQAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=-Qo8DQAAQBAJ&pg=PA281 Extract of page 281 (using lambda=1)]</ref><ref>{{en icon}} {{cite book |title=An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator |author1=Keith B. Oldham |author2=Jan Myland |author3=Jerome Spanier |edition=2nd, illustrated |publisher=Springer Science & Business Media |year=2010 |isbn=978-0-387-48807-3 |page=290 |url=https://books.google.com/books?id=UrSnNeJW10YC}} [https://books.google.com/books?id=UrSnNeJW10YC&pg=PA290 Extract of page 290]</ref>

== Relații uzuale ==
Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, toate similare ca formă cu identitățile trigonometrice. De fapt, ''regula lui Osborn''<ref name="Osborn, 1902">{{en icon}} {{Cite journal
|first=G. |last=Osborn
|jstor=3602492 
|title=Mnemonic for hyperbolic formulae
|journal=[[The Mathematical Gazette]]
|page=189
|volume=2 |issue=34
|date=July 1902
|doi=10.2307/3602492
|url=https://zenodo.org/record/1449741
}}</ref> afirmă că se poate converti orice identitate trigonometrică în <math>\theta</math>, <math>2\theta</math>, <math>3\theta</math> sau <math>\theta</math> și <math>\varphi</math> într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă după puterile sinusurilor și cosinusurilor, schimbarea sinusurilor și cosinusurilor în cosinusuri, respectiv sinusuri hiperbolice și schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs din două sinusuri hiperbolice.

Funcții pare și impare:
:<math>\begin{align}
  \sinh (-x) &= -\sinh x \\
  \cosh (-x) &=  \cosh x
\end{align}</math>

de unde:
:<math>\begin{align}
                \tanh (-x) &= -\tanh x \\
                \coth (-x) &= -\coth x \\
  \operatorname{sech} (-x) &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}</math>

prin urmare {{math|cosh ''x''}} și {{math|sech ''x''}} sunt funcții pare; celelalte fiind impare.

:<math>\begin{align}
  \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
  \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
  \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \left(\frac{1}{x}\right)
\end{align}</math>

Sinusul și cosinusul hiperbolic satisfac relațiile: 
:<math>\begin{align}
  \cosh x + \sinh x &= e^x \\
  \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\
  \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1
\end{align}</math>

ultima fiind similară cu [[identitatea trigonometrică pitagoreică]].

Între alte funcții există și relațiile:
:<math>\begin{align}
  \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\
  \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1
\end{align}</math>

=== Formule pentru sume ===
:<math>\begin{align}
  \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
  \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px]
  \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

în particular
:<math>\begin{align}
  \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
  \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\
  \tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\
\end{align}</math>

Și:
:<math>\begin{align}
  \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
  \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\

\end{align}</math>

=== Formule pentru diferențe ===
:<math>\begin{align}
  \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
  \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
  \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

Și:<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Martin|first1=George E.|title=The foundations of geometry and the non-euclidean plane|date=1986|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=3-540-90694-0|page=416|edition=1st corr.}}</ref>
:<math>\begin{align}
  \sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
  \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}</math>

=== Formule pentru jumătatea argumentului ===
:<math>\begin{align}
  \sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]
  \cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]
  \tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} 
\end{align}</math>
unde {{math|sgn}} este semnul funcției.

Dacă {{math|''x'' ≠ 0}}, atunci<ref>{{en icon}} {{cite web|title=Prove the identity |url=https://math.stackexchange.com/q/1565753 |website=StackExchange (mathematics)|access-date=24 January 2016}}</ref>
:<math> \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x </math>

=== Formule pentru pătratul funcțiilor ===
:<math>\begin{align}
\sinh^2 x &= \frac{1}{2}(\cosh 2x -1) \\
\cosh^2 x &= \frac{1}{2}(\cosh 2x +1)
\end{align}</math>

=== Inegalități ===
Următoarea inegalitate este utilă în statistici:<ref>{{en icon}} {{cite news|last1=Audibert|first1=Jean-Yves|title=Fast learning rates in statistical inference through aggregation|date=2009|publisher=The Annals of Statistics|page=1627}} [https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.aos/1245332827]</ref>
<math>\operatorname{cosh}(t) \leq e^{t^2 /2}</math> 

Ea poate fi demonstrată comparând termen cu termen seriile Taylor ale celor două funcții.

== Funcțiile inverse ca logaritmi ==
<!-- {{Articol principal|Inversele funcțiilor hiperbolice}} -->
:<math>\begin{align}
  \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
  \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geqslant 1 \\
  \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x | < 1 \\
  \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) && |x| > 1 \\
  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 < x \leqslant 1 \\
  \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) && x \ne 0
\end{align}</math>

== Derivate ==
:<math>\begin{align}
   \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
   \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
   \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ 
   \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 < x \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| < 1 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x &= \frac{1}{1-x^2} && 1 < |x| \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 < x < 1 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0
 \end{align}</math>
<!-- from: http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/lessons/calculus/tableof.html  and http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryById&id=2664 -->

== Derivata a doua ==
Fiecare dintre funcțiile {{math|sinh}} și {{math|cosh}} este egală cu [[derivata a doua]] a lor, adică:
:<math> \frac{d^2}{dx^2}\sinh x = \sinh x \,</math>
:<math> \frac{d^2}{dx^2}\cosh x = \cosh x \, .</math>

Toate funcțiile cu această proprietate sunt [[combinație liniară |combinații liniare]] de  {{math|sinh}} și {{math|cosh}}, în particular de funcțiile exponențiale <math> e^x </math> și <math> e^{-x} </math>.

== Integrale ==
:<math>\begin{align}
  \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
  \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
  \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
  \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C = a^{-1} \ln\left|\coth (ax) - \operatorname{csch} (ax)\right| + C
\end{align}</math>

Următoarele integrale pot fi demonstate cu ajutorul substituției hiperbolice:
:<math>\begin{align}
   \int {\frac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = \operatorname{arsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\,du} &= \operatorname{arcosh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & =  a^{-1}\operatorname{artanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & =  a^{-1}\operatorname{arcoth} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 > a^2 \\
   \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 - u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arsech}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}</math>
unde ''C'' este [[constantă de integrare |constanta de integrare]].

== Dezvoltări în serie Taylor ==
Funcțiile de mai sus pot fi dezvoltate în [[serie Taylor]] la zero (sau [[serie Laurent]], dacă funcția nu este definită în zero).
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

Această serie este [[serie convergentă |convergentă]] pentru orice valoare [[număr complex |complexă]] a {{mvar|x}}. Deoarece funcția {{math|sinh ''x''}} este impară, numai exponenții impari ai lui {{math|''x''}} apar în seria sa Taylor.
:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a {{mvar|x}}. Deoarece funcția {{math|cosh ''x''}} este pară, numai exponenții pari ai lui {{math|''x''}} apar în seria sa Taylor.

Suma seriilor sinh și cosh este expresia [[serie infinită |seriei infinite]] a [[funcție exponențială |funcției exponențiale]].

Următoarele serii sunt urmate de o descriere a unui subdomeniu al domeniului convergenței lor, în care seria este convergentă și suma sa este egală cu funcția.
:<math>\begin{align}

                   \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

                   \coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\

  \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} ,  \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

  \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , \qquad 0 < \left |x \right | < \pi
\end{align}</math>
unde:
:<math>B_n \,</math> este al ''n''-lea [[număr Bernoulli]]
:<math>E_n \,</math> este al ''n''-lea [[număr Euler]]

== Comparație cu funcțiile trigonometrice ==
[[Fișier:Circular and hyperbolic angle.svg|thumb|Cercul și hiperbola tangente în (1,1) arată geometria funcțiilor trigonometrice în funcție de aria ''u'' a [[sector de cerc|sectorului de cerc]] și funcțiile hiperbolice în funcție aria ''u'' a sectorului hiperbolic]]
Funcțiile hiperbolice sunt o generalizare a [[trigonometrie]]i dincolo de funcțiile trigonometrice. Ambele tipuri sunt în funcție de un argument, [[unghi]], respectiv [[unghi hiperbolic]].

Deoarece aria unui [[sector de cerc]] cu raza ''r'' și unghiul ''u'' (în radiani) este <math>\frac{r^2u}{2}</math>, ea va fi egală cu ''u'' când ''r''&nbsp;=&nbsp;{{sqrt|2}}. În diagramă, un astfel de cerc este tangent la hiperbola "xy"&nbsp;=&nbsp;1 în (1,1). Sectorul portocaliu descrie o zonă și un unghi. Similar, sectoarele portocaliu și roșu prezintă împreună zona și mărimea unghiului hiperbolic.

Catetele opuse unghiului ale celor două [[triunghi dreptunghic |triunghiuri dreptunghice]] cu ipotenuza pe rază au lungimea de {{radic|2}} ori funcțiile trigonometrică, respectiv hiperbolică.

Unghiul hiperbolic este [[invarianță rotațională |invariant]] la o [[rotație hiperbolică]], la fel cum unghiul (trigonometric) este invariant la o rotație.<ref>{{en icon}} Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society '''1''':6:155–9, [http://www.ams.org/journals/bull/1895-01-06/S0002-9904-1895-00266-9/S0002-9904-1895-00266-9.pdf full text]</ref>

[[Funcția Gudermann]] oferă o relație directă între funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice care nu implică numere complexe.

Graficul funcției ''a''&nbsp;cosh(''x''/''a'') este [[lănțișor]]ul, curba formată sub acțiunea gravitației uniforme de un lanț flexibil uniform, liber, agățat doar între două puncte fixe.

== Relația cu funcția exponențială ==
Funcțiile hiperbolice se pot defini algebric in absența considerentelor geometrice legate de [[hiperbolă]] folosind [[funcția exponențială]] de argumente ''x'' și ''-x''. Acest procedeu permite deducerea identităților:

:<math>e^x = \cosh x + \sinh x,</math>
și
:<math>e^{-x} = \cosh x - \sinh x.</math>

Prima este analogă cu [[formula lui Euler]]

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>

În plus,
:<math>e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}</math>

== Funcții hiperbolice pentru numere complexe ==
Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex, definițiile funcțiilor hiperbolice pot fi extise la argumente complexe. Funcțiile sinh&nbsp;''z'' și cosh&nbsp;''z'' sunt atunci [[Funcție olomorfă |olomorfe]].

Relațiile cu funcțiile trigonometrice obișnuite sunt date de formula lui Euler pentru numerele complexe:
:<math>\begin{align}
   e^{i x} &= \cos x + i \sin x \\
  e^{-i x} &= \cos x - i \sin x
\end{align}</math>

deci:
:<math>\begin{align}
    \cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
    \sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
    \tanh(ix) &= i \tan x \\
     \cosh x &= \cos(ix) \\
     \sinh x &= - i \sin(ix) \\
     \tanh x &= - i \tan(ix)
\end{align}</math>

Astfel, funcțiile hiperbolice sunt [[funcție periodică |periodice]] în raport cu componenta imaginară, cu perioada <math>2\pi i \,</math> (<math>\pi i \,</math>pentru tangenta și cotangenta hiperbolică).

{|  style="text-align:center"
|+ Funcții hiperbolice în planul complex
|[[Fișier:Complex Sinh.jpg|120px]]
|[[Fișier:Complex Cosh.jpg|120px]]
|[[Fișier:Complex Tanh.jpg|120px]]
|[[Fișier:Complex Coth.jpg|120px]]
|[[Fișier:Complex Sech.jpg|120px]]
|[[Fișier:Complex Csch.jpg|120px]]
|-
|<math>\operatorname{sinh}(z)</math>
|<math>\operatorname{cosh}(z)</math>
|<math>\operatorname{tanh}(z)</math>
|<math>\operatorname{coth}(z)</math>
|<math>\operatorname{sech}(z)</math>
|<math>\operatorname{csch}(z)</math>
|}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Hyperbolic functions|Funcții hiperbolice}}
* {{en icon}} [http://planetmath.org/hyperbolicfunctions Hyperbolic functions] la PlanetMath
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
* {{en icon}} [http://www.calctool.org/CALC/math/trigonometry/hyperbolic Web-based calculator of hyperbolic functions]

{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Geometrie hiperbolică]]
[[Categorie:Funcții analitice]]