Vizualizare sursă pentru „Funcție algebrică de gradul al treilea”

''Acest articol tratează '''funcția cubică''' de o variabilă. Pentru funcția de două variabile, vedeți articolul [[curbă eliptică]].''

[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|290px| Graficul unei funcții [[Gradul unui polinom|cubice]] în cazul a trei [[Rădăcină (matematică)|rădăcini]] [[Număr real|reale]] prezintă trei intersecții cu [[Abscisă|abscisa]] (axa ''ox'' pentru ''y'' = 0) , având două puncte critice, un [[minim]] și un [[maxim]], ambele locale, dar nu absolute. Intersecția funcției cu [[Ordonată|ordonata]] este numeric egală cu termenul liber '''d'''.]]

În [[matematică]], prin '''funcție algebrică de gradul al treilea''' sau, mai scurt, '''funcție cubică''' se înțelege orice [[Funcție algebrică|funcție]] [[polinom]]ială de următoarea formă:

:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,</math>

în care singura condiție obligatorie se referă la [[Coeficient (matematică)|coeficientul]] ''' ''a'',''' care trebuie să nu fie [[zero]]. Altfel spus, o funcție cubică este echivalentă cu un [[polinom]] de [[gradul unui polinom|gradul]] trei în care studiul variabilei [[Variabilă dependentă|dependente]] (funcția) față de [[Variabilă independentă|variabila]] independentă ([[argumentul unei funcții|argumentul]]) este importantă.

[[Derivată (matematică)|Derivata]] unei funcții cubice este o funcție de grad mai mic cu o unitate, o [[Funcție algebrică de gradul al doilea|funcție de gradul al doilea]], respectiv rezultatul operației inverse derivării funcției, [[Integrală (matematică)|integrala]] sa este o funcție de grad mai mare cu o unitate, [[Funcție algebrică de gradul al patrulea|funcție de gradul al patrulea]].

Cazul studiului zero-urilor funcției cubice se rezolvă prin egalarea ''ƒ''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0 și condiționarea coeficientului ''a'' să fie ne-nul (''a''&nbsp;≠&nbsp;0) produce o [[ecuație]] cubică de forma

:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0.\,</math>

De obicei [[Coeficient|coeficienții]] ''a'', ''b'',''c'', ''d'' sunt [[numere reale]], dar pot fi și [[numere complexe]]. Oricum, mare parte a teoriei este valabilă atât pentru coeficienți [[Număr real|reali]] cât și pentru cei [[Număr complex|complecși]], cu mici diferențe.

Rezolvarea unei ecuații cubice se reduce la aflarea [[Rădăcină (matematică)|rădăcinilor]] sau zero-urilor funcției (vedeți imaginea). Există două metode generale de aflare a zero-urilor cubicei.  Una dă soluții exacte, implicând combinații de [[Număr irațional|numere iraționale]] conținând rădăcini de ordinul doi și trei combinând numerele ''a'', ''b'', ''c'' și ''d'', coeficienții funcției cubice. Cea de-a doua este aproximativă întrucât este numerică, exprimând cele trei rădăcini ca trei numere reale sau ca un număr real și două complexe. În acest caz, valorile numerice ale rădăcinilor pot fi obținute printr-un [[algoritm]] de tipul [[Metoda lui Newton|metodei lui Newton]].

== Istoric ==
Ecuațiile de gradul 3 (sau „cubice”) au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul grec [[Diophantus]];<ref>Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983 ISBN 0387121595</ref>, dar erau cunoscute chiar mai devreme de matematicieni din Babilonul antic, care cunoșteau rezolvarea unor ecuații cubice particulare;<ref>British Museum BM 85200</ref> și de asemeni de egiptenii antici. [[Dublarea cubului]] este cea mai simplă și veche ecuație cubică studiată, și una din ecuațiile pe care egiptenii antici o considerau imposibil de rezolvat.

Leonardo de Pisa, cunoscut sub numele de [[Fibonacci]] (1170–1250), a putut să găsească soluția pozitivă a ecuației cubice x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>+10x = 20, utilizând [[numeralele babiloniene]]. El a obținut rezultatul 1,22,7,42,33,4,40 care este echivalent cu: 1+22/60+7/60<sup>2</sup>+42/60<sup>3</sup>+33/60<sup>4</sup>+4/60<sup>5</sup>+40/60<sup>6</sup>.<ref>"The life and numbers of Fibonacci" [http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html], ''Plus Magazine''</ref>
<!-- In the early 16th century, the Italian mathematician [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) found a method for solving a class of cubic equations, namely those of the form ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;''mx'' = ''n''. In fact, all cubic equations can be reduced to this form if we allow ''m'' and ''n'' to be negative, but [[negative number]]s were not known to him at that time. Del Ferro kept his achievement secret until just before his death, when he told his student [[Antonio Fiore]] about it.

In 1530, [[Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) received two problems in cubic equations from [[Zuanne da Coi]] and announced that he could solve them. He was soon challenged by Fiore, which led to a famous contest between the two. Each contestant had to put up a certain amount of money and to propose a number of problems for his rival to solve. Whoever solved more problems within 30 days would get all the money. Tartaglia received questions in the form ''x''<sup>3</sup> + ''mx'' = ''n'', for which he had worked out a general method. Fiore received questions in the form ''x''<sup>3</sup> + ''mx''<sup>2</sup> = ''n'', which proved to be too difficult for him to solve, and Tartaglia won the contest.

Later, Tartaglia was persuaded by [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) to reveal his secret for solving cubic equations. In 1539, Tartaglia did so only on the condition that Cardano would never reveal it and that if he did reveal a book about cubics, that he would give Tartaglia time to publish. Some years later, Cardano learned about Ferro's prior work and published Ferro's method in his book ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]]'' in 1545, meaning Cardano gave Tartaglia 6 years to publish his results (with credit given to Tartaglia for an independent solution). Cardano's promise with Tartaglia stated that he not publish Tartaglia's work, and Cardano felt he was publishing del Ferro's, so as to get around the promise.  Nevertheless, this led to a challenge to Cardano by Tartaglia, which Cardano denied.  The challenge was eventually accepted by Cardano's student [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565). Ferrari did better than Tartaglia in the competition, and Tartaglia lost both his prestige and income.<ref>Katz, Victor. ''A History of Mathematics''.   pp. 220.  Boston:  Addison Wesley, 2004.</ref>

Cardano noticed that Tartaglia's method sometimes required him to extract the square root of a negative number. He even included a calculation with these [[complex number]]s in ''Ars Magna'', but he did not really understand it. [[Rafael Bombelli]] studied this issue in detail and is therefore often considered as the discoverer of complex numbers.-->

== Derivate ==
[[Rădăcină (matematică)|Rădăcinile]] derivatei:
:<math>f'(x)=3ax^2+2bx+c \,\!</math>,
sunt date de formulele:
:<math style="vertical-align:-70%;">x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac  }}{3a}</math>
și reprezintă punctele critice, unde panta funcției cubice este zero. Dacă ''b<sup>2</sup>-3ac>0'', atunci funcția de cubică are un [[maxim și minim|maxim local]] și un [[maxim și minim|minim local]]. Dacă ''b<sup>2</sup>-3ac=0'', funcția cubică are un [[punct de inflexiune]], care nu este nici de maxim, nici de minim. Dacă ''b<sup>2</sup>-3ac<0'', atunci nu are niciun punct critic; în acest caz, ''b<sup>2</sup>-3ac≤0'', iar funcția cubică este strict monotonă.

== Ecuația algebrică de gradul al treilea ==
Forma generală a unei ecuații cubice (de gradul trei) este:
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad(1)</math>
unde <math>a\neq 0\,.</math>

În această secțiune se descrie modul în care rădăcinile unei astfel de ecuații pot fi aflate. Coeficienții <math>a,b,c,d</math> pot fi numere reale sau complexe.

=== Natura rădăcinilor ===
Orice ecuație cubică (1), cu coeficienți reali are cel puțin o soluție reală '' x'', ceea ce este o consecință a [[teorema valorii intermediare|teoremei valorii intermediare]]. Există următoarele 3 cazuri, în funcție de semnul discriminantului:
:: <math> \Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,</math> <ref>{{citation
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|last1=Irving
|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.
|year=2004
|isbn=0-387-40397-3
|url=http://books.google.com/?id=B4k6ltaxm5YC}}, [http://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, p. 154-156]</ref>

* Dacă Δ > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte.
* Dacă Δ = 0, atunci ecuația are o rădăcină multiplă și toate rădăcinile ei sunt reale. 
* Dacă Δ < 0, atunci ecuația are o rădăcină reală și două rădăcini complexe nereale conjugate.

Vezi și [[multiplicitatea rădăcinilor unui polinom]].

=== Formula generală de aflare a rădăcinilor ===
Pentru ecuația cubică generală (1), cu coeficienți reali, formula generală de calcul a rădăcinilor în funcție de coeficienți, este după cum urmează, dacă
<math>(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d)^2-4 (b^2-3 a c)^3=-27 a^2 \Delta>0</math>, altfel ecuația are două rădacini complexe nereale.
:<math>\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}-\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}-\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}+\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}+\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}
\end{align}</math>

Totuși, această formulă nu se verifică, dacă [[operand]]ul din rădăcina pătrată este negativ sau în cazul în care coeficienții aparțin unui domeniu care nu este inclus în domeniul numerelor reale. Atunci când acest operand este real și pozitiv, rădăcinile cubice sunt reale și [[expresie bine definită|bine definite]]. În alt caz, rădăcina pătrată nu este reală și trebuie să alegem una din cele două rădăcini complexe, de exemplu, cea care are o parte imaginară pozitivă. Pentru extragerea de rădăcinile cubice, avem, de asemenea, de a alege o determinare pentru rădăcinile cubice, și acest lucru dă nouă valori posibile pentru prima rădăcină dintr-o ecuație care are doar trei rădăcini.

O soluție corectă poate fi obținută din proprietatea că produsul celor două rădăcini cubice este rațional. Acest lucru dă următoarea formulă, în care:

<math>\sqrt{ }</math> sau <math>\sqrt[3]{ }</math> are loc pentru orice determinare a rădăcinii pătrate sau cubice, în cazul în care <math>b^2-3ac \mbox{ } \neq \mbox{ } 0.</math>
:<math>\begin{align}
Q = &\sqrt{(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d)^2-4 (b^2-3 a c)^3}\\
C =  &\sqrt[3]{\tfrac12 (Q + 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d)}\\
x_1 = &-\frac{b}{3 a}-\frac{C}{3 a}-\frac{b^2-3 a c}{3 a C}\\
x_2 = &-\frac{b}{3 a}+\frac{C(1+i \sqrt{3})}{6 a} +\frac{(1-i \sqrt{3}) (b^2-3 a c)}{6 a C}\\
x_3 = &-\frac{b}{3 a}+\frac{C(1-i \sqrt{3})}{6 a} +\frac{(1+i \sqrt{3}) (b^2-3 a c)}{6 a C}
\end{align}</math>

Dacă <math>Q \mbox{ } \neq \mbox{ } 0</math> și <math>b^2-3ac = 0</math>, semnul lui <math>Q</math> a fost ales pentru a avea <math>C \mbox{ } \neq \mbox{ } 0</math>.

Dacă <math>Q = 0</math> și <math>b^2-3ac = 0</math>, cele 3 rădăcini sunt egale:

:<math>x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3a}.</math>

Dacă <math>Q = 0</math> și <math> b^2-3ac  \mbox{ } \neq  \mbox{ } 0</math>, 
expresia de mai sus pentru a rădăcinilor este corectă, dar ascunde faptul că nu este necesar niciun radical pentru a reprezenta rădăcinile. De fapt, în acest caz, există o rădăcină dublă: 
:<math> x_1=x_2=\frac{bc-9ad}{2(3ac-b^2)}.</math>
::și o rădăcină simplă: 
:<math> x_3=\frac{9a^2d-4abc+b^3}{a(3ac-b^2)}.</math>

Următoarele secțiuni descriu modul în care aceste formule pot fi obținute.

=== Reducerea ecuației la un trinom ===
Împărțind ecuația (1) cu <math>a</math> și înlocuind <math>x</math> cu <math> t-\frac{b}{3a}</math> ([[transformarea Tschirnhaus]]) obținem ecuația:
:<math>t^3+pt+q=0 \qquad(2)</math>
unde
:<math> \begin{align}
p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\
q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}
</math>

Orice formulă pentru rădăcinile ecuației (2) poate fi transformată într-o formulă pentru rădăcinile ecuației (1) înlocuind:
<math>p</math> și <math>q</math> prin valorile de mai sus, și folosind relația <math> x=t-\frac{b}{3a}</math>.

Prin urmare, secțiunea următoare se va referi numai la ecuații de forma (2).

=== Metoda Cardano ===
Soluțiile pot fi găsite cu următoarea metodă, datorită lui [[Scipione del Ferro]] și [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]], publicată de [[Gerolamo Cardano]] în 1545.<ref>Jacobson (2009), p. 210.</ref>

În primul rând, se aplică reducerea la un [[trinom]] din secțiunea precedentă, obținând o ecuație de forma:
:<math> t^3 + pt + q = 0\,. \qquad (2)</math>

Se introduc două variabile, ''u'' și ''v'', legate prin condiția:
:<math>u+v=t\,</math>
iar înlocuind în relația (2), obținem:
:<math> u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\,</math>.

În continuare, Cardano a impus o condiție secundară pentru variabilele ''u'' și ''v'':
:<math> 3uv+p=0\,</math>.
Astfel, prima paranteză dispare în (3), și obținem <math> u^3+v^3=-q</math> și <math> u^3v^3=-p^3/27</math>.

Rezultă că <math> u^3</math> și <math> v^3</math> sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul 2:
:<math> z^2 + qz - {p^3\over 27} = 0\,.</math>

În acest moment, Cardano, care nu cunoștea numerele complexe, presupunea că rădăcinile acestei ecuații au fost reale, rezultă  că: 
<math> \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} >0\,. </math>

Rezolvând această ecuație și folosind faptul că  <math> u</math> și <math> v</math> pot fi schimbate între ele, obținem:
:<math> u^{3}=-{q\over 2} + \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math> and <math>v^{3}=-{q\over 2} - \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>.

Deoarece aceste expresii sunt reale, rădăcinile lor cubice sunt bine definite și, la fel ca și Cardano, obținem:
:<math> t_1=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>

Cele două rădăcini complexe sunt obținute prin același raționament; faptul că <math> uv</math> 
este real implică faptul că acestea sunt obținute prin înmulțirea uneia dintre rădăcinile cubice de mai sus cu 
<math>\,\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,</math> și a celeilalte cu <math>\,\tfrac{-1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,</math>.

Dacă <math> \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\, </math> nu este necesar pozitiv, trebuie să alegem o [[rădăcină cubică]] a lui <math>u^3</math>. Deoarece nu există nici o modalitate directă de a alege rădăcină cubică a lui <math>v^3</math>, putem utiliza relația <math>v=-\frac{p}{3u}</math>, de unde rezultă 
:<math> u=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \qquad (4) </math>
și
:<math>t=u-\frac{p}{3u}\,.</math>

Observăm că semnul rădăcinii pătrate nu afectează rezultatul <math>t</math>, deoarece această schimbare implică și schimbarea variabilelor <math>u</math> și <math>v</math>. Am ales semnul minus, pentru a avea <math>u\ne 0</math> atunci când <math>p = 0</math> și <math>q\ne 0</math>, pentru a evita [[împărțirea cu zero]]. Cu această alegere, expresia de mai sus pentru <math>t</math> funcționează întotdeauna, cu excepția cazului când <math>p = q=0</math>, în cazul în care al doilea termen devine 0/0. În acest caz, <math> t=0</math> este o rădăcină triplă.

Observăm, de asemenea, că, în unele cazuri, soluțiile sunt exprimate cu mai puțini radicali pătratici sau cubici.

:Dacă <math>p=q=0</math> avem rădăcina reală triplă
::<math>t=0.\,</math>
:Dacă <math>p=0</math> și <math>q\ne 0</math> atunci
::<math>u=-\sqrt[3]{q} \text{ and } v = 0</math> și cele 3 rădăcini sunt rădăcinile cubice ale lui <math>-q</math>.
:Dacă <math>p\ne 0</math> și <math>q=0</math>
::<math>u=\sqrt{{p\over 3}} \qquad \mbox{and} \qquad v=-\sqrt{{p\over 3}},</math>
:atunci cele 3 rădăcini sunt:
::<math>t=u+v=0 , \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p} , \qquad t={u\over \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p} ,</math>
:unde
::<math>\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.</math>
:În sfârșit, dacă <math>4p^3+27q^2=0 \text{ and } p\ne 0</math>, există o rădăcină dublă și una simplă, care pot fi exprimate rațional, în funcție de <math>p \text{ and } q </math>, dar această expresie nu poate fi dedusă imediat din formula generală:
::<math> t_1=t_2= -\frac{3q}{2p}\quad \text{and} \quad t_3=\frac{3q}{p}\,.</math>

Pentru a trece de la aceste rădăcini ale lui <math>t</math> în ecuația (2) la formula generală pentru rădăcinile lui <math>x</math> în ecuația (1), scădem <math>\frac{b}{3a}</math> și înlocuim <math> p</math> și <math> q</math> prin expresiile lor în <math>a,b,c,d</math>.

=== Metoda Lagrange ===<!--This section is linked from [[Lagrange resolvents]] and [[Lagrange resolvent]] (singular) -->
În lucrarea sa ''[[Réflexions sur la résolution algébrique des équations]]'', [[Joseph Louis Lagrange]] a introdus o nouă metodă de rezolvare a ecuațiilor de grad mic. Această metodă lucrează bine pentru ecuațiile de gradul 3 și 4, dar Lagrange nu a reușit să o aplice pentru ecuațiile de gradul 5, deoarece aceasta ar implica rezolvarea unei ecuații polinomiale de grad cel puțin 6.
<ref name="efei">
{{citation
|title=Elliptic functions and elliptic integrals
|first1=Viktor
|last1=Prasolov
|first2=Yuri
|last2=Solovyev
|publisher=AMS Bookstore
|year=1997
|isbn=978 0 82180587 9
|url=http://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC
}}, [http://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref><ref>{{citation
|first=Morris
|last=Kline
|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
|publisher=Oxford University Press US
|year=1990
|isbn=978 0 19506136 9
|url=http://books.google.com/?id=aO-v3gvY-I8C
}}, [http://books.google.com/books?id=aO-v3gvY-I8C&printsec=frontcover#PPA597,M1 Algebra in the Eighteenth Century: The Theory of Equations]</ref><ref name="laz">Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in [[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], ''The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp.&nbsp;207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2</ref> Acest lucru este explicat de [[teorema Abel–Ruffini]], care demonstrează că nu există o formulă generală de rezolvare a ecuațiilor polinomiale prin radicali. Mai mult, metodele moderne de rezolvare a unor cazuri particulare ale ecuațiillor de gradul 5 se bazează pe metoda lui Lagrange.<ref name="laz" />

Spre deosebire de metoda lui Cardano, metoda lui Lagrange poate fi aplicată direct la orice ecuație cubică (1) fără a utiliza reducerea la ecuația trinomială (2). Totuși, calculul este mai ușor.

Presupunem că ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub> și ''x''<sub>2</sub> sunt rădăcinile ecuației (1) sau (2), și definim <math>\zeta = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i</math>, astfel încât ''[[zeta|&zeta;]]'' este o rădăcină primitivă de ordin 3 a unității, care satisface relația: <math>\zeta^2+\zeta+1=0</math>. Notăm:
:<math>s_0 = x_0 + x_1 + x_2,\,</math>
:<math>s_1 = x_0 + \zeta x_1 + \zeta^2 x_2,\,</math>
:<math>s_2 = x_0 + \zeta^2 x_1 + \zeta x_2.\,</math>

Aceasta este transformarea Fourier discretă a rădăcinilor: observăm că în timp ce coeficienții polinomului sunt simetrici în rădăcini, în această formulă o ordine a fost aleasă pentru rădăcini, astfel încât acestea nu sunt simetrice. Rădăcinile pot fi apoi recuperate pornind de la formula a treia ''s''<sub>''i''</sub> prin inversarea transformării liniare de mai sus prin intermediul transformatei Fourier inverse discrete, rezultând:

:<math>x_0 = \tfrac13(s_0 + s_1 + s_2),\,</math>
:<math>x_1 = \tfrac13(s_0 + \zeta^2 s_1 + \zeta s_2),\,</math>
:<math>x_2 = \tfrac13(s_0 + \zeta s_1 + \zeta^2 s_2).\,</math>

Polinomul <math>s_0</math> este un polinom simetric elementar, care în acest caz este egal cu<math>-b/a</math> pentru ecuația(1) și zero pentru ecuația(2), deci avem nevoie doar să caut valorile pentru celelalte două.

Polinoamele <math>s_1</math>  și <math>s_2</math> nu sunt simetrice, de unde rezultă că <math>s_0</math> este invariant, în timp ce [[permutare ciclică |permutarea ciclică]] netrivială a rădăcinilor înlocuiește <math>s_1</math> cu <math>\zeta s_1</math> și <math>s_2</math> cu <math>\zeta^2 s_2</math>, sau <math>s_1</math> cu <math>\zeta^2 s_1</math> și <math>s_2</math> cu <math>\zeta s_2</math> (după cum alegem permutarea), în timp ce transpoziția dintre <math>x_1</math> și <math>x_2</math> schimbă între ele expresiile <math>s_1</math> și <math>s_2</math>; alte transpoziții schimbă între ele aceste rădăcini și multiplicitățile lor cu o putere a lui <math>\zeta.</math>

Astfel, <math>s_1^3</math>, <math>s_2^3</math> și <math>s_1 s_2</math> sunt lăsate invariante de permutările ciclice ale rădăcinilor, care le multiplică cu <math>\zeta^3=1</math>. De asemeni, <math>s_1 s_2</math> și <math>s_1^3+s_2^3</math> sunt lăsate invariante de transpoziția dintre <math>x_1</math> și <math>x_2</math>. La fel cum grupul permutărilor <math>S_3</math> al rădăcinilor este generat de aceste permutări, rezultă că <math>s_1^3+s_2^3</math> și <math>s_1 s_2</math> sunt funcții polinomiale simetrice ale rădăcinilor, și astfel pot fi scrise ca polinoame de the funcțiile simetrice elementare și, 
astfel, ca [[funcție rațională]] a coeficienților de ecuației.

Fie <math>s_1^3+s_2^3=A</math> și <math>s_1 s_2=B</math> aceste expresii, care vor fi calculate în continuare.

Știm deja că <math>s_1^3</math> și <math>s_2^3</math> sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul 2
:<math>z^2-Az+B^3 = 0 \,.</math>
Astfel, rezolvarea ecuației poate fi continuată la fel ca în metoda lui Cardano, cu <math>s_1</math> și <math>s_2</math> în locul lui <math>u</math> și <math>v</math>.

==== Calcularea valorilor ''A'' și ''B''====
Notând cu <math>E_1=x_0+x_1+x_2</math>, <math>E_2=x_0x_1+x_1x_2+x_2x_1</math> și <math>E_3=x_0x_1x_2</math>, polinoamele elementare simetrice, avem, știind că <math>\zeta^3=1</math>:
:<math>s_1^3=x_0^3+x_1^3+x_2^3+3\zeta (x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0) +3\zeta^2 (x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2) +6x_0x_1x_2\,. </math>
Expresia pentru <math>s_2^3</math> este aceeași cu <math>\zeta</math> și <math>\zeta^2</math> schimbate între ele. Astfel, utilizând faptul că <math>\zeta^2+\zeta=-1</math> obținem:
:<math>
A=s_1^3+s_2^3=2(x_0^3+x_1^3+x_2^3)-3(x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0+x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2)+12x_0x_1x_2\,,
</math>
și printr-un calcul simplu obținem că 
:<math>
A=s_1^3+s_2^3=2E_1^3-9E_1E_2+27E_3\,.
</math>

Similar, avem: 
:<math>
B=s_1s_2=x_0^2+x_1^2+x_2^2+(\zeta+\zeta^2)(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0)=E_1^2-3E_2\,.
</math>

Atunci, rezolvând ecuația (1) avem: 
:<math>E_1=-b/a</math>, <math>E_2=c/a</math> și <math>E_3=-d/a</math>
În ecuația (2), avem <math>E_1=0</math>, <math>E_2=p</math> și <math>E_3=-q</math> prin urmare:
:<math>A=-27q</math> și <math>B=-3p</math>.

Observăm că în ecuația (2), avem <math>x_0 = \tfrac13(s_1 + s_2)</math> și <math>s_1s_2=-3p</math>, 
iar în metoda lui Cardano am notat cu:

<math>x_0 = u+v</math>

și

<math>uv=-\frac13p\,.</math>

Astfel, făcând abstracție de schimbarea rolurilor variabilelor <math>u</math> și <math>v</math>, avem:
:<math>s_1=3u</math> și <math> s_2=3v</math>.
Altfel spus, în acest caz metodele lui Cardano's și Lagrange conduc la același rezultat, până la un factor de trei variabile auxiliare, principala diferență dintre aceste metode fiind că metoda Lagrange explică de ce apar aceste variabile auxiliare.

=== Metoda trigonometrică și hiperbolică ===<!-- linked from redirect [[Chebyshev cube root]] -->
Atunci când o ecuație cub are trei rădăcini reale, formulele care exprimă aceste rădăcini, prin radicali implică numere complexe. O reprezentare a acestor rădăcini prin [[cosinus]] și [[arccosinus]] evită  utilizarea numerelor complexe. Formulele care urmează sunt adevărate, în general, (cu excepția cazului când ''p'' = 0), dar implică funcțiile cosinus și arccosinus cu argument complex atunci când există doar o singură rădăcină reală.

Pornind de la ecuația (2),

<math>t^3+pt+q=0</math>,

fie

<math>t=u\cos\theta\,.</math>

Ideea este de a alege <math>u</math> pentru a înlocui ecuația (2) cu identitatea:

:<math>4\cos^3\theta-3\cos\theta-\cos(3\theta)=0\,.</math>

De fapt, alegând <math>u=2\sqrt{-\frac{p}{3}}</math> Și împărțind ecuația (2) cu <math>\frac{u^3}{4}</math> obținem 
:<math>4\cos^3\theta-3\cos\theta-\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}=0\,.</math>

Combinând cu identitatea de mai sus, obținem: 
:<math>\cos(3\theta)=\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}</math>
și astfel rădăcinile sunt:<ref name="crc">{{citation
|title=CRC Standard Mathematical Tables
|first=Samuel
|last=Shelbey
|publisher=CRC Press
|year=1975
|isbn=0 87819 622 6
}}</ref> 
:<math>t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-k\frac{2\pi}{3}\right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \,.</math>

Această formulă are loc dacă <math>p<0</math> și argumentul arccosinusului este cuprins între -1 și 1. Ultima condiție este echivalentă cu <math> 4p^3+27q^2\leq 0\,,</math> care implică de asemeni <math>p<0</math>. Astfel, formula de mai sus pentru rădăcini are loc [[dacă și numai dacă]] toate cele 3 rădăcini sunt reale.

Notând cu <math>C(p,q)</math> [[valoare (matematică) |valoarea]] de deasupra pentru ''t''<sub>0</sub> și utilizând inegalitatea <math>-\pi\le \arccos(u) \le \pi</math> pentru un număr real ''u'' astfel încât <math>-1\le u\le 1\,,</math> cele 3 rădăcini pot fi exprimate astfel:
:<math>t_0=C(p,q),\qquad t_2=-C(p,-q), \qquad t_1=-t_0-t_2\,.</math>
Dacă aceste rădăcini sunt reale, avem:
:<math>t_0\ge t_1\ge t_2\,.</math>

Toate aceste formule pot fi direct transformate în formule pentru rădăcinile ecuației cubice generale (1), prin substituția descrisă în secțiunea de reducere la un trinom monic.


Atunci când există o singură rădăcină reală (și ''p''≠0), acesta poate fi reprezentat în mod similar, folosind funcțiile hiperbolice. <ref>These are Formulas (80) and (83) of Weisstein, Eric W. 'Cubic Formula'. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html, rewritten for having a coherent notation.</ref> 
:<math>t_0=-2\frac{|q|}{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right) \quad \text{if } \quad 4p^3+27q^2>0 \text{ and } p<0\,,</math>
:<math>t_0=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\sinh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right) \quad \text{if } \quad p>0\,.</math>

Dacă ''p''≠0 și inegalitățile din dreapta nu sunt satisfăcute, formulele rămân valide, dar implică numere complexe.

Atunci când <math> p=\pm 3</math>, valorile de mai sus ale lui <math>t_0</math> sunt uneori numite '''rădăcina cubică Cebîșev.'''<ref>Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover (1965), chap. 22 p. 773</ref> Mai precis, aceste valori implică funcțiile cosinus și cosinus hiperbolic, atunci când <math> p=-3</math>, aceeași [[funcție analitică]] notată <math>C_{\frac13}(q)</math>, care este tocmai rădăcina cubică Cebîșev.

Această valoare implică sinusul hiperbolic, notat și cu <math>S_{\frac13}(q),</math> dacă <math> p=3</math>.

=== Factorizare ===
Dacă ''r'' este orice rădăcină a lui (1), atunci putem factoriza utilizând ''r'' pentru a obține
:<math>\left (x-r\right )\left (ax^2+(b+ar)x+c+br+ar^2 \right ) = ax^3+bx^2+cx+d\,.</math>

Prin urmare, dacă știm o rădăcină, le putem găsi pe celelalte două rezolvând o ecuație de gradul 2, obținând:
:<math> \frac{-b-ra \pm \sqrt{b^2-4ac-2abr-3a^2r^2}}{2a} </math>
pentru valorile acestora.

===Relațiile lui Viète===

*<math> S_1=x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a} </math>
*<math> S_2=x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=\frac{c}{a} </math>
*<math> S_3=x_1\cdot x_2\cdot x_3=\frac{-d}{a} </math>

===Relații între rădăcini și coeficienți===
*<math> \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2 \cdot x_3}{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}+ \frac{x_1 \cdot x_3}{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}+\frac{x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}=\frac{x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3}{x_1\cdot x_2\cdot x_3} =\frac{S_2}{S_3}</math>
*<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2= (x_1+x_2+x_3)^2-2\cdot(x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3)=S_1^2-2S_2 </math>
*<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3= -\frac{b}{a}\cdot (x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac{c}{a}\cdot(x_1+x_2+x_3)-\frac{3d}{a}=S_1(S_1^2-2S_2)-S_2\cdot S_1+3\cdot S_3=
S_1^3-2\cdot S_1\cdot S_2- S_1 \cdot S_2+3\cdot S_3=S_1^3-3\cdot S_1\cdot S_2 +3S_3 </math>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{Citation
 |first= W. S.
 |last= Anglin
 |first2= Joachim
 |last2= Lambek
 |title= The Heritage of Thales
 |year= 1995
 |chapter= Mathematics in the Renaissance
 |pages= 125&ndash;131
 |publisher= Springers
 |url=http://books.google.com/?id=mZfXHRgJpmQC&pg=PA125&lpg=PA125&dq=%22mathematics+in+the+renaissance%22+heritage+thales&q
 |isbn= 978-0387945446
 }} Ch. 24.
* {{Citation
 |first= Lucye
 |last= Guilbeau
 |year= 1930
 |title= The History of the Solution of the Cubic Equation
 |journal= Mathematics News Letter
 |volume= 5
 |issue= 4
 |pages= 8&ndash;12
 |issn=
 |doi=10.2307/3027812
 |url= http://jstor.org/stable/3027812}}
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}
* {{Citation
 |first= R. W. D.
 |last= Nickalls
 |date= November 1993
 |title= A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed
 |url= http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
 |journal= The Mathematical Gazette
 |volume= 77
 |issue= 480
 |pages= 354&ndash;359
 |issn= 0025-5572
 |doi=10.2307/3619777
 |jstor= 3619777 }}
* Henriquez, G., "The graphical interpretation of the complex roots of cubic equations," ''[[American Mathematical Monthly]]'' 42, June–July 1935, 383-384.
* Dunnett, R., "Newton-Raphson and the cubic," ''Mathematical Gazette'' 78, November 1994, 347-348.
* Dence, T., "Cubics, chaos and Newton's method," ''Mathematical Gazette'' 81, November 1997, 403-408.
* Holmes, G. C., "The use of hyperbolic cosines in solving cubic polynomials," ''Mathematical Gazette'' 86, November 2002, 473-477.
* Nickalls, R. W. D., "Viète, Descartes and the cubic equation," ''Mathematical Gazette'' 90, July 2006, 203-208.
* Mitchell, D. W., "Solving cubics by solving triangles," ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 514-516.
* Zucker, I. J., "The cubic equation&mdash;A new look at the irreducible case," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 264-268.
* Rechtschaffen, E., "Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 268-276.
* Mitchell, D. W., "Powers of <math>\phi</math> as roots of cubics," ''Mathematical Gazette'' 93, November 2009.

== Vezi și ==
* [[Casus irreducibilis]]
* [[Ecuație polinomială#Ecuația de gradul întâi|Ecuația algebrică de gradul întâi]]
* [[Ecuație algebrică de gradul al doilea]]
* [[Ecuație algebrică de gradul al patrulea]]
* [[Ecuație de gradul al cincilea|Ecuație algebrică de gradul al cincilea]]
* [[Funcții Spline]]
* [[Formulele lui Viete]]

== Legături externe ==
{{commonscat|Cubic polynomials}}
* [http://home.pipeline.com/~hbaker1/sigplannotices/sigcol07.pdf Solving a Cubic by means of Moebius transforms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110610175951/http://home.pipeline.com/~hbaker1/sigplannotices/sigcol07.pdf |date=2011-06-10 }}
* [http://home.pipeline.com/~hbaker1/cubic3realroots.htm Interesting derivation of trigonometric cubic solution with 3 real roots] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110610180030/http://home.pipeline.com/~hbaker1/cubic3realroots.htm |date=2011-06-10 }}
* [http://www.freewebs.com/brianjs/ultimateequationsolver.htm Calculator for solving Cubics (also solves Quartics and Quadratics)]
* [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Tartaglia's work (and poetry) on the solution of the Cubic Equation]at
* [http://www.akiti.ca/Quad3Deg.html Cubic Equation Solver].
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html Quadratic, cubic and quartic equations] on [[MacTutor archive]].
* {{planetmath reference|id=1407|title=Cubic Formula}}
* [http://www25.brinkster.com/denshade/cardano.html Cardano solution calculator as java applet] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090108185213/http://www25.brinkster.com/denshade/cardano.html |date=2009-01-08 }} at some local site. Only takes natural coefficients.
* [http://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html Graphic explorer for cubic functions] With interactive animation, slider controls for coefficients
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/03nle/mws_gen_nle_bck_exactcubic.pdf On Solution of Cubic Equations]  at Holistic Numerical Methods Institute
* [http://arxiv.org/abs/math.HO/0310449 Dave Auckly, Solving the quartic with a pencil] American Math Monthly 114:1 (2007) 29—39
* [http://demonstrations.wolfram.com/CubicEquation/ "Cubic Equation"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100216182125/http://demonstrations.wolfram.com/CubicEquation/ |date=2010-02-16 }} by [[Eric W. Weisstein]], [[The Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/affinecubic.html The affine equivalence of cubic polynomials] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110718201453/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/affinecubic.html |date=2011-07-18 }} at [http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090321024112/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm |date=2009-03-21 }}

{{Polinoame}}

[[Categorie:Funcții algebrice]]
[[Categorie:Funcții polinomiale]]