Vizualizare sursă pentru „Funcție algebrică”

În [[matematică]], o '''funcție algebrică''' este o [[funcție]] care poate fi definită ca [[rădăcină (matematică)| rădăcină]] a unei [[ecuație polinomială |ecuații polinomiale]]. Destul de des funcțiile algebrice sunt [[expresie algebrică |expresii algebrice]] care au un număr finit de termeni, care implică doar [[operație algebrică |operații algebrice]]: [[adunare]]a, [[scădere]]a, [[înmulțire (matematică)|înmulțirea]], [[împărțire (matematică) |împărțirea]], ridicarea la o [[putere (matematică)|putere]] [[număr întreg|întreagă]] și extragerea de [[radical (matematică)|radicali]] (putere fracționară).<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|last=|first=|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols: Common Operators|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/#Common_Operators|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-08-27|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|title=algebraic operation {{!}} Encyclopedia.com|url=https://www.encyclopedia.com/environment/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/algebraic-operation|access-date=2020-08-27|website=www.encyclopedia.com}}</ref> Exemple de astfel de funcții sunt:
* <math>f(x) = 1/x</math>
* <math>f(x) = \sqrt{x}</math>
* <math>f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^3}}{x^{3/7} - \sqrt{7} x^{1/3}}</math>

Totuși, unele funcții algebrice nu pot fi exprimate prin astfel de expresii finite (aceasta este [[teorema Abel-Ruffini]]). Acesta este cazul, de exemplu, pentru [[radical Bring|radicalii Bring]], care este funcția implicit definită de
: <math>f(x)^5+f(x)+x = 0</math>.

Mai exact, o funcție algebrică de grad {{mvar|n}} într-o variabilă {{mvar|x}} este o funcție <math>y = f (x),</math> care este [[Funcție continuă |continuă]] pe [[domeniu (matematică)|domeniul său]] și satisface o [[ecuație polinomială]]
: <math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0</math>
unde coeficienții <math>a_i(x)</math> sunt [[număr întreg|întregi]]. Se poate arăta că se obține aceeași clasă de funcții dacă pentru coeficienții <math>a_i(x)</math> sunt acceptate [[număr algebric|numere algebrice]]. Dacă în coeficienți apar [[număr transcendent |numere transcendente]], funcția nu este, în general, algebrică, dar este ''algebrică în domeniul'' acestor coeficienți.

Valoarea unei funcții algebrice pentru un [[argumentul unei funcții|argument]] [[număr rațional |rațional]] și, mai general, un argument algebric, este întotdeauna un număr algebric. Uneori, sunt luați în considerare coeficienții <math>a_i(x)</math> polinomiali pe un [[inel (matematică) |inel] {{mvar|R}} și se vorbește despre ''funcții algebrice pe {{mvar|R}}''.

O funcție care nu este algebrică se numește [[funcție transcendentă]], așa cum este de exemplu cazul funcțiilor <math>\exp x, \tan x, \ln x, \Gamma(x)</math>. O compunere a funcțiilor transcendente poate da o funcție algebrică: <math>f(x)=\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}</math>.

O ecuație polinomială de gradul al {{mvar|n}}-lea are până la {{mvar|n}} rădăcini [[număr real|reale]] (și exact {{mvar|n}} rădăcini pe un [[corp algebric închis]], cum ar fi [[număr complex |numerele complexe]]). O ecuație polinomială nu definește implicit o singură funcție, ci până la {{mvar|n}} funcții. De exemplu ecuația [[cerc trigonometric|cercului unitate]]:
:<math>y^2+x^2=1.</math>
Acesta determină {{mvar|y}} până la un semn:
:<math>y=\pm \sqrt{1-x^2}.</math>

O '''funcție algebrică cu ''m'' variabile''' este definită similar, ca o funcție <math>y=f(x_1,\dots ,x_m)</math> Care rezolvă o ecuație polinomială cu ''m''&thinsp;+&thinsp;1 variabile:
:<math>p(y,x_1,x_2,\dots,x_m) = 0.</math>

În mod normal se presupune că ''p'' trebuie să fie un [[polinom ireductibil]]. Existența unei funcții algebrice este apoi garantată de [[teorema funcției implicite]].

În mod formal o funcție algebrică cu {{mvar|m}} variabile pe domeniul ''K'' este un element al [[închidere algebrică |închiderii algebrice]] a domeniului [[funcție rațională |funcțiilor raționale]] ''K''(''x''<sub>1</sub>,&thinsp;...,&thinsp;''x''<sub>''m''</sub>).

== Funcții algebrice cu o variabilă ==
=== Generalități  ===
Definiția informală a unei funcții algebrice oferă o serie de informații despre proprietățile lor. Intuitiv, o funcție algebrică este o funcție formată din operații algebrice obișnuite: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ceea ce este o simplificare excesivă, deoarece conform [[Teorema fundamentală a teoriei lui Galois |teoremei fundamentale a teoriei lui Galois]], funcțiile algebrice nu este obligatoriu să fie exprimabile prin radicali.

În primul rând trebuie reținut că orice [[funcție polinomială]] <math>y = p(x)</math> este o funcție algebrică, deoarece este soluția ''y'' a ecuației
:<math> y-p(x) = 0.\,</math>

În general, orice [[funcție rațională]] <math>y=\frac{p(x)}{q(x)}</math> este algebrică, fiind soluția ecuației
:<math>q(x)y-p(x)=0.</math>

Mai mult, a {{mvar|n}}-a rădăcină a oricărui polinom <math>y=\sqrt[n]{p(x)}</math> este o funcție algebrică, deoarece rezolvă ecuația
:<math>y^n-p(x)=0.</math>

[[Funcție inversă|Inversa]] unei funcții algebrice este și ea o funcție algebrică. Presupunând că ''y'' este soluția ecuației
:<math>a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0,</math>
pentru orice valoare a lui ''x'', atunci ''x'' este și soluția acestei ecuații pentru orice valoare a lui ''y''. Interschimbând rolurile lui ''x'' și ''y'' și grupând termenii se obține
:<math>b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.</math>

Exprimând ''x'' în funcție de ''y'' se obține funcția inversă, algebrică și ea.

Totuși, nu fiecare funcție are inversă. De exemplu ''y''&thinsp;=&thinsp;''x''<sup>2</sup> nu trece [[testul liniei orizontale]]: nu este „unu la unu”. Inversa este „funcția” algebrică <math>x = \pm\sqrt{y}</math>. O altă modalitate de a înțelege acest lucru este că mulțimea ramurilor ecuației polinomiale care definesc funcția algebrică este graficul unei [[curbă algebrică |curbe algebrice]].

=== Rolul numerelor complexe ===
Din perspectivă algebrică, numerele complexe intră destul de natural în studiul funcțiilor algebrice. În primul rând, prin [[teorema fundamentală a algebrei]], numerele complexe sunt un corp algebric închis. Prin urmare, orice relație polinomială <math>p(y, x)=0</math> este garantat să aibă cel puțin o soluție (și, în general, un număr de soluții care nu depășesc gradul lui ''p'' în ''y'') pentru ''y'' în fiecare punct ''x'', cu condiția să se permită lui ''y'' să nu numai valori reale, ci și complexe. Astfel, problemele legate de domeniul unei funcții algebrice nu sunt importante.

[[Imagine:y^3-xy+1=0.png|thumb|Graficul cu trei ramuri al funcției algebrice ''y'', unde <math>y^3-xy+1=0</math> în domeniul 3/2<sup>2/3</sup>&nbsp;< ''x''&nbsp;< 50]]
Mai mult, chiar dacă interesul este pentru funcțiile algebrice reale, există cazuri în care funcția nu poate fi exprimată doar prin adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și radicali fără a recurge la numere complexe (v. ''[[casus irreducibilis]]''). De exemplu, fie funcția algebrică determinată de ecuația
:<math>y^3-xy+1=0.\,</math>

Rezolvând, se obține
:<math>y=-\frac{2x}{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}+\frac{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}{6}.</math>

Pentru <math>x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> rădăcina pătrată este reală, astfel că rădăcina cubică este [[expresie bine definită|bine definită]], fiind o rădăcina reală unică. Însă pentru <math>x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> rădăcina pătrată nu este reală. Astfel, rădăcina cubică trebuie aleasă dintre trei numere care nu sunt reale. Dacă aceleași alegeri se fac în cei doi termeni ai formulei, cele trei opțiuni pentru rădăcina cubică oferă cele trei ramuri afișate, în imaginea însoțitoare.

Se poate demonstra că nu există nicio modalitate de a exprima a {{mvar|n}}-a rădăcină a acestei funcții folosind numai numere reale, chiar dacă funcția rezultată este reală în domeniul graficului prezentat.

La un nivel teoretic mai înalt, utilizarea numerelor complexe permite folosirea tehnicilor puternice ale [[analiză complexă |analizei complexe]] pentru a discuta funcțiile algebrice. În special [[principiul argumentului]] poate fi utilizat pentru a arăta că orice funcție algebrică este de fapt o [[funcție analitică]], cel puțin în sensul cu valori multiple.

Formal, fie ''p''(''x'',&thinsp;''y'') un polinom complex de variabilele complexe ''x'' și ''y''. Se presupune că ''x''<sub>0</sub>&thinsp;∈&thinsp;'''C''' este astfel încât polinomul ''p''(''x''<sub>0</sub>,&thinsp;''y'') în ''y'' are ''n'' soluții distincte. Se va arăta că funcția algebrică este analitică în [[vecinătate (matematică)|vecinătatea]] lui ''x''<sub>0</sub>. Se alege un sistem de ''n'' discuri care nu se suprapun Δ<sub>''i''</sub> conținând fiecare dintre aceste soluții. Apoi prin principiul argumentului
:<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.</math>

Datorită continuității, aceasta este valabil pentru orice ''x'' în vecinătatea lui ''x''<sub>0</sub>. În particular, ''p''(''x'',&thinsp;''y'') are o singură rădăcină în Δ<sub>''i''</sub>, dată de [[teorema reziduului]]:
:<math>f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy</math>
care este o funcție analitică.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book|authorlink=Lars Ahlfors|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|publisher = McGraw Hill|year = 1979}}
* {{en icon}} {{cite book|author = Bartel Leendert van der Waerden | title = Modern Algebra, Volume II|publisher = Springer|year=1931}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Algebraic functions|Funcții algebrice}}
* {{en icon}} [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebraic_function Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math]
* {{en icon}} {{MathWorld |title=Algebraic Function |id=AlgebraicFunction}}
* {{en icon}} {{PlanetMath|urlname=AlgebraicFunction|title=Algebraic Function}}
* {{en icon}} [http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/algebraic_function.html Definition of "Algebraic function"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201026100400/http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/algebraic_function.html |date=2020-10-26 }} in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science

{{Portal|Matematică}}
{{Informații bibliotecare}}

[[Categorie:Funcții analitice]]
[[Categorie:Funcții speciale]]