Vizualizare sursă pentru „Funcție absolut integrabilă”

În [[matematică]], o '''funcție absolut integrabilă'''<ref name=FI><!-- Prof.dr. -->Florin Iacob, [https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/ID_05-06/Serii%20Fourier-trigonometrice.pdf ''Matematică (unități de curs)''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210602215354/https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/ID_05-06/Serii%20Fourier-trigonometrice.pdf |date=2021-06-02 }} (curs, p. 480), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2021-05-30</ref><ref name=DR><!-- Conf.dr. -->Daniela Roșu [http://math.etc.tuiasi.ro:81/rosu/didactic/MS%20II_Slides_Transformarea%20Fourier.pdf ''Transformarea Fouier''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210602215606/http://math.etc.tuiasi.ro:81/rosu/didactic/MS%20II_Slides_Transformarea%20Fourier.pdf |date=2021-06-02 }}, [[Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași]], accesat 2021-06-01</ref> este o [[funcție]] a cărei [[valoare absolută]] este [[integrală Lebesgue|integrabilă]], ceea ce înseamnă că [[integrală|integrala]] valorii absolute pe întregul [[Domeniu de definiție |domeniu]] este finită.

== Definiție ==
Funcția <math>f\,:\,\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> se numește ''absolut integrabilă'' dacă integrala <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> este convergentă.<ref name=FI/><ref name=DR/>

Pentru o funcție reală, deoarece
:<math>\int|f(x)|dx=\int f^+(x)dx+\int f^-(x)dx</math>
unde
:<math>f^+(x) = \max (f(x),0), \ \ \  f^-(x) = \max(-f(x),0),</math>
ambele <math>\int f^+(x)dx</math> și <math>\int f^-(x)dx</math> trebuie să fie finite la integrarea Lebesgue. Aceasta este exact cerința ca orice [[funcție măsurabilă]] ''f'' să fie considerată integrabilă, iar atunci integrala este <math>\int f^+(x)dx - \int f^-(x)dx</math>, astfel încât, de fapt, „absolut integrabil” înseamnă același lucru cu „integrabil Lebesgue” pentru funcții măsurabile.

Același lucru este valabil și pentru o funcție complexă. Definind:
:<math>f^+(x) = \max(\Re f(x),0)</math>
:<math>f^-(x) = \max(-\Re f(x),0)</math>
:<math>f^{+i}(x) = \max(\Im f(x),0)</math>
:<math>f^{-i}(x) = \max(-\Im f(x),0)</math>
unde <math>\Re f(x)</math> și <math>\Im f(x)</math> sunt [[număr complex|partea reală, respectiv cea imaginară]] a <math>f(x)</math>. Atunci
:<math>|f(x)| \le f^+(x) + f^-(x) + f^{+i}(x) + f^{-i}(x) \le \sqrt{2}\,|f(x)|</math>
deci
:<math>\int|f(x)|dx \le \int f^+(x)dx + \int f^-(x)dx + \int f^{+i}(x)dx + \int f^{-i}(x)dx \le \sqrt{2}\int|f(x)|dx</math>

Aceasta arată că suma celor patru integrale (la mijloc) este finită [[dacă și numai dacă]] integrala valorii absolute este finită, iar funcția este integrabilă Lebesgue numai dacă toate cele patru integrale sunt finite. Deci, având o integrală finită a valorii absolute este echivalent cu condițiile pentru ca funcția să fie „integrabilă Lebesgue”.

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
*{{en icon}} {{Springer|title= Absolutely integrable function|id=29892}}

[[Categorie:Analiză_matematică]]