Vizualizare sursă pentru „Funcție”

{{altesensuri|Funcție (dezambiguizare)}}
{{Redirect|F(x)|formația muzicală cu acest nume|F(x) (formație)}}
[[Fișier:Aplicación.svg|thumb|Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul <math>\{ 1, 2, 3, 4 \}</math> și codomeniul <math> \{ a, b, c, d \} </math>]]
În [[matematică]], o '''funcție''' este o [[relație binară|relație]] care asociază fiecărui element dintr-o [[mulțime]] ('''[[domeniu (matematică)|domeniul]]''') un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime ('''[[codomeniu]]l'''). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate [[știință|științele]] exacte.

== Definiție formală ==

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G [[produs cartezian|produsul lor cartezian]]: G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o '''funcție''' dacă îndeplinește următoarele două condiții:

# Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
# Pentru oricare două perechi (x<sub>1</sub> , y<sub>1</sub>) și (x<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>) din F, y<sub>1</sub> = y<sub>2</sub>.
Funcțiile pot fi definite astfel:
* Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
* Printr-o [[expresie algebrică]] (sau mai multe expresii algebrice diferite pe porțiuni ale domeniului) : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

===Imaginea funcției===
{{Articol principal|Imaginea unei funcții}}
Imaginea unei funcții <math>f:A \to B</math> este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile <math>f(x), \forall x \in A</math>. Se notează Im<math>f</math> sau <math>f(A)</math>.
::Im<math>f= \big\{ f(x)| x \in A \big\} </math> sau
::Im<math>f= \big\{ y \in B| \exists x \in A, f(x)=y \big\} </math>

===Graficul funcției===
{{Articol principal|Graficul unei funcții}}
Graficul funcției <math>f:A \to B</math> G<sub>f</sub>=<math> \big\{ (x,f(x)) | x \in A \big\} </math>

==Proprietăți==
===Injectivitate===
{{multiple image
| align     = right
| direction = vertical
| header    = 
| width     = 150

| image1    = Injection.svg
| alt1      = 
| caption1  = Injecție

| image2    = Surjection.svg
| alt2      = 
| caption2  = Surjecție

| image3    = Bijection.svg
| alt3      = 
| caption3  = Bijecție
}}
{{Articol principal|Funcție injectivă}}
O funcție f:A→B se numește '''„[[funcție injectivă|injectivă]]”''' sau '''„injecție”''' dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. 
Definiții:
:#<math>\forall x,y \in A, x \ne y</math> atunci f(x)≠f(y) sau
:#<math>\forall x,y \in A,</math> dacă f(x)=f(y) atunci x=y

'''Interpretare geometrică''': O funcție ''f'' este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O<sub>x</sub> intersectează graficul funcției ''f'' în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția <math>f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x)=x^3</math>.

Deoarece pentru <math>\forall x,y \in \mathbb{N}</math> x≠y avem x<sup>3</sup> ≠ y<sup>3</sup>, înseamnă că funcția ''f'' este injectivă.

===Surjectivitate===
O funcție f:A→B se numește '''„[[funcție surjectivă|surjectivă]]”''' sau '''„surjecție”''' dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, <math>\forall y \in B</math>, atunci <math>\exists x \in A</math> astfel încât f(x)=y.

'''Interpretare geometrică''': O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la O<sub>x</sub> printr-un punct <math>y \in B</math> de pe O<sub>y</sub> intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}</math>, [[Modul|'''f(x)={{!}}x{{!}}''']], atunci <math>\forall y \in \mathbb{N}</math> <math> y, -y \in \mathbb{Z}</math> astfel încât f(y)=f(-y).

===Bijectivitate===
O funcție f:A→B se numește '''„[[funcție bijectivă|bijectivă]]”''' sau '''„bijecție”''' dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă <math>\forall y \in B</math>, <math>\exists x \in A</math> unic astfel încât f(x)=y. 

'''Interpretare geometrică''': O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O<sub>x</sub> printr-un punct <math>y \in B</math> de pe O<sub>y</sub> intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}</math>, f(x)=x+3, atunci <math>\forall y \in \mathbb{Z} </math> <math> \exists x \in \mathbb{Z}</math> astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

===Inversa unei funcții===
O funcție <math>f:A \to B</math> se numește '''„inversabilă”''' dacă și numai dacă există funcția <math>g:B \to A</math> astfel încât <math>f \circ g = g \circ f = \mathbf{1}_A</math>. Atunci <math>g:B \to A</math> se numește '''„inversa”''' funcției <math>f</math> și se notează <math>f^{-1}</math>. Funcția <math>f</math> este inversabilă dacă și numai dacă este [[#bijectivitate|bijectivă]].

* Inversa unei funcții este unică și [[funcție simetrică |simetrică]] față de funcție.
* [[Graficul unei funcții|Graficele funcțiilor]] numerice <math>f</math> și <math>f^{-1}</math> sunt simetrice față de prima [[bisectoare]], [[dreaptă|dreapta]] cu [[ecuație|ecuația]] <math>y=x</math>.

===Paritatea funcției===
{{multiple image
| footer = Funcții pare și impare
| width = 
| image1 = Function x^2.svg
| width1 = 180
| alt1 = 
| caption1 = Funcția pară f(x)=x<sup>2</sup>
| image2 = Function x^3.svg
| width2 = 182
| alt2 = 
| caption2 = Funcția impară f(x)=x<sup>3</sup>
}}

O funcție cu [[Numere reale|valori reale]], <math>f:A \to B</math> unde <math>B \subseteq \mathbb{R}</math>, se numește „pară” dacă <math>\forall x \in A, f(x)=f(-x)</math>. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa ''Oy''.

O funcție <math>f:A \to B</math> cu valori reale se numește „impară” dacă 
#<math>\forall x \in A, f(x)=-f(-x)</math> sau
#<math>\forall x \in A, f(x)+f(-x)=0</math>.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

====Proprietăți====
* Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
* Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
* Orice [[multiplu]] al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
* [[Produs]]ul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
* Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
* [[Raport]]ul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
* Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

===Monotonie===
{{Main|Funcție monotonă}}

==Legături externe==
* [http://functions.wolfram.com/ The Wolfram Functions Site] gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
* [http://www.shodor.org/interactivate/activities/FunctionFlyer/ Shodor: Function Flyer], interactive Java applet for graphing and exploring functions.
* [http://math.hws.edu/xFunctions/ xFunctions], a Java applet for exploring functions graphically.
* [http://rechneronline.de/function-graphs/ Draw Function Graphs], online drawing program for mathematical functions.
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/FunctionMain.shtml Functions] from [[cut-the-knot]].
* [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Function at ProvenMath].
* [http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101130023249/http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php |date=2010-11-30 }}.
* [http://www.functiongame.com/ FunctionGame], an educational interactive function guessing games.

{{Format:Matematică}}
[[Categorie:Funcții matematice| ]]
[[Categorie:Teoria mulțimilor]]