Vizualizare sursă pentru „Formulele lui Frenet”

În [[geometrie diferențială|geometria diferențială]], '''formulele lui Frenet''' descriu proprietățile [[cinematică|cinematice]] ale unei particule ce se deplasează pe o [[curbă]] continuă și diferențială într-un [[spațiu euclidian]] [[spațiu tridimensional|tridimensional]] <math> \mathbb R^3 </math> sau chiar proprietățile curbei.
Mai exact, aceste formule stabilesc corelațiile dintre [[versor]]ii [[tangentă (geometrie)|tangent]], normal și binormal de pe un punct al curbei.

Formulele au fost descoperite independent de către [[Jean Frédéric Frenet]] în 1847 și de către {{ill|en|Joseph Alfred Serret}} în 1851, de aceea mai sunt cunoscute și ca '''formulele Frenet-Serret'''.

Fie o curbă <math>\Gamma \!</math> definită prin vectorul de poziție <math>\vec r \!</math>.

Dacă <math>\vec \tau \!</math> este versorul tangentei și cu <math>\vec n \!</math> versorul lui <math>\overrightarrow r'' (s) \!</math>, atunci

'''(1)''' &nbsp; &nbsp; <math>\vec r''(s) \perp \vec r' (s).</math>

Rezultă:

'''(2)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec \tau}{ds}= K \vec n</math>,

unde K este funcție de '''s''' care se va preciza.

'''Definiția 1''': Se numește '''normala principală''' la curba <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' dreapta care trece prin '''M''' și care are ca vector director versorul <math>\vec n \!</math> (versorul normalei principale).


'''Definiția 2''': Se numește ''curbura curbei'' <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' lungimea vectorului <math> \frac {d \vec \tau}{ds}.</math>

'''Definiția 3''': Se numește ''versorul binormalei'' la curba <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' versorul <math>\vec b \!</math> definit de:

::::<math>\vec b = \vec \tau \times \vec n</math>

și se numește ''binormala'' la curba <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' dreapta care trece prin '''M''' și are ca vector director versorul <math>\vec b \!</math>.


'''Definiția 4''': Se numește ''reperul lui Frenet'' la curba  <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' reperul <math>\{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \!</math>.

Se calculează derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei <math>\Gamma \!</math>. Derivata lui <math>\vec \tau \!</math> este:

'''(3)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n</math>

Derivata lui <math>\vec b \!</math> este un vector perpendicular pe <math>\vec b \!</math> și:

'''(4)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = </math>
<math>= K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds}.</math>

deci <math>\frac {d \vec b}{ds} \!</math> este perpendicular și pe <math>\vec \tau</math>.
Prin urmare <math>\frac {d \vec b}{ds} \!</math> este coliniar cu <math>\vec n \!</math> (a doua formulă a lui Frenet):

'''(5)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n.</math>

'''Definiția 5''': Se numește ''[[torsiunea unei curbe|torsiunea curbei]]'' <math>\Gamma \!</math> în punctul '''M''' funcția '''T''' de '''s''' .

Se calculează <math>\frac {d \vec n}{ds} \!</math>.
Deoarece

'''(6)''' &nbsp; &nbsp; <math>\vec n = \vec b \times \vec \tau \!</math>

avem:

'''(7)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}=</math>
<math>= - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau</math>.

Se obține cea de-a treia formulă a lui Frenet:

'''(8)''' &nbsp; &nbsp; <math>\frac {d \vec n}{ds} = - K \vec \tau + T \vec b</math>

Deci cele trei formule ale lui Frenet sunt următoarele:

::<math> 
\begin{matrix}
\frac{d\vec{\tau}}{ds} &=& & \kappa \vec{n} & \\
&&&&\\
\frac{d\vec{n}}{ds} &=& - \kappa \vec{\tau} & &+\, \tau \vec{b}\\
&&&&\\
\frac{d\vec{b}}{ds} &=& & -\tau \vec{n} &
\end{matrix}
</math>

Cele trei formule ale lui Frenet se pot reține mai ușor sub forma unui tabel:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-
! &nbsp; || <math>\vec \tau \!</math> || <math>\vec n \!</math> || <math>\vec b \!</math> 
|-
| <math>\frac {d \vec \tau}{ds}</math> || '''0''' || '''K''' || '''0'''
|-
| <math>\frac {d \vec n}{ds}</math> || '''-K''' || '''0''' || '''T'''
|-
|<math>\frac {d \vec b}{ds}</math> || '''0''' || '''-T''' || '''0'''
|}

[[Categorie:Geometrie diferențială]]
[[Categorie:Curbe]]