Vizualizare sursă pentru „Formula lui Heron”


[[Fișier:Triangle with notations 2.svg|thumb|Un triunghi de laturi a, b și c.]]
[[Fișier:Herontriangle2greek.svg|miniatura|Triunghiul lui Heron]]
În [[geometrie]], '''formula lui Heron''', descoperită de [[Heron din Alexandria]], este o [[expresie matematică]] prin care se poate calcula [[suprafață|suprafața]] unui [[triunghi]] oarecare fiind date [[Lungime|lungimile]] celor trei laturi.

Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile ''a'', ''b'' și ''c'', atunci suprafața sa este dată de formula:

<div style="text-align:center"><math> A_{ABC} =\sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}</math></div> 

unde <math> \scriptstyle p= \frac{(a+b+c)}{2}</math> reprezintă [[semiperimetru]]l triunghiului dat.

Poate fi [[demonstrație matematică|demonstrată]] trigonometric sau cu [[teorema lui Pitagora]].

Poate fi extinsă în [[trigonometrie sferică]]. Extinderea a fost efectuată de [[Simon Antoine Jean L'Huilier]].

== Demonstrații ==
=== Demonstrația lui Heron ===

Demonstrația lui Heron se bazează pe cinci propoziții geometrice<ref name="pdf">{{fr}} Héron d’Alexandrie : démonstration de la formule d'Héron {{lire en ligne|lien=http://www.thedudeminds.net/math2/heron2.pdf}}</ref>.

=== Demonstrație algebrică utilizând teorema lui Pitagora ===
[[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|Triunghi în care înălțimea {{mvar|h}} segmentează baza {{mvar|c}} în {{math|''d'' + (''c'' − ''d'')}}]]

Următoarea demonstrație este adaptată după Raifaizen.<ref>{{Cite journal
  | last = Raifaizen
  | first = Claude H.
  | title = A Simpler Proof of Heron's Formula
  | journal = Mathematics Magazine
  | volume = 44
  | number = 1
  | pages = 27–28
  | year = 1971
| doi = 10.1080/0025570X.1971.11976093
 }}</ref>
Prin teorema lui Pitagora se poate scrie egalitatea <math>b^2 = h^2 + d^2</math> și <math>a^2 = h^2 + (c - d)^2</math> după figura din dreapta. Prin scădere rezultă <math>a^2 - b^2 = c^2 - 2cd.</math> Această egalitate permite exprimarea lui {{tmath|d}} in funcție de lungimea laturilor triunghiului :
: <math>d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.</math>
Înălțimea triunghiului este <math>h^2 = b^2 - d^2.</math> Substituind {{tmath|d}} cu formula de mai sus și utilizând identitatea [[diferență a două pătrate|diferenței de pătrate]] se obține 
:<math>
\begin{align}
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
     &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
     &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
     &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
     &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
     &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s -c )}{c^2}.
\end{align}
</math>

Acest rezultat utilizat mai departe în expresia ariei unui triunghi pe baza unei înălțimi dă:
: <math>
\begin{align}
 A &= \frac{ch}{2} \\
   &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
   &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
\end{align}
</math>

== Note ==
<references />

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Geometria triunghiului]]
[[Categorie:Suprafață]]
[[Categorie:Teoreme de geometrie|Heron]]
[[Categorie:Formule|Heron]]