Vizualizare sursă pentru „Formulările lagrangiană și euleriană ale câmpului de curgere”

[[Fișier:Lagrangian vs Eulerian.webm|thumb|upright=1.3|Abordarea lagrangiană vs. euleriană]]
[[Fișier:Eulerian versus Lagrangian perspectives illustrated.svg|thumb|upright=1.3|Perspectiva euleriană a [[câmp de viteze |câmpului de viteze]] vs. reprezentarea lagrangiană a {{ill-wd| Q15300737||deformațiilor}}]]
În [[Teoria clasică a câmpurilor |teoriile clasice ale câmpurilor]] '''formularea lagrangiană a câmpului de viteze'''<ref name=DAS><!-- Prof.dr.ing. -->Dan-Andrei Șerban, [https://www.editurapolitehnica.upt.ro/ro/component/virtuemart/carti/mecanica/introducere-%C3%AEn-mecanica-solidului-deformabil-detail ''Introducere în mecanica solidului deformabil''], Timișoara: Editura „Politehnica”, 2019, {{ISBN|978-606-35-0271-2}}, Cuprins</ref> este un mod de a privi [[mișcare]]a [[fluid]]ului în care observatorul urmărește un [[element de fluid]] individual care se deplasează în [[spațiu]] și [[timp]].<ref name="Batchelor">{{en icon}} {{cite book | last = Batchelor | first = G. K. | author-link = George Batchelor | url = https://www.worldcat.org/oclc/847527173 | title = An Introduction to Fluid dynamics | year = 1973 | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-09817-5 | location = Cambridge, U.K. | oclc = 847527173 | pages = 71–73}}</ref><ref name=Lamb>{{en icon}} {{cite book | first = H. | last = Lamb | author-link = Horace Lamb | title = Hydrodynamics | edition = 6th | publisher = Cambridge University Press | year = 1994 | orig-year = 1932 | isbn = 978-0-521-45868-9 | at = §3–§7 and §13–§16}}</ref> Trasarea în timp a poziției unui element individual oferă {{ill-wd| Q112835448||liniile de curent}} ale elementului. Acest lucru poate fi vizualizat ca o [[barcă]] care plutește în derivă pe un [[râu]].

'''Formularea euleriană a câmpului de viteze'''<ref name=DAS/> este un mod de a privi mișcarea fluidului în anumite zone fixe din spațiul prin care [[dinamica fluidelor |curge]] fluidul pe măsură ce trece timpul.<ref name=Batchelor/><ref name=Lamb/> Acest lucru poate fi vizualizat stând pe malul unui râu și urmărind [[apă |apa]] care trece prin zona fixă.

Formulările lagrangiene și euleriene ale câmpului vitezelor sunt uneori desemnate vag drept '''sistemele de referință lagrangian și eulerian'''. Însă atât formularea lagrangiană, cât și cea euleriană a [[câmp de viteze |câmpului de viteze]] pot fi urmărite în sistemul de referință al oricărui observator și în orice [[sistem de coordonate]] utilizat de sistemul de referință ales.

Aceste formulări sunt folosite în [[mecanica fluidelor numerică]], unde simulările „euleriene” folosesc o rețea de discretizare în care nodurile au poziții fixe, în timp ce cele „lagrangiene” se bazează pe noduri care se pot deplasa urmând câmpul de viteze.

== Descriere ==
În ''formularea euleriană'' a unui [[câmp (fizică) |câmp]], acesta este reprezentat ca o [[funcție]] cu [[argumentul unei funcții |argumentele]] poziția '''x''' și timpul ''t''. De exemplu, câmpul de viteze este reprezentat de o funcție
:<math>\mathbf{u}\left(\mathbf{x}, t\right).</math>

Pe de altă parte, în ''formularea lagrangiană'' elementele de fluid individuale sunt urmărite de-a lungul timpului. Elementele de fluid sunt etichetate cu un [[câmp vectorial]] (independent de timp) '''x'''<sub>0</sub>. (Adesea, '''x'''<sub>0</sub> este ales astfel încât este poziția [[centru de masă |centrului de masă]] al elementelor la momentul inițial ''t''<sub>0</sub>. Este ales în acest mod particular pentru a ține seama de posibilele modificări ale formei în timp. Prin urmare, centrul de masă este o parametrizare bună a vitezei de curgere '''u''' a elementului de fluid.)<ref name=Batchelor/> În descrierea lagrangiană, curgerea este descrisă de o funcție
:<math>\mathbf{X}\left(\mathbf{x}_0,t\right),</math>
care dă poziția elementului de fluid etichetat '''x'''<sub>0</sub> la momentul ''t''.

Cele două formulări sunt legate după cum urmează:<ref name=Lamb/>
:<math>\mathbf{u}\left(\mathbf{X}(\mathbf{x}_0,t), t \right) = \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial t} \left(\mathbf{x}_0,t \right),</math>
deoarece ambii membri ai relației descriu viteza elementului de fluid etichetat '''x'''<sub>0</sub> la momentul ''t''.

În sistemul de coordonate ales, '''x'''<sub>0</sub> și '''x''' sunt numite '''coordonate lagrangiene''', respectiv '''coordonate euleriene'''.

== Derivata materială ==
<!-- {{Articol principal|Derivata materială}} -->
Formulările lagrangiene și euleriene ale [[cinematică |cinematicii]] și [[dinamică |dinamicii]] câmpului de viteze sunt legate de {{ill-wd| Q1801562||derivata materială}} (numită și derivată substanțială<ref name=LG><!-- prof.dr.ing. -->Lucian-Gheorghe Gavrilă, [https://cadredidactice.ub.ro/gavrilalucian/files/2011/03/fdtou-curs-07.pdf ''Dinamica fluidelor''] (curs, 2011), [[Universitatea din Bacău]], accesat 2024-05-31</ref> sau derivată convectivă<ref><!-- Lect.dr. --> Nicolae Ion Pometescu, [https://www.editurauniversitaria.ro/storage/publications/rasfoire/YKUq1KhaIpqRKW1f9m3NL1iw5.pdf ''Introducere în teoria instabilităților MHD în plasma de fuziune''], Craiova: Editura Universitaria, 2018, {{ISBN|978-606-14-1445-1}}, p.&nbsp;15</ref>).<ref name=Batchelor/>

Fie câmpul de viteze '''u''' și un câmp generic în formularea euleriană '''F'''('''x''',&nbsp;''t''). Se dorește variația totală a lui '''F''' pentru un anumit element de fluid. Aceasta poate fi calculată din
:<math>\frac{\mathrm{D}\mathbf{F}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} + \left(\mathbf{u}\cdot \nabla \right) \mathbf{F},</math>
unde ∇ este [[operator (matematică) |operatorul]] [[nabla]] pentru '''x''', iar operatorul '''u'''⋅∇ trebuie aplicat fiecărei componente a lui '''F'''. De aici rezultă că variația totală a funcției '''F''' pe măsură ce elementele de fluid se deplasează într-un câmp de viteze descris de formularea sa euleriană '''u''' este egală cu suma variației locale și a modificării convective a '''F'''. Aceasta este o consecință a regulii de [[derivarea funcțiilor compuse |derivare a funcțiilor compuse]], deoarece se derivează funcția '''F'''('''X'''('''x'''<sub>0</sub>, &nbsp;''t''),&nbsp;''t'') în funcție de ''t''.

[[Lege de conservare |Legile de conservare]] pentru o [[unitate de măsură |unitate]] de [[masă]] au o formă lagrangiană, care, împreună cu [[legea conservării masei substanțelor |conservarea masei]], produc conservarea euleriană; altfel, atunci când elementele de fluid pot interschimba o cantitate (cum ar fi [[energie |energia]] sau [[impuls]]ul), există doar legile euleriene de conservare.<ref name="Falkovich">{{en icon}} {{cite book | last = Falkovich | first = Gregory | year = 2011 | title = Fluid Mechanics (A short course for physicists) | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-1-107-00575-4 }}</ref>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book| isbn=978-3-319-59694-5 | last1=Badin | first1=G. | last2=Crisciani | first2=F. | title=Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws | publisher=Springer | year=2018 | page=218 | doi= 10.1007/978-3-319-59695-2| s2cid=125902566 }}
* {{en icon}} {{cite book
 | first1 = Lev | last1 = Landau | author-link = Lev Landau
 | first2 = E.M. | last2 = Lifșiț | author2-link = Evgheni Lifșiț
 | title = Fluid Mechanics
 | series = Course of Theoretical Physics, Volume 6
 | edition = 2nd
 | publisher = Butterworth-Heinemann
 | year = 1987
 | isbn = 978-0750627672
}}

== Vezi și ==
* [[Formă conservativă]]
* {{ill-wd| Q112835448||Linii de curent și traiectorii}}
* [[Teorema lui Liouville (mecanică statistică)]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică|Fizică}}
* {{en icon}} Gilles Leborgne, [http://www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Lageul.pdf Objectivity in classical continuum mechanics: Motions, Eulerian and Lagrangian functions; Deformation gradient; Lie derivatives; Velocity-addition formula, Coriolis].

[[Categorie:Dinamica fluidelor]]
[[Categorie:Aerodinamică]]
[[Categorie:Mecanica fluidelor numerică]]