Vizualizare sursă pentru „Finanțe matematice”

{{Finanțe casetă laterală}}

'''Finanțele matematice''', cunoscute și sub denumirea de '''finanțe cuantitative''' și '''matematică financiară''', constituie un domeniu al [[Matematică aplicată|matematicii aplicate]], axat pe modelarea matematică în [[Finanțe|domeniul financiar]].

În general, există două ramuri distincte ale finanțelor care necesită tehnici cuantitative avansate: evaluarea [[Instrumente financiare derivate|derivatelor]], pe de o parte, și [[Managementul riscului|gestionarea riscurilor]] și a [[Managementul portofoliului|portofoliilor]], pe de altă parte.<ref>{{cite web|url=http://finance.laws.com/quantitative-finance|title=Quantitative Finance|publisher=About.com|access-date=28 March 2014}}</ref> Finanțele matematice se suprapun considerabil cu domeniile [[Finanțe computaționale|finanțelor computaționale]] și [[Inginerie financiară|ingineriei financiare]]. Finanțele computaționale se concentrează pe aplicarea metodelor numerice și a algoritmilor pentru rezolvarea problemelor financiare, în timp ce ingineria financiară pune accent pe aplicațiile practice și pe dezvoltarea de modele, adesea bazate pe [[Model stocastic de active|modele stocastice de active]]. În contrast, finanțele matematice se ocupă nu doar cu analiza, ci și cu crearea instrumentelor necesare pentru implementarea efectivă a acestora. În plus, [[Investiție cantitativă|investițiile cantitative]] se bazează pe modele statistice și numerice (și, mai recent, pe [[Învățare automată|învățarea automată]]), fiind o alternativă la analiza fundamentală tradițională folosită în gestionarea portofoliilor.

Teza de doctorat a matematicianului francez [[Louis Bachelier]], susținută în 1900, este considerată prima lucrare academică dedicată finanțelor matematice. Totuși, domeniul finanțelor matematice a fost recunoscut ca disciplină distinctă abia în anii 1970, în urma cercetărilor realizate de [[Fischer Black]], [[Myron Scholes]] și [[Robert Merton]], care au dezvoltat teoria stabilirii prețurilor opțiunilor. Investițiile matematice au avut ca punct de plecare cercetările matematicianului [[Edward Thorp]], care, folosind metode statistice, a inventat numărarea cărților în [[blackjack]] și a aplicat aceste principii în investițiile sistematice moderne.<ref>{{Citat web|url=https://www.barrons.com/articles/why-edward-thorp-only-owns-berkshire-hathaway-1521547200|nume=Lam|titlu=Why Edward Thorp Owns Only Berkshire Hathaway|accessdate=2021-06-06|first1=Leslie P. Norton and Dan|lucrare=www.barrons.com|limbă=en-US}}</ref> De asemenea, Black, Scholes și Merton au fost recompensați cu [[Premiul Nobel pentru științe economice|Premiul Nobel pentru Economie]] în 1997 pentru contribuțiile lor fundamentale la dezvoltarea [[Modelul Black-Scholes|modelului Black-Scholes]]. 

Finanțele matematice sunt strâns legate de [[Economie financiară|economia financiară]], care se ocupă cu teoria fundamentală din spatele matematicii financiare. În timp ce economiștii folosesc [[Model economic|modele economice]] complexe bazate pe relații empirice observate, analiza finanțelor matematice derivă și extinde [[Modelare matematică|modelele matematice]] sau [[Analiză numerică|numerice]] fără a le lega neapărat de teoria financiară, utilizând prețurile pieței ca date de intrare. Exemple semnificative includ: [[evaluarea opțiunilor]], [[Modelare financiară|modelarea financiară]] și prețuirea activelor. [[Teorema fundamentală a prețurilor fără arbitraj]] este una dintre cele mai importante teoreme în finanțele matematice, iar ecuația și formula [[Modelul Black-Scholes|Black-Scholes]] sunt rezultate fundamentale ale acestui domeniu.<ref>{{cite web|url=https://plus.maths.org/content/what-financial-mathematics|title=What is financial mathematics?|date=1 September 2009|work=+Plus Magazine|last=Johnson|first=Tim|access-date=1 March 2021}}</ref>

În prezent, numeroase universități oferă programe de studii și cercetare în domeniul finanțelor matematice.

== Istoric: Q versus P ==
Există două ramuri separate de finanțare care necesită tehnici cantitative avansate: stabilirea prețului derivatelor și managementul riscului și al portofoliului. Una dintre principalele diferențe este că acestea folosesc probabilități diferite, cum ar fi probabilitatea neutră față de risc (sau probabilitatea de arbitrare a prețului), notată cu „Q”, și probabilitatea reală (sau actuarială), notată cu „P”.

=== Evaluarea derivatelor: Lumea Q ===
{| class="wikitable floatright"
|+'''Lumea Q'''
| Scop
| "extrapolarea prezentului"
|-
| Mediu
| probabilitatea neutră la risc <math>\mathbb{Q}</math>
|-
| Procese
| martingale în timp continuu
|-
| Dimensiune
| joasă
|-
| Instrumente
| calculul Itō, ecuații diferențiale parțiale (PDE)
|-
| Provocări
| calibrare
|-
| Sector
| partea de vânzare (sell-side)
|}
Scopul evaluării derivatelor este de a determina prețul corect al unui titlu în termeni de [[Lichiditate de piață|titluri mai lichide]], al căror preț este stabilit de legea [[Cerere și ofertă|cererii și ofertei]]. Conceptul de „corect” depinde, desigur, de perspectiva celui care cumpără sau vinde titlul. Exemple de titluri care sunt evaluate includ opțiunile simple, opțiunile exotice, obligațiile convertibile etc.

După ce prețul corect a fost determinat, traderul de pe partea de vânzare poate crea piața pentru acel titlu. Prin urmare, evaluarea derivatelor este un proces complex de „extrapolare” pentru a stabili valoarea curentă de piață a unui titlu, care este ulterior utilizată de comunitatea de pe partea de vânzare. Evaluarea cantitativă a derivatelor a fost inițiată de [[Louis Bachelier]] în lucrarea ''Teoria speculației'' ("Théorie de la spéculation", publicată în 1900), în care a introdus procesul cel mai fundamental și influent, [[Mișcare browniană|mișcarea browniană]], și aplicarea acesteia în evaluarea opțiunilor.<ref>{{Cite book|title=Stochastic calculus for finance|last=E.|first=Shreve, Steven|date=2004|publisher=Springer|isbn=9780387401003|location=New York|oclc=53289874}}</ref><ref>{{Cite book|title=Introduction to Quantitative Finance.|last=Stephen.|first=Blyth|date=2013|publisher=Oxford University Press, USA|isbn=9780199666591|pages=157|oclc=868286679}}</ref> Mișcarea browniană a fost derivată utilizând [[Ecuație Langevin|ecuația Langevin]] și mersul aleatoriu discret.<ref>{{Cite book|title=Quantitative finance for physicists : an introduction|last=B.|first=Schmidt, Anatoly|date=2005|publisher=Elsevier Academic Press|isbn=9780080492209|location=San Diego, Calif.|oclc=57743436}}</ref> Bachelier a modelat [[Serie temporală|seria temporală]] a modificărilor [[Logaritm|logaritmului]] prețurilor acțiunilor ca un mers aleatoriu în care modificările pe termen scurt aveau o [[varianță]] finită, determinând astfel ca modificările pe termen lung să urmeze o [[Distribuția Gauss|distribuție gaussiană]].<ref>{{cite web|url=https://docs.google.com/file/d/0B5LLDy7-d3SKNGI0M2E0NGItYzFlMS00NGU2LWE2ZDAtODc3MDY3MzdiNmY0/edit?hl=en_GB&pli=1|title=The Theory of Speculation|last=Bachelir|first=Louis|access-date=28 March 2014}}</ref>

Teoria a rămas latentă până când [[Fischer Black]] și [[Myron Scholes]], împreună cu contribuțiile fundamentale ale lui [[Robert Merton|Robert C. Merton]], au aplicat al doilea proces semnificativ, [[Mișcare browniană geometrică|mișcarea browniană geometrică]], în evaluarea opțiunilor. Pentru această descoperire, M. Scholes și R. Merton au fost recompensați cu [[Premiul Nobel pentru științe economice|Premiul Nobel pentru stiințe economice]] în 1997. Black nu a fost eligibil pentru premiu, deoarece a decedat în 1995.<ref>{{cite web|url=https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/themes/economic-sciences/lindbeck/index.html|title=The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1969-2007|publisher=Nobel Prize|last=Lindbeck|first=Assar|access-date=28 March 2014}}</ref>

Un alt pas semnificativ a fost [[teorema fundamentală a evaluării activelor]] formulată de Harrison și Pliska (1981), conform căreia prețul curent normalizat al unui titlu, P0, este fără arbitraj și astfel cu adevărat corect doar dacă există un [[proces stocastic]] Pt cu [[valoare așteptată]] constantă, care descrie evoluția sa viitoare:<ref>{{cite news|title=A risky business: How to price derivatives|url=http://plus.maths.org/content/risky-business-how-price-derivatives|first=Angus|last=Brown|newspaper=Price+ Magazine|date=1 Dec 2008|access-date=28 March 2014}}</ref>
{{NumBlk|:|<math>P_{0} = \mathbf{E}_{0} (P_{t}) </math>|{{EquationRef|1}}}}
Un proces care satisface această relație este numit „[[martingală]]”. O martingală este un proces stocastic în care nu există un câștig sistematic pe termen lung din speculațiile viitoare, iar riscul nu este recompensat. În acest context, probabilitatea procesului de preț al titlului normalizat este denumită „probabilitate neutră la risc” și este, de obicei, notată cu simbolul „<math>\mathbb{Q}</math>”. Termenul „neutră la risc” se referă la o probabilitate care nu reflectă aversiunea la risc sau preferințele față de risc ale investitorilor, ci presupune o evaluare bazată exclusiv pe evoluțiile anticipate ale titlurilor, fără a lua în considerare atitudinea față de risc a investitorilor.

Relația ({{EquationNote|1}}) trebuie să fie valabilă pentru toate momentele t: de aceea, procesele folosite pentru evaluarea derivatelor sunt stabilite în mod natural în timp continuu.

Cantitativii care operează în lumea Q a evaluării derivatelor sunt specialiști cu cunoștințe avansate despre produsele pe care le modelează.

Titlurile sunt evaluate individual, iar astfel, problemele din lumea Q sunt de natură cu dimensiuni mici. Calibrarea reprezintă o provocare majoră în această lume: odată ce un proces parametric de timp continuu a fost calibrat pe baza unui set de titluri tranzacționate printr-o relație de tipul ({{EquationNote|1}}), o relație similară este utilizată pentru a determina prețul noilor derivate.

Principalele instrumente cantitative necesare pentru gestionarea proceselor Q de timp continuu includ [[calculul stocastic Itô]], simularea și [[Ecuație cu derivate parțiale|ecuațiile diferențiale parțiale]] (EDP-uri).<ref>Pentru o prezentare generală, vezi [https://catalogimages.wiley.com/images/db/pdf/9781118487716.excerpt.pdf '''„'''Financial Models”], de Michael Mastro (2013). ''Financial Derivative and Energy Market Valuation'', John Wiley & Sons. {{ISBN|978-1118487716}}.</ref>

=== Gestionarea riscurilor și a portofoliilor: Lumea P ===
{| class="wikitable floatright"
|+'''Lumea P'''
| Scop
| „modelarea viitorului”
|-
| Mediu
| probabilitatea reală <math>\mathbb{P}</math>
|-
| Procese
| serii de timp discrete
|-
| Dimensiune
| ridicată
|-
| Instrumente
| statistici multivariate
|-
| Provocări
| estimare
|-
| Sector
| partea de cumpărare (buy-side)
|}
Gestionarea riscurilor și a portofoliilor are ca obiectiv modelarea distribuției de probabilitate a prețurilor de piață ale tuturor titlurilor de valoare într-un orizont investițional viitor. Această „distribuție reală” a prețurilor pieței este denotată de obicei cu litera din fontul „blackboard” ''P'', spre deosebire de probabilitatea „neutră față de risc” ''Q'' utilizată în evaluarea derivatelor. Distribuția P reflectă condițiile pieței reale și este esențială pentru luarea deciziilor investitorilor pe piața activelor, în special în analiza relației între risc și randament, fundamentală pentru optimizarea portofoliilor.

Pe baza acestei distribuții P, investitorii „buy-side” își bazează deciziile de achiziție a titlurilor de valoare pentru a optimiza profilul anticipat de profit și pierdere al portofoliilor lor. Totodată, în mod crescând, procesele de selecție și gestionare a portofoliilor sunt automatizate, facilitând astfel implementarea strategiilor financiare pe scară largă.

Pentru cercetările lor inovatoare, [[Harry Markowitz|Markowitz]] și [[William Sharpe|Sharpe]], alături de [[Merton Miller]], au împărțit [[Premiul Nobel pentru științe economice|Premiul Nobel pentru Economie]] în 1990, pentru prima dată acordat unui proiect în domeniul finanțelor.

Munca lui Markowitz și Sharpe privind selecția portofoliilor a introdus concepte matematice fundamentale în [[managementul investițiilor]]. În timp, aceste tehnici matematice au devenit tot mai avansate. Mulțumită lui Robert Merton și [[Paul A. Samuelson|Paul Samuelson]], modelele de evaluare pe o perioadă unică au fost înlocuite cu modele pe timp continuu, bazate pe [[Modelul brownian al piețelor financiare|mișcare browniană]], iar [[Funcție de utilitate|funcția de utilitate]] pătratică folosită în [[Teoria modernă a portofoliilor|optimizarea medie-variantă]] a fost înlocuită cu funcții de utilitate mai complexe, crescătoare și concave.<ref>{{cite book|last1=Karatzas|first1=Ioannis|last2=Shreve|first2=Steve|title=Methods of Mathematical Finance|location=Secaucus, New Jersey, US|publisher=Springer-Verlag New York, Incorporated|year=1998|isbn=9780387948393}}</ref> De asemenea, în ultima perioadă, s-a pus un accent mai mare pe riscul de estimare – riscurile care apar atunci când se presupune greșit că analiza avansată a seriilor temporale poate oferi estimări perfect precise ale parametrilor pieței.<ref>{{cite book|last=Meucci|first=Attilio|author-link=Attilio Meucci|title=Risk and Asset Allocation|publisher=Springer|year=2005|isbn=9783642009648}}</ref>

Studiul piețelor financiare și al modului în care prețurile evoluează în timp a fost o preocupare constantă. [[Charles Dow]], unul dintre fondatorii [[Dow Jones & Company]] și ai ''[[The Wall Street Journal]]'', a formulat un set de principii care stau la baza a ceea ce astăzi este cunoscută sub denumirea de [[Teoria Dow]]. Aceste principii sunt utilizate în [[Analiză tehnică|analiza tehnică]], care se concentrează pe prognoza schimbărilor viitoare pe baza [[Tendință de piață|tendințelor pieței]]. Unul dintre postulatele analizei tehnice este că tendințele pieței oferă indicii despre direcția viitoare a prețurilor, cel puțin pe termen scurt. Cu toate acestea, afirmațiile analiștilor tehnici sunt contestate de mulți academicieni, iar eficiența metodei rămâne un subiect de dezbatere. Deși au existat numeroase studii empirice care analizează eficiența analizei tehnice, nu există un consens definitivat privind utilitatea acesteia în prognozarea piețelor financiare.<ref>{{cite journal|last1=Park|last2=Irwin|first1=C. H.|first2=S. H.|year=2007|title=What Do We Know About the Profitability of Technical Analysis?|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1467-6419.2007.00519.x|journal=Journal of Economic Surveys|volume=21|issue=4|pages=786–826}}</ref>

În plus, în ultimii ani, integrarea învățării automate în domeniul investițiilor cantitative a condus la o utilizare mai precisă și sofisticată a modelelor statistice și numerice, îmbunătățind astfel gestionarea riscurilor și optimizarea portofoliilor.

== Critica ==
De-a lungul anilor, au fost dezvoltate modele matematice tot mai sofisticate și strategii de evaluare a derivatelor, însă credibilitatea acestora a fost afectată de criza financiară din perioada 2007–2010. Practica actuală a finanțelor matematice a fost criticată de personalități importante din domeniu, în special de [[Paul Wilmott]] și [[Nassim Nicholas Taleb]], în cartea sa ''Lebăda Neagră'' (în {{en|''The Black Swan}}).<ref name="Black Swan2">{{cite book|last1=Taleb|first1=Nassim Nicholas|author-link=Nassim Nicholas Taleb|year=2007|title=The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable|publisher=Random House Trade|isbn=978-1-4000-6351-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/blackswanimpacto00tale}}</ref> Taleb susține că prețurile activelor financiare nu pot fi descrise de modelele simple utilizate în prezent, ceea ce face ca multe dintre practicile curente să fie, cel mult, irelevante și, în cel mai rău caz, periculos de înșelătoare. Wilmott și [[Emanuel Derman]] au publicat ''Manifestul Modelelor Financiare'' (în {{en|[[:en:Financial_Modelers'_Manifesto|Financial Modelers' Manifesto]]}})'' în ianuarie 2009,<ref>{{cite web|url=http://www.wilmott.com/blogs/paul/index.cfm/2009/1/8/Financial-Modelers-Manifesto|title=Financial Modelers' Manifesto|publisher=Paul Wilmott's Blog|date=January 8, 2009|access-date=June 1, 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20140908100545/http://www.wilmott.com/blogs/paul/index.cfm/2009/1/8/Financial-Modelers-Manifesto|archive-date=September 8, 2014|url-status=dead}}</ref> abordând unele dintre cele mai grave preocupări. Organizații precum [[Institute for New Economic Thinking]] (în {{ro|Institutul pentru Gândirea Economică Nouă}}) încearcă în prezent să dezvolte noi teorii și metode.<ref>{{cite news|title=Mathematicians must get out of their ivory towers|url=http://www.ft.com/cms/s/0/cfb9c43a-48b7-11df-8af4-00144feab49a.html|author=Gillian Tett|newspaper=[[Financial Times]]|date=April 15, 2010}}</ref>

În general, modelarea schimbărilor prin distribuții cu varianță finită este tot mai des considerată inadecvată.<ref>{{cite book|author1=Svetlozar T. Rachev|author2-link=Frank J. Fabozzi|author2=Frank J. Fabozzi|author3=Christian Menn|year=2005|title=Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing|publisher=[[John Wiley and Sons]]|isbn=978-0471718864}}</ref> În anii 1960, [[Benoît Mandelbrot|Benoit Mandelbrot]] a descoperit că schimbările prețurilor nu urmează o [[Distribuția Gauss|distribuție gaussiană]], ci sunt mai bine modelate prin [[Distribuție stabilă|distribuții stabile]] α-Lévy.<ref>[[Benoit Mandelbrot|B. Mandelbrot]], [http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/341Fa09/econ/Mandelbroit_VariationCertainSpeculativePrices.pdf "The variation of certain Speculative Prices"], ''The Journal of Business'' 1963</ref> Scara schimbării, sau volatilitatea, depinde de lungimea intervalului de timp, la o putere ușor mai mare decât 1/2. Astfel, schimbările mari, în sus sau în jos, sunt mai probabile decât cele estimate folosind o distribuție gaussiană cu [[Abatere standard|deviație standard]] calculată. Totuși, această abordare nu rezolvă problema, deoarece face parametrizarea mult mai dificilă și controlează mai puțin fiabil riscurile.<ref name="Black Swan2" />

Poate mai important este faptul că, deși modelele de finanțe matematice pot genera profit pe termen scurt, acest tip de modelare este adesea în contradicție cu un principiu central al macroeconomiei moderne, [[critica lui Lucas]] – sau [[Așteptări raționale|așteptările raționale]] – care afirmă că relațiile observate nu sunt structurale și, prin urmare, nu pot fi exploatate pentru politici publice sau profit, cu excepția cazului în care aceste relații sunt identificate printr-o [[analiză cauzală]] și [[econometrie]].<ref>{{Cite web|url=https://web.sgh.waw.pl/~atoroj/makroekonomia_zaawansowana/lucas76.pdf|title=ECONOMETRIC POEICY EVALUATION: A CRITIQUE|language=en-US|last=Lucas|first=Bob|access-date=2022-08-05}}</ref> Conform criticii lui Lucas, agenții economici își ajustează comportamentul în funcție de schimbările de politică sau condițiile pieței, ceea ce înseamnă că relațiile pe care modelele se bazează ar putea să nu mai fie valabile atunci când aceștia devin conștienți de modelele utilizate. Acest fapt face modelele statice nesigure pentru prognozele pe termen lung și pentru procesul decizional.

Modelele de finanțe matematice nu iau în considerare, prin urmare, elemente esențiale ale psihologiei umane, care sunt fundamentale pentru modelarea mișcărilor economice macroeconomice moderne, cum ar fi panicile auto-împlinitoare ce pot duce la falimente bancare.

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
* Nicole El Karoui, [https://web.archive.org/web/20170101051554/http://www.paristechreview.com/2013/09/06/future-financial-mathematics/ „The future of financial mathematics”], ''ParisTech Review'', 6 septembrie 2013
* [[Harry Markowitz|Harold Markowitz]], „Portfolio Selection”, ''The Journal of Finance'', 7, 1952, pp.&nbsp;77–91
* [[William Sharpe|William F. Sharpe]], ''Investments'', Prentice-Hall, 1985
* Pierre Henry Labordere (2017). „Model-Free Hedging A Martingale Optimal Transport Viewpoint”. Chapman & Hall/ CRC.

{{Matematică}}
{{Economie (casetă navigare)}}
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Statistică aplicată]]
[[Categorie:Matematică financiară]]